电路分析基础 第2版 课件 第11章 拉普拉斯变换

教学课件电

路

分

析

基

础第11章拉普拉斯变换目录CATALOG11.1拉普拉斯变换及其基本性质

11.2拉普拉斯反变换11.3运算电路11.4用拉普拉斯变换法分析线性电路11.5应用案例——浪涌抑制器知

识

图

谱拉普拉斯变换(

，★)11.1拉普拉斯变换及其基本性质

11.2拉普拉斯反变换11.3运算电路11.4用拉普拉斯变换法分析线性电路11.5应用案例——浪涌抑制器拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换基本性质

拉普拉斯反变换定义部分分式展开法

KCL、KVL运算形式

VCR运算形式：(

)(

)求出电路的初始条件画出运算电路求出响应的原函数求出响应的象函数(★)11.1拉普拉斯变换及其基本性质

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierremarquis

de

Laplace，1749年3月23日－1827年3月5日），法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者。1749年生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1812年发表了重要的《概率分析理论》一书，在该书中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举审判调查、气象等方面的应用，导入”拉普拉斯变换“等。在拿破仑皇帝时期和路易十八时期两度获颁爵位。拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。1827年3月5日卒于巴黎。11.1拉普拉斯变换及其基本性质

对具有多个储能元件的复杂电路动态分析，以前只能用求解微分方程的方法，十分困难。拉普拉斯变换是一种积分变换，可以将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解；可以将过渡过程的动态分析，变成象纯电阻电路一样的静态分析，使分析过程大大简化。所以拉普拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。时域微分方程频域代数方程拉氏变换拉氏反变换求解时域解优点：不必确定积分常数以及求解微分方程式所需的初始条件，

适用于高阶复杂的动态电路。11.1拉普拉斯变换及其基本性质

拉氏变换法求解电路过渡过程的步骤：电路微分方程拉氏变换像函数的代数方程代数运算响应的像函数时域全响应拉普拉斯反变换解微分方程时域分析频域分析11.1拉普拉斯变换及其基本性质

i1

i2=i32.运算法：把时域的原函数f(t)变换为复频域的象函数F(s)运算。

时域函数f(t)

(原函数)

复频域函数F(s)

(象函数)一一对应常用变换1.相量法：把时域的正弦运算变换为复数的相量运算。11.1拉普拉斯变换及其基本性质

11.1.1拉普拉斯变换的定义复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(s)

。

设有时间函数f(t)，当t<0

时，f(t)＝0；在t≥0时定义函数f(t)

的拉普拉斯变换为：ℒ拉普拉斯变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。11.1拉普拉斯变换及其基本性质

s为复频率：将时域函数f(t)(原函数)变换为复频域函数F(s)(象函数)叫拉普拉斯变换。正变换

反变换

f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换对。称分析线性电路的运算法为复频域分析法，而相应地称经典法为时域分析法。拉普拉斯变换的定义正变换反变换ℒℒ11.1拉普拉斯变换及其基本性质

拉普拉斯变换的定义积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。积分下限从0

开始，称为0

拉氏变换。

当f(t)含有冲激函数项时，此项00+

拉氏变换和0

拉氏变换的区别：为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，通常拉氏变换定义式中积分下限从0-

开始。(2)象函数F(s)用大写字母表示，如I(s)、U(s)。(1)原函数f(t)用小写字母表示，如i(t)、u(t)。备注：11-1求以下函数的象函数。例：应用举例解：(1)单位阶跃函数(2)单位冲激函数=1(3)指数函数。

ℒ

ℒℒℒ11.1拉普拉斯变换及其基本性质

拉普拉斯变换的基本性质

1.

线性性质ℒℒℒ11-2求以下函数的象函数。解：例：(1)ℒ(2)ℒ11.1拉普拉斯变换及其基本性质

(3)ℒ由欧拉公式，正弦函数表达为：两式相减ℒℒ2.

