成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷及答案指导(2025年)

2025年成人高考成考高等数学(二)(专升本)复习试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、下列关于定积分的性质，说法正确的是：A.定积分是函数在某个区间上的面积B.定积分的值与被积函数的表示方式无关C.若f(x)在[a,b]上连续，则定积分∫[a,b]f(x)dx存在D.若f(x)在[a,b]上分段积分，则定积分∫[a,b]f(x)dx等于各段积分之和已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则下列哪个命题是正确的？A.函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点B.函数f(x)在区间(a,b)内至多有一个零点C.函数f(x)在区间(a,b)内可以有无数个零点D.函数f(x)在区间(a,b)内一定没有零点3、若函数f(x)满足f’’(x)>0，则函数f(x)在其定义域内是：A.凸函数B.鞍点C.极小值点D.以上都不对已知函数fx=A.3B.3C.3D.3设函数f(x)=2x^3+ax^2+bx在x=1处取得极值，且f’(x)在x=0处取得极大值，则函数f(x)的解析式为：A.f(x)=2x^3+3x^2+BxB.f(x)=2x^3-3x^2+BxC.f(x)=2x^3+x^2+Bx或f(x)=2x^3-x^2+BxD.以上都不是正确答案。已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1，那么f(x)在区间[-2,3]上的最大值是：A.17B.25C.33D.417、函数f(x)=3x^4+2x^3-5x^2在区间[0,1]上的最大值和最小值分别为（）A.最大值为2，最小值为-2B.最大值为1，最小值为-1C.最大值为0，最小值为-无穷大D.最大值为无穷大，最小值为-无穷大，且在端点处取得。答案及解析见下页。8、以下选项中关于函数y=f(x)在某点处连续的描述正确的是（）A.函数在某点处的切线一定存在且连续不断B.函数在某点处的极限值等于函数在该点的函数值C.函数在某点处的导数值必定大于零D.函数在某点处的切线斜率为零且函数值不为零9、若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续不断，且存在常数M>0，使得对任意x₁，x₂∈[a，b]，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤M|x₁-x₂|成立，则称f(x)为区间[a，b]上的“利普希茨函数”。下列函数一定是区间[a，b]（其中a<b）上的“利普希茨函数”的是（）A.y=sinxB.y=x²+2x+1C.y=1/(x+2)D.y=e^x（答案：B）10、若函数f(x)=x²+ax+b的图象恒在直线y=x的上方，则下列结论正确的是（）A.a>0且b>0B.a≥0且b≥0C.a<0且b>0D.a≥0且b<011、设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，则下列结论正确的是（）A.若f(a)≥0且f(b)≥0，则必存在至少一点ξ属于[a，b]，使得f’(ξ)=0。B.若函数f’(x)≤0对一切x属于[a，b]，则函数f(x)在区间[a，b]上是单调递减的。C.必存在至少一点ξ属于(a，b)，使得f’(ξ)=0。D.若函数f’(x)在区间[a，b]上有零点，则函数f(x)必存在极值点。12、（难度适中）函数y=x(a2-a-6)在定义域上为偶函数，且为单调减函数，则实数a的值为（）．A.5或-3B.-3或4C.5或4D.不能确定二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）（）若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f’(c)=0。已知函数fx=x2+已知函数fx=x2三、解答题（本大题有3小题，每小题15分，共45分）第一题题目：求极限limₓ→₀(sinₓ)^2/(tanₓ)^3的值。第二题一、题目已知函数f判断函数fx求函数fx在区间−二、答案及解析（一）判断函数fx第三题题目：已知函数f求fx在x判断fx在x若fx在区间a,b上连续，则f2025年成人高考成考高等数学(二)(专升本)复习试卷及答案指导一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、下列关于定积分的性质，说法正确的是：A.定积分是函数在某个区间上的面积B.定积分的值与被积函数的表示方式无关C.若f(x)在[a,b]上连续，则定积分∫[a,b]f(x)dx存在D.