2024-2025学年福建省莆田市莆田二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省莆田二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过点(2,−1)，且一个方向向量为(−1,2)的直线方程为(

)A.x+2y=0 B.2x+y−3=0 C.x−2y−4=0 D.2x−y−5=02.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+aA.60 B.72 C.120 D.1443.已知直线过点(1,2)，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线l的方程为(

)A.2x−y=0 B.2x+y−4=0

C.2x−y=0或x+2y−2=0 D.2x−y=0或2x+y−4=04.已知两点F1(−2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是A.x24+y23=1 B.5.已知曲线y=1+4−x2与直线y=k(x−2)+4有两个相异的交点，那么实数kA.(512,43] B.(6.在等比数列{an}中，a2=2，a4a6−16a5=0，若bn=A.5 B.6 C.7 D.87.德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？结论是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.人们称这一命题为米勒定理.在平面直角坐标系内，已知M(1,0)，N(3,0)，点P是直线l：x−y+1=0上一动点，当∠MPN最大时，点P的坐标为(

)A.(12,32) B.(8.设m∈R，圆M：x2+y2−2x−6y=0.若动直线l1：x+my−2−m=0与圆M交于点A，C，动直线l2：mx−y−2m+1=0与圆M交于点B，A.303 B.230 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：x+(a−1)y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，则下列结论正确的是(

)A.l1在x轴上的截距为−1 B.l2过点(0,−1)且不垂直x轴

C.若l1//l2，则a=−1或a=210.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=A.Sn=n2 B.1a12+1a22+⋯+11.若点P的坐标是(a,b)，圆M：x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，Q(m,n)是圆A.点P在直线x−y−3=0上

B.2m+n的取值范围是[−5,5]

C.以PM为直径的圆过定点R(2,−1)

D.若直线PA三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an+1}是公比为2的等比数列.若13.一动圆M与圆C1：(x+1)2+y214.已知二次函数y=x2+(2m−3)x−4−11m(m∈R)与x轴交于A，B两点，点C(1,3)，圆G过A，B，C三点，存在一条定直线l被圆G四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知正项等差数列{an}满足：a1=1且a1，a3，2a7−1成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列16.(本小题15分)

已知△ABC的顶点A(1,1)，边AC上的高BH所在直线的方程为x−y+8=0，边AB上的中线CM所在直线的方程为5x−3y−10=0．

(1)求直线AC的方程及点C的坐标；

(2)求△ABC的面积．17.(本小题15分)

圆C与直线l：4x−3y+6=0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l1：mx+y−4m−4=0，

①证明：直线l1与圆C相交；

②求直线l1被圆C18.(本小题17分)

若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，数列{bn}满足b1=2,bn=3bn−1+2(n≥2,n∈N∗)．

(1)求数列{an19.(本小题17分)

定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记|MN|的最大值为m，|MN|的最小值为n，若m=2n，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“E−F”的“钻石点”.已知圆A：(x+1)2+(y+1)2=13，P为圆A的“黄金点”

(1)求点P所在曲线的方程．

(2)已知圆B：(x−2)2+(y−2)2=1，P，Q均为圆“A−B”的“钻石点”．

(ⅰ)求直线PQ的方程．

(ⅱ)若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线l：y=kx+13与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在参考答案1.B

2.B

3.D

4.D

5.B

6.B

7.C

8.B

9.ABD

10.AB

11.AC

12.57

13.x214.1315.解：(1)正项等差数列{an}满足a1=1，且a1，a3，2a7−1成等比数列，

设公差为d，可得a32=a1(2a7−1)，即(1+2d)2=2(1+6d)−1，

解得d=0或2，则16.解：(1)因为边AC上的高BH所在直线的方程为x−y+8=0，

所以边AC所在直线的斜率为−1，

又顶点A(1,1)，

所以边AC所在的直线方程为y−1=−(x−1)，

联立5x−3y−10=0y−1=−(x−1)，解得x=2，y=0，即C(2,0)，

综上所述，直线AC的方程为x+y−2=0，点C的坐标为(2,0)．

(2)设B点坐标为(a,b)，则M(1+a2,1+b2)，

代入中线CM所在直线的方程5x−3y−10=0，有5×1+a2−3×1+b2−10=0，即5a−3b−18=0，

又B点在直线BH上，所以a−b+8=0，

联立5a−3b−18=0a−b+8=0，解得a=21，b=29，即B(21,29)，

所以B到直线AC的距离为BH=|21+29−2|17.(1)解：设与直线l：4x−3y+6=0垂直的直线方程为3x+4y+c=0，

代入A(3,6)可得：9+24+c=0，解得c=−33，

所以圆C的圆心C所在的直线方程为：3x+4y−33=0上，

设C(4a+7,3−3a)，因为|CA|=|CB|，

即(4a+4)2+(−3−3a)2=(4a+2)2+(1−3a)2，解得a=−12，

则C(5,92)，且圆C的半径|CB|=52，

所以圆C的方程为(x−5)2+(y−92)2=254；

(2)证明：①对于直线l1：mx+y−4m−4=0，即m(x−4)+y−4=0，

令x−4=0y−4=0，解得x=4y=4，即直线l1过定点M(4,4)，

且|CM|=(5−418.解：(1)因为Sn=n2+2n(n∈N∗)，

当n=1时，a1=S1=3，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1，

且n=1时，a1=3也符合上式，

所以an=2n+1；

(2)证明：b1=2，bn=3bn−1+2(n≥2,n∈N∗)，

当n≥2时，

因为bn=3bn−1+2，

所以bn+1=3bn−1+2+1=3(bn−1+1)，

又因为bn+1≠0，

而b1+1=3，

所以数列{bn+1}是首相为3，公比为3的等比数列；

(3)因为{bn+1}是首相为3，公比为3的等比数列，

所以bn+1=3⋅3n−1=3n，

所以cn=an−2bn+1=2n−13n19.解：(1)由题，点P为圆A的“黄金点”，

所以|PA|+33=2(|PA|−33)，

解得|PA|=3，

故点P的轨迹是以A(−1,−1)为圆心，3为半径的圆，

所以点P所在曲线的方程为(x+1)2+(y+1)2=3；

(2)(ⅰ)由题有，|PB|+1=2(|PB|−1)，

则|PB|=3，即点P在圆(x−2)2+(y−2)2=9上，

所以P是圆(x+1)2+(y+1)2=3和(x−2)2+(y−2)2=9的交点，

因为P，Q均为圆“A−B”的“钻石点”，

所以直线PQ即为圆(x+1)2+(y+1)2=3和(x−2)2+(y−2)2=