广东省部分学校2024-2025学年高三上学期11月联考数学试题含答案

2025届高三年级11月份联考数学试题本试卷共4页,19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2 B3.非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列an满足2a1+A.3B.4C.8D.102.已知t是实数,若1+titA.-1B.0C.1D.23.已知函数fx+A.f0=0B.f−4.如图,在方格边长为1的方格纸中,向量a,b,cA.-8B.-6C.6D.85.现有一盛水实心容器,其外形可以通过如下方式得到:在△ABC中,AB=AC=2,∠ABCA.3π2B.πC.36.已知点1,32在椭圆C:x2A.14B.24C.17.过点(-1,-1)分别作曲线y=eA.1eB.1C.eD.8.已知正数a,b满足a+b3−A.23,1B.32二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验,其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目,已知该卫星连续8天内观测到的低轨行星数目分别为:9,8,6,10,9,7,6,9,则这组样本数据的A.极差为3B.平均数是8C.上四分位数是9D.方差为210.平面内一动点M到坐标原点的距离为1,以M为圆心,1为半径的动圆与圆N:(x−1)2+A.存在唯一的圆M,使得A,BB.MNC.若△ABND.tan∠ANB的最大值为11.已知水平放置的正方形的边长为22,利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形ABCDA.∠ABD的最小值小于15∘B.∠BDCC.AC的最小值大于2D.BD的最大值大于4三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.函数fx=sin13.已知集合A=x,y∣y2=14.把3个红球和33个白球随机排成一圈,则连续排列的白球个数不超过13个的概率是四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2,右焦点到(1)求C的标准方程；(2)证明:直线AB的斜率存在且为定值,并求出该定值.16.(本小题满分15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a(1)证明:c=b(2)若cosC=54,17.(本小题满分15分)如图,平行六面体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD(1)证明:A1B(2)求二面角A1−18.(本小题满分17分)已知首项为1的正项数列an满足e(1)探究数列an(2)证明:2n19.(本小题满分17分)小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果,水果越采摘越多.奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘,且每次采摘均为随机采摘,当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后,将水果退回种植园,并再添加同种水果aa∈N(1)若小王选择的园区初始有5个橙子和15个苹果,小明选择的园区初始有4个橙子和12个苹果,且a=2.试比较:小王第2次采到橙子的概率和小明第(2)证明:无论初始时橙子和苹果的个数是多少,每一次采摘到橙子的概率都相等；(3)若初始有m个橙子和n个苹果,证明:第r次采摘后,累计采摘到的橙子个数的期望是mrm(附:若随机变量Yi服从两点分布,且PY2025届高三年级11月份联考数学参考答案及解析一、选择题1.B【解析】设an的公差为d,则2a1+32.B【解析】1+tit+i=1+t3.C【解析】由fx+2为奇函数知,f2+x+f(2−x4.A【解析】将向量a,b,c放入坐标系中考虑,则a=1,3,b=15.B【解析】由题意知,该容器的盛水部分为圆锥形,过点C向轴AB作垂线CH(H为垂足),则AH即为圆锥的高,CH为圆锥的底面半径,其中AH=AC.cos∠CAH=1,CH6.C【解析】将点的坐标代入椭圆方程,得1a2+94a2−1=1⇒94a2+a2−1=7.B【解析】由于y=ex,y=lnx是互为反函数的曲线,所以其关于直线y=x对称,由于点(-1,-称,不妨设其中一条切线的倾斜角为θ,则另一条的倾斜角为π2−θ,故这两条切线的斜率之积为tanθ.8.D【解析】因为a+b3=a3+b3+3aba+b,故原题干等式可转化为a3+b3+2ab=4,得a+b[(a+b)2−3ab]+2ab=4,设a+b=s,则ss2−3ab+2ab=4,解得ab=s3−43s−2,因为二、选择题9.BCD【解析】将这组数据从小到大排序得6,6,7,8,9,9,9,10,对于A,这组数据的极差为10−6=4,故A错误；对于B,平均数为6+6+7+8+9+9+9+108=8,故B正确;对于C,因为8×0.75=6,所以上四分位数为9+92=9,故C正确；对于D,方差为6−82+6−82+7−82+8−82+9−82+9−82+9−82+10−82×18=2,故D正确.故选BCD.10.BCD【解析】由于坐标原点与A,B其中一点重合,不妨设坐标原点为A,对于A:当动圆M与圆N内切或外切时,均有A,B两点重合,故A错误；对于B:点M在以A为圆心,1为半径的圆上运动,故MN∈AN−1,AN11.AD【解析】对于A,B选项,考虑正方形的一条边与x′轴重合,由斜二测画法的性质,另一条边与y′轴重合,如图所示,由于对称性与旋转可换性,图中∠ACB与∠BDC均等价为所求角.而由斜二测图性质,AB=CD=2,BC=AD=22,∠ACB+∠CAB=θ1=45∘,过A作BC的垂线,则tan∠ACB=122+1<12+3=tan15∘,即∠ACB<15∘,故∠ABD的最小值小于15∘,故A正确;过10+217sin2α+φ,其中tanφ=324,则最小值为10−三、填空题12.6π【解析】由题意可得fx=sinx3+cosx3=2sinx3+π413.2【解析】当a>2时,A∩B表示抛物线的一部分;当a<2时,A∩B为空集,因此当且仅当a=2时,集合14.485【解析】如图,位于红球之间的白球个数记为故满足方程x+y+z=33的解共有C352=595组.满足x,y,z≤13时的解有以下情形:①若x=13时,有13,13,7,13,12,8,13,11,9,13,10,10,13,9,11,13,8,12,13,7,13,共7种;同理,y=13时,有7种;z=13时,有7种.∴去掉重复的共有18种.②若x=12时,有12,12,9,(四、解答题15.解:(1)由题意得ca=线渐近线方程为y=±b故bca1+b2a又b2故a=故C的标准方程为x2−(2)证明:设Ax则x12−yy1−若x1=x2则AB的中点在坐标轴上,不满足M2m,m(m≠0),故x1≠x2此时y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=1得sinA=因为B≠C,所以所以A=2C所以sinC=sinA−C=sinA+C−2sinCcosA=sinB−2sinCcosA.(7分)由正弦定理,得c=b−2ccosA.(8分)(2)因为b=12,a=2c⋅cosC=52c,由余弦定理可得cosC=a2+所以AE2+BE2=4=AB2又因为A1E⊂平面A1所以AE⊥平面A1又A1B⊂平面A1BE依题意,有AE//A1D1(2)以E为原点,EA,EB所在直线分别为x轴,y轴,过点E作z轴垂直于平面ABCD在△A1EB中,由余弦定理得cos∠A1EB=EA12又A1所以EB(11分)由(1)可得平面A1BE的一个法向量为EA=(1设平面EBC1的一个法向量为则有BC1即−3a+33b(14分)则cos⟨EA所以二面角A1−BE−C(15分)【评分细则】该题两问用几何法或空间向量基本定理法,答案正确均给分。18.解:(1)由题意可得ea则ean令函数fx则f′∴fx在0,+∞则fx<f0=则ea∴a即数列an为递减数列.(8(2)令函数gxg令函数hx则h′x=ex−1,当数;当x>0时,h′x>0,hx为增函数,(12分)∴e∴g′x≥g0=0.令则e>又∵e∴ea当n≥2∴a即2nan>1所以2na19.解:(1)记第k次采摘到橙子的概率是PA则第k次采摘到苹果的概率是P对于小明:PA1P=同理:对于小王:PA2=PA1PA到橙子的概率大小相等均为14.(6(2)设第k次采摘时有bk个橙子和