若f(x)在[a,b]上分段积分，则定积分∫[a,b]f(x)dx等于各段积分之和答案：C解析：选项A，定积分是函数在某个区间上的累积值，不一定是面积；选项B，定积分的值与被积函数的表示方式有关，例如换元积分法；选项D，若f(x)在[a,b]上分段积分，定积分∫[a,b]f(x)dx不一定等于各段积分之和，需要按照牛顿-莱布尼茨公式计算。只有选项C是正确的。已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则下列哪个命题是正确的？A.函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点B.函数f(x)在区间(a,b)内至多有一个零点C.函数f(x)在区间(a,b)内可以有无数个零点D.函数f(x)在区间(a,b)内一定没有零点答案：B解析：根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一个c∈(a,b)，使得f’(c)=0。但是这并不能保证函数在(a,b)内只有一个零点，也不能排除有无数个零点的可能性。所以只有选项B是正确的。3、若函数f(x)满足f’’(x)>0，则函数f(x)在其定义域内是：A.凸函数B.鞍点C.极小值点D.以上都不对答案：A解析：根据二阶导数的性质，如果一个函数的二阶导数在其定义域内大于零，则该函数在该定义域内是凸函数。因此，选项A正确。已知函数fx=A.3B.3C.3D.3答案：B解析：首先，我们需要对函数fx根据导数的定义和运算法则，我们有：f=因此，选项B是正确的。设函数f(x)=2x^3+ax^2+bx在x=1处取得极值，且f’(x)在x=0处取得极大值，则函数f(x)的解析式为：A.f(x)=2x^3+3x^2+BxB.f(x)=2x^3-3x^2+BxC.f(x)=2x^3+x^2+Bx或f(x)=2x^3-x^2+BxD.以上都不是正确答案。答案：C解析：已知函数f(x)在x=1处取得极值，所以其一阶导数在该点为零，即f’(1)=0。同时已知f’(x)在x=0处取得极大值，因此我们可以得到二阶导数在该点也取得相应的变化性质。由此可得导数表达式并求出参数a和b的值。通过对函数的性质进行分析并结合题目给出的条件，我们可以得到正确的函数表达式为f(x)=2x^3+x^2+Bx或f(x)=2x^3-x^2+Bx。因此答案为C。已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1，那么f(x)在区间[-2,3]上的最大值是：A.17B.25C.33D.41答案：C解析：首先，我们需要找到函数f(x)的导数f’(x)，通过求导得到f’(x)=6x^2-6x-12。然后，我们令f’(x)=0，解得x=-1或x=2。这两个点是函数f(x)的驻点，可能是极值点。接下来，我们需要计算区间端点和驻点的函数值：f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-12(-2)+1=-16-12+24+1=-3f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1=-2-3+12+1=8f(2)=22^3-32^2-122+1=16-12-24+1=-19f(3)=23^3-33^2-123+1=54-27-36+1=-8通过比较这些值，我们可以发现f(x)在区间[-2,3]上的最大值是33，所以答案是C。7、函数f(x)=3x^4+2x^3-5x^2在区间[0,1]上的最大值和最小值分别为（）A.最大值为2，最小值为-2B.最大值为1，最小值为-1C.最大值为0，最小值为-无穷大D.最大值为无穷大，最小值为-无穷大，且在端点处取得。答案及解析见下页。答案：A解析：首先对函数求导得到f’(x)=12x^3+6x^2-10x，通过观察可知道该导数表示的是一个三次多项式函数。将导数零点设为临界点进行寻找函数可能的极值点，并进行函数的单调性分析。结合函数的端点值分析得知在区间[0,1]上函数f(x)在x=√[1/3]（即三分之根号三）处取得极大值（最大值为最大值点），最大值为f(√[1/3])=2。由于三次项系数为正，知该二次导函数二次导数在正方向上是一个倒立的抛物线（随着正数部分的增加而递减），可以推测当导数接近零点时存在极小值点。而在本题区间内端点x=0处取到最小值，最小值为f(0)=-无穷大。故在区间[0,1]上的最大值为2，最小值为无穷大。因此答案为A。8、以下选项中关于函数y=f(x)在某点处连续的描述正确的是（）A.函数在某点处的切线一定存在且连续不断B.函数在某点处的极限值等于函数在该点的函数值C.函数在某点处的导数值必定大于零D.函数在某点处的切线斜率为零且函数值不为零答案：B解析：函数在某点处连续的定义是函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。