2024-2025学年上海川沙中学高三上学期数学期中试卷及答案（2024.10）（含答案）

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知，，是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为__________．【答案】【解析】建立平面直角坐标系，由已知可设，

因为,所以,整理得，，所以点在以点为圆心,以1为半径的圆上,又由圆的性质，得的最小值为故答案为:.12．已知定义在上的函数存在导数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立是，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由,得,记,则有,即为偶函数,又当时,恒成立,所以在上单调递增,所以由,得,即,所以,所以,即,解得:,故答案为二、选择题13.A14.A15.C16.D15．设这等差数列，下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】依题意,是等差数列不妨设：前三项为,则故错误,则故错误

设公差为则:故错误，排除

综上所述,答案选择:16．在正方体中，点，分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有，则（）A．①②均正确 B．①②均不正确C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确【答案】D【解析】对于①,如图,连接在正方体中,有正方形,所以,又,所以四边形为平行四边形,故确定唯一的平面,又平面平面,所以

又平面,所以平面因为平面,所以对任意点,都有,只有与重合才符合题意,与不为端点矛盾,故对任意点,不存在点,使得,故①不正确;对于②,如图,连接交于,连接由①得平面,又,,所以四边形为平行四边形,所以,则平面,因为平面,所以又因为正方形,所以,又平面平面,所以,

因为平面,所以平面,又平面,所以,因为平面,所以平面,又平面,所以于是当点与重合时,存在点,对任意的,均有,故②正确.故选：D.三．解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）19.（1）（2）（i）（ii）20．设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点的距离；（2）设，，线段的中点在直线上，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】(1)方法一:由题意可知：设,则,

方法二：由题意可知：设,由抛物线的性质可知:,

(2),则,,设的中点,,,则直线方程:,联立,整理得:解得:(舍去),的面积;

(3)存在,设,则

直线方程为,,根据,则,解得:存在以为邻边的矩形,使得点在上,且.21．已知函数，．（1）当时，求的严格增区间；（2）若恒成立，求的值；（3）对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，最小值为3【解析】(1)当时,,定义域为,得,所以的严格增区间为.(2),①当时,,所以在上单调递增,又,所以当时,,不符合题意;②当时,令,得,令,得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以又所以当时,,不符合