2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.6函数的应用二课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE十一函数的应用(二)(15分钟30分)1.(2024·宝鸡高一检测)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要缘由,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml.假如某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将快速上升到0.8mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度削减,则他至少要经过______小时后才可以驾驶机动车. ()

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.设n个小时后才可以驾车,由题得方程0.8(1-50%)n=0.2,0.5n=QUOTE,n=2,即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车.2.(2024·郑州高一检测)有一个盛水的容器,由悬在它的上方的一条水管匀称地注水,最终把容器注满,在注水过程中,时刻t,水面高度y如图所示,图中PQ为一线段,与之对应的容器的形态是 ()【解析】选B.由函数图像可推断出该容器必定有不同规则形态,并且一起先先慢后快,所以下边粗,上边细,再由PQ为一线段,容器上端必是直的一段,故解除A,C,D.【补偿训练】(2024·福州高一检测)某学校开展探讨性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:x1.992.845.18y0.991.582.012.353.00现有如下4个模拟函数:①y=0.6x-0.2;②y=x2-55x+8;③y=log2x;④y=2x-3.02.请从中选择一个模拟函数,使它比较近似地反映这些数据的规律,应选()A.①B.②C.③ D.④【解析】选C.依据表中数据,画出图像如图:通过图像可看出,y=log2x能比较近似地反映这些数据的规律.3.依据有关资料,围棋状态空间困难度的上限M约为3361,而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与QUOTE最接近的是 ()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033 B.1053C.1071 D.1093【解析】选D.设QUOTE=x=QUOTE,两边取对数lgx=lg3361-lg1080=361×lg3-80,lgx≈93.28,所以接近1093.4.在不考虑空气阻力的状况下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2000·lnQUOTE.当燃料质量是火箭质量的______倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.()

A.e6 B.e6-1 C.e6+1 D.106-1【解析】选B.当v=12000米/秒时,2000·lnQUOTE=12000,所以lnQUOTE=6,所以QUOTE=e6-1.5.探讨人员发觉某种物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(单位:分钟)的改变规律是:y=2·2x+21-x(x≥0)经过______分钟,该物质温度为5摄氏度. ()

A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选A.某种物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(单位:分钟)的改变规律是:y=2·2x+21-x(x≥0),当y=5时,2·2x+21-x=5,由x≥0,解得x=1.所以经过1分钟,该物质温度为5摄氏度.6.家用冰箱制冷运用的氟化物,释放后破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型改变,满意关系式Q=Q0QUOTE,其中Q0是臭氧的初始量.(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是削减?(2)多少年以后将会有一半的臭氧消逝?(提示:ln2≈0.693,ln3≈1.099)【解析】(1)因为Q0>0,-QUOTE<0,e>1,所以Q=Q0QUOTE为减函数,所以随时间的增加,臭氧的含量是削减的.(2)设x年以后将会有一半的臭氧消逝,则Q=Q0QUOTE=QUOTEQ0,即QUOTE=QUOTE,取对数可得:-QUOTE=lnQUOTE解得x=400ln2≈277.2.所以278年以后将会有一半的臭氧消逝.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.某企业产值连续三年持续增长,这三年年增长率分别为P1,P2,P3,则这三年的年平均增长率为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE-1D.1+QUOTE【解析】选C.设这三年的年平均增长率为x,企业产值的基数为a,则aQUOTE=aQUOTE,所以x=QUOTE-1.2.若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩余量为y,则x,y的函数关系式是 ()A.y=0.957QUOTE B.y=0.9576100xC.y=QUOTE D.y=1-0.042QUOTE【解析】选A.设镭一年放射掉其质量的百分比为t,则有0.9576=1·QUOTE,t=1-QUOTE,所以y=QUOTE=0.957QUOTE.3.某新品牌电视机投放市场后第一个月销售100台,其次个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是 ()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.由题意,对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时,误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,y=300,与实际值790相差很大.综上,只有C中的函数误差最小,故选C.4.(2024·潍坊高一检测)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有QUOTE,则m的值为 ()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选D.依据题意得QUOTE=ae5n,令QUOTE=aent,即QUOTE=ent,因为QUOTE=e5n,故QUOTE=e15n,故t=15,m=15-5=10.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2,3所示.你能依据图像推断下列说法错误的是 ()①图2的建议为削减运营成本②图2的建议可能是提高票价③图3的建议为削减运营成本④图3的建议可能是提高票价A.① B.② C.③ D.④【解析】选BC.依据题意和图2知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘客量为0时,收入是0但是支出的变少了,即说明白此建议是降低成本而保持票价不变;由图3看出,当乘客量为0时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入变大,即票价提高了,即说明白此建议是提高票价而保持成本不变,综上可得①④正确,②③错误.6.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量削减QUOTE,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477) ()A.6 B.9 C.8 D.7【解析】选BC.设经过n次过滤,产品达到市场要求,则QUOTE×QUOTE≤QUOTE,即QUOTE≤QUOTE,nlgQUOTE≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥QUOTE≈7.4.【补偿训练】如图某池塘中的浮萍扩散的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,以下叙述中正确的是 ()A.这个指数函数的底数是2B.第5个月时,浮萍的面积超过30m2C.浮萍从4m2扩散到12m2须要经过1.5个月D.浮萍每个月增加的面积都相等【解析】选AB.对于A,由图像知,t=2时,y=4,所以a2=4,故a=2,故A正确;对于B,当t=5时,y=25=32>30,故B正确;对于C,当y=4时,由QUOTE=4,知t1=2,当y=12时,由QUOTE=12,知t2=log212=log24+log23=2+log23,则t2-t1=log23≠1.5,故C错误;对于D,浮萍每月增加的面积不相等,事实上增长速度越来越快,故D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.为绿化生活环境,某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵,安排3年后全年植树12.5万棵.若植树的棵数每年的增长率均为a,则a=________.