也就是说，对于任何自变量在趋于该点的极限过程中，函数值会趋于该点的函数值。故正确答案为B。选项A、C和D都没有涵盖函数在某点连续的全部要素。选项A提到切线连续不断并不适用于所有连续函数；选项C描述了导数的符号，而不是连续性；选项D提到的切线的斜率和函数值为零，并不一定反映函数的连续性。因此只有选项B符合连续性的定义。9、若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续不断，且存在常数M>0，使得对任意x₁，x₂∈[a，b]，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤M|x₁-x₂|成立，则称f(x)为区间[a，b]上的“利普希茨函数”。下列函数一定是区间[a，b]（其中a<b）上的“利普希茨函数”的是（）A.y=sinxB.y=x²+2x+1C.y=1/(x+2)D.y=e^x（答案：B）答案：B解析：对于选项B，函数y=x²+2x+1的导数f’(x)=2x+2，在区间[a，b]上连续且为增函数。根据利普希茨函数的定义，若函数在某区间上的导数存在且为增函数或减函数，则该函数在该区间上一定是“利普希茨函数”。因此，选项B的函数满足条件。而对于其他选项，它们的导数在特定区间上可能不存在单调性，所以不一定是“利普希茨函数”。10、若函数f(x)=x²+ax+b的图象恒在直线y=x的上方，则下列结论正确的是（）A.a>0且b>0B.a≥0且b≥0C.a<0且b>0D.a≥0且b<0答案：A解析：由于函数f(x)=x²+ax+b的图象恒在直线y=x上方，所以对于所有实数x，不等式f(x)>x成立。设y=f(x)和y=x的纵坐标之差为Δy=f(x)-x=x²+(a-1)x+b，根据题意Δy>0。因此二次函数g(x)=Δy在整个实数范围内都大于零。这意味着二次函数g(x)的开口向上且没有实数根，即判别式Δ<0。因此，系数a必须大于零以确保开口向上，并且由于无实数根，判别式Δ=(a-1)²-4b<0。结合这些信息，我们可以得出a>0且b必须大于某个特定值才能满足题目的要求，这只能与选项A对应，即a>0且b>0。11、设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，则下列结论正确的是（）A.若f(a)≥0且f(b)≥0，则必存在至少一点ξ属于[a，b]，使得f’(ξ)=0。B.若函数f’(x)≤0对一切x属于[a，b]，则函数f(x)在区间[a，b]上是单调递减的。C.必存在至少一点ξ属于(a，b)，使得f’(ξ)=0。D.若函数f’(x)在区间[a，b]上有零点，则函数f(x)必存在极值点。答案：B解析：对于选项A，虽然f(a)和f(b)的值均大于等于零，但这并不能保证存在导数等于零的点。对于选项C，没有足够的信息来确定是否存在导数等于零的点。对于选项D，即使函数的一阶导数在某区间内有零点，也不能保证函数在该区间内有极值点（例如，考虑函数f(x)=x^3在x=0处的导数为零，但函数无极值点）。对于选项B，如果函数在整个区间上的导数都小于等于零，根据导数的性质，我们知道函数在该区间上是单调递减的。因此，正确答案是B。12、（难度适中）函数y=x(a2-a-6)在定义域上为偶函数，且为单调减函数，则实数a的值为（）．A.5或-3B.-3或4C.5或4D.不能确定答案：B解析：根据偶函数的定义有f(-x)=f(x)，由于函数y=x(a2-a-6)在定义域上为偶函数，因此可以推导出指数a^2-a-6必须为偶数，否则无法满足偶函数的性质。再根据单调减函数的性质，当指数小于零时函数是单调减函数，所以可以得到不等式a^2-a-6<0。解这个不等式可以得到a的取值范围。结合这两个条件，我们可以得到实数a的值可能为-3或4。因此正确答案为B。二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）（）若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f’(c)=0。答案：闭区间上连续函数的性质解析：根据闭区间上连续函数的性质，如果函数在闭区间[a,b]上连续，并且在两端点取值相同，即f(a)=f(b)，那么至少存在一个点c在开区间(a,b)内，使得函数在该点的导数为零，即f’(c)=0。这是罗尔定理的内容。（）已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第5项a5=_______.答案：9解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，将n=5，a1=3，d=2代入公式得a5=3+(5-1)*2=9。（）函数y=sinx在区间[0,π]上的最大值为1，最小值为-1。答案：正确解析：函数y=sinx是一个周期函数，其周期为2π，在区间[0,π]上，函数是增函数，所以最大值为sinπ=0，最小值为sin0=0，而不是题目中给出的最