微分性质ℒℒ例：11-3：应用导数性质求下列函数的象函数。(1)ℒℒ解：证：例：11-3：应用导数性质求下列函数的象函数。(2)ℒℒ解：3.积分性质例：11-4利用积分性质求单位斜坡函数f(t)=t的象函数。解：？ℒℒℒℒ=ℒ则ℒℒℒℒ证：4.延迟性质ℒ例：解：11-5求下图所示矩形脉冲的象函数。1t0f

(t)Tℒ证：

5.位移性质ℒℒ11-6应用位移性质求下列函数的象函数。例：解：(1)ℒ(2)ℒ(3)ℒ证：拉氏变换简表tδ(t)1ε(t)1/ste-atsin(

t)cos(

t)e-atcos(

t)e-atsin(

t)1.为什么拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用？

2.什么是拉普拉斯变换？为什么要进行拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换？

3.什么是原函数？什么是象函数？两者之间的关系如何？4.在求f(t)的象函数时，是否一定要知道f(0-)的值？为什么？思考回答11.2拉普拉斯反变换1.利用反变换的定义公式较麻烦，难度大，不用。2.对简单的F(s)可以查拉氏变换表。

3.把F(s)分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。求拉普拉斯反变换的方法方法简单但适用范围小。11.2拉普拉斯反变换部分分式展开法1.象函数的一般形式：N(s)D(s)F(s)=a0sm

+a1sm–1++am•••b0sn

+b1sn–1++bn•••=H0

实数常数。zi

F(s)的零点。

把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。F(s)=H0

(s–zi)mi=1

(s–pj)j=1npjF(s)的极点。集总参数电路中响应变换式的特点变换式在一般情况下为s的实系数有理函数。讨论2.n>m

F(s)为真分式令D(s)=b0sn+b1sn–1+…+bn=0可得根为p1，

p2，…，pn。(1)D(s)有n个实数单根。D(s)=0的根有三种情况：(1)实数单根；(2)复数根；(3)重根令s=p1，则同理可得：……因此

待定常数的确定：方法一：求极限法因此

方法二：洛必达法则应用举例解：的根为p1=1，p2=2，于是有这样：待定常数的确定：例：11-7求的原函数f

(t)

。待定常数的确定：1)2)例：解法1：∴的根分别为：∵同理：

11-8求的原函数。应用举例解法2：令D(s)=0，则p1=0，p2=－2，p3=－5同理：

应用举例假设只有两个根(2)D(s)有共轭复根k1，

k2也是一对共轭复数。可据前面介绍的两种方法求出k1，

k2。设

11-9例：解：应用举例极点为

(3)D(s)有重根对于单根，仍然采用前面的方法计算。要确定k11、k12，则需用下式：由上式把k11单独分离出来，可得：再对式子中s进行一次求导，让k12也单独分离出来，得应用举例例：解：11-10求的原函数f

(t)。，有p1=

-2为二重根，p2=

-1，则F(s)的分解式为其中

因此查表11-1可得：3.n

m

F(s)为假分式，用长除法，得：

如F(s)=s3+1s2+2s+2=s–2+s2+2s+22s+5解：F(s)=Q(s)+D(s)N'0(s)(2)n＜m：

F(s)=A+D(s)N0(s)(1)n=m：

其中，

–1(s–2)=

(t)2

(t)ℒ

11-11已知，求原函数。例：解：应用举例1.求拉普拉斯反变换的方法有几种？

2.由F(s)求f(t)的步骤是什么？

检验学习结果3.如何利用分解定理进行拉普拉斯反变换？4.利用分解定理进行拉普拉斯反变换时，当D(s)=0具有共轭复根时如何处理？

11.3运算电路时域形式：运算形式：基尔霍夫定律的运算形式拉普拉斯变换R1.R：u=Ri+u

-i+U(s)

-

I(s)RR的运算电路

11.3运算电路电路元件的运算形式2.L：取拉氏变换，由微分性质得：L的运算电路i(t)+

u(t)

-L+

-sLU(s)I(s)+-时域形式：与I(s)方向相反。3.C：C的运算电路i(t)+

u(t)

-C时域形式：取拉氏变换，由积分性质得：+

-1/sCU(s)I(s)-+与U(s)方向相同。4.耦合电感的运算形式i1**L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：耦合电感的运算电路+-+sL2+sM+

+sL1----

+-5.受控源的运算形式受控源的运算电路时域形式：取拉氏变换(s)+-U+1(s)-

RI1(s)U2U1(s)+-+u1-+u2-Ri1

u1+-运算阻抗u(t)+-i(t)RL(a)SCU(s)I(s)1/sC–+-RsL(b)S++–LiL(0-)若电路无初始储能，零初值：运算电路模型uC(0-)=0，iL(0-)=0运算形式欧姆定律：

换路后运算电路：11-13下图电路在开关S打开前处于稳态，试画出S打开后

的运算电路。5

2F20

10

10

0.5H50V+-uC+-iLS0.5sUC(s)-++1/2s25/s2.5VIL(s)+--5

20

解：应用举例例：5

20

10

10

50V+-+-S思考回答1.能画出电阻、电感和电容的拉普拉斯变换电路吗？三者串联电路的运算阻抗是什么？3.一电感元件的电感L=10mH，初始值iL(0)=5A。试写出它的s复频域伏安关系式，并绘出它的两种运算电路图。4.一电容元件的电容C=100μF，初始值uC(0-)=10V。试写出它的s复频域伏安关系式，并绘出它的两种运算电路图。

2.欧姆定律的复频域形式是什么？

11.3运算电路1.正弦稳态电路——相量法运算法和相量法的比较2.高阶动态电路——运算法元件→复阻抗和复导纳相量形式KCL和KVL相量形式电路模型运算形式KCL和KVL元件→运算阻抗和运算导纳运算形式电路模型将时域高阶动态电路建立成s域运算模型——运算法(1)基尔霍夫定律的运算形式(2)电路元件的运算形式11.4

应用拉普拉斯变换法分析线性电路1.相量法相量法把正弦量变换为相量(复数)，从而把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程，正弦稳态电路归结成为纯电阻电路分析。2.运算法运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把求解微分方程归结为求解线性代数方程问题，动态电路的过渡过程归结为纯电阻电路分析。运算法和相量法的比较注意直流电路计算的规律均可应用于运算电路！

3.应用线性电阻电路分析方法求响应的象函数U(s)或I(s)

。1.由换路前电路计算uC(0-)和iL(0-)。2.画出运算电路图。

(1)电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。(2)各元件的参数：R参数不变

L参数为sL

C参数为1/sC(3)原电路中的电源进行拉氏变换。4.响应的象函数拉氏反变换求出时域解即原函数u(t)或i(t)

。运算法的解题步骤应用举例例：解：，若(1)(2)，如图所示，试求响应

11-14RC并联电路，激励为电流源。RC1/sCU(s)R++--u(t)(1)当时，∴u(t)=ℒ-1[U(s)]=

RC1/sCU(s)R++--u(t)解：(2)当时，∴u(t)=ℒ-1[U(s)]=应用举例

11-15电路如图(a)所示，开关S原来闭合，求开关在t=0时刻打开后电路中的电流及电感元件上的电压。其中R1=2

，R2=3

，L1=0.3H，L2=0.1H，US=10V

。计算初值：5A，电感L1中原有电流为电感L2中原有电流为0A。例：解：S+-iUSR1L1R2L2(a)10/sI

(s)+-+-R1sL1R2sL2(b)L1i(0-)10/sV0.3s1.5V0.1sI(s)US(s)R1sL1sL2R23

2

++--10/sV0.3s1.5V0.1sI(s)US(s)R1sL1sL2R23

2

++--UL1(s)UL2(s)3.75ti520uL1-6.56t-0.375

(t)00.375

(t)uL2t-2.190磁链守恒：

11-16电路原处于稳态，uC(0-)=1V，

US=10V

，R1=R2=1

，C=1F，L

=1H，

t=0

时开关闭合，试用运算法求i(t)。例：解：应用举例i+-USR1R2CLS1/sCI(s)US+-R1R2SsL+Li(0-)I1(s)I2(s)--s运算电路如图所示：M**L1L2+–R1R2SsM**sL1sL2+–R1R2S解：11-17图示电路,求S闭合后的响应。和。应用举例例：思考与练习1.应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤是什么？2.试比较电路的复频域分析法与相量法的异同。

3.本章以前所介绍的各种分析方法可应用于复频域分析之中，这是否也包括对功率的分析？4.对零状态线性电路进行复频域分析时，能否用叠加定理？若为非零状态，即运算电路中存在附加电源时，能否用叠加定理？11.5应用实例——浪涌抑制器为简化电路的分析，设电压，并且在t=0，开关打开时不变。开关打开后，构建s域等效电路，如图(b)所示。注意：感性负载电压的相位角为零，所以电感负载的初始电流为零。因此，只有供电线路上的电感具有非零初始条件，其s域的等效电路为一个附加电压源LlI0。

当开关在t=0时刻打开时，因为在t=0时电感负载的电流为零，而且电感中的电流不会跃变，因此所有的电流都流过负载电阻。这样，当供电线路中的电流直接流过电阻负载时，其余的负载就会经过一个电压浪涌的过程。一、拉氏变换简表小结：看看记记tδ(t)1ε(t)1/ste-atsin(

t)cos(

t)e-atcos(

t)e-atsin(

t)二、拉普拉斯变换的性质1.线性性质：2.微分性质：3.积分性质：4.延迟性质：5.位移性质：

ℒℒℒℒℒ则ℒℒℒℒℒℒ三、拉氏反变换的部分分式展开—假分式化成真分式1.分母有单根3.分母有重根2.分母有共轭复根1)2)四、电路元件的运算形式3.C：i(t)+

u(t)

-C+

-1/sCU(s)I(s)-+2.L：i(t)+

u(t)

-L+

-sLU(s)I(s)+-

1.R：R+U(s)

-

I(s)Ri(t)

u(t)

+

-i1L1L2+_u1+_u2i2+-+sL2+sM+

+sL1----

+-M4.耦合电感能力检测题1.根据定义求的象函数。和解：(1)F(s)=[f(t)]=ℒ(2)F(s)=[f(t)]=ℒ2.设求的象函数。解：F2(s)=[f2(t)]=ℒℒ解：当所给出的有理分式不是真分式时，应先用长除法进行处理，变成真分式，然后再进行求解。于是可得3.

求的拉氏反变换。4.求下列函数的原函数。解法1：解法2：解：解：则

解：

(4)s－)+2－)2s+3=s+2

2s+3s2+5s+6+用长除法求

的原函数

f(t)。5.解：则运算电路时域电路RRLLCi1i2U+-RRLsL1/sCI

1(s)U/sI

2(s)+-

解：6.给出下图所示电路的运算电路模型。已知。，由于，所以没有附加电源，运算电路如右图所示。，uS1

+-2

2H-+u解：则7.

图示电路中，

已知，求零状态响应u。解：uC(0-)=0,iL(0-)=01H0.5F3

_+8.图示电路，已知，求零状态响应uC。9.图示电路在零状态下，外加电流源已知。试求电压。，运算电路如图所示：+sLGCLG+_+_解：+sLGCLG+_+_203040V-+25HiL0.01FuC+-

10.图示电路在开关闭合前处于稳态，t=0时将开关闭合，求开关闭合

后uC(t)和iL(t)的变化规律。iL(0-)==0.8A4050uC(0-)=0.820=16V(s3+5s2+4s)UC

(s)=16s2+80s+160UC(s)=16s2+80s+160s(s+1)(s+4)IL(s)=20+40/s–UC

25s解：=20s2+124s+20025s(s+1)(s+4)120125s(0.01s++

)UC(s)40s+2025s

=0.16+UC(s)=16s2+80s+160s(s+1)(s+4)IL(s)=20s2+124s+20025s(s+1)(s+4)UC=sk1s+1k2k3s+4++k1=sUC(s)s=0=16s2+80s+160(s+1)(s+4)s=0=40iL(t)=(2–1.28e–t+0.08e–4t

)A

t0uC(t)=(40–32e–t+8e–4t

)V

t0k2=(s+1)UC(s