【解析】由题意可知6.4(1+a)3=12.5,所以(1+a)3=QUOTE,所以1+a=QUOTE,故a=QUOTE=25%.答案:25%8.某项探讨表明:在考虑行车平安的状况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=QUOTE,若l=6.05,则最大车流量为______辆/时.

【解析】当l=6.05时,F=QUOTE=QUOTE,因为v+QUOTE≥2QUOTE=22,当且仅当v=QUOTE,即v=11时取等号.所以F≤QUOTE=2018.答案:2018四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·吉林高一检测)我国加入WTO时,依据达成的协议,某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满意P(x)=QUOTE(其中t为关税的税率,且t∈[0,QUOTE),x为市场价格,b,k为正常数).当t=QUOTE时的市场供应量曲线如图所示.(1)依据图像求b,k的值.(2)当关税的税率t=QUOTE时,求市场供应量P不低于1024时,市场价格至少为多少?【解析】(1)由图可知,QUOTE,解得k=6,b=5,(2)由(1)可得P(x)=QUOTE,设m=(1-6t)(x-5)2,当t=QUOTE时,m=QUOTE(x-5)2,因为市场供应量P不低于1024时,所以2m≥1024,解得m≥10,所以QUOTE(x-5)2≥10,解得x≥10.故市场供应量P不低于1024时,市场价格至少为10.10.为了预防新冠病毒疫情,某学校对教室采纳药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后满意y=QUOTE,如图所示,现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请按题中所供应的信息,解答下列各题.(1)求y关于x的函数解析式;(2)探讨表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时才能有效杀灭空气中的病毒,那么此次消毒是否有效?为什么?【解析】(1)当0≤x≤8时,设y=λx,代入(8,6),解得λ=QUOTE,所以y=QUOTEx(0≤x≤8).当x≥8时,将(8,6)代入y=QUOTE,可得k=48,所以y=QUOTE,所以y=QUOTE(2)当x∈[0,8]时,QUOTEx=3,解得x=4,当x>8时,QUOTE=3,解得x=16.所以空气中每立方米的含药量不低于3mg时的持续时间为16-4=12(min)>10,所以此次消毒有效.1.在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验:将一块质量为7克的糖块放入肯定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克.联想到教科书中探讨“物体冷却”的问题,小明发觉可以用指数型函数S=ae-kt(a,k是常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量.(1)求a的值.(2)求k的值.(3)设这个试验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t改变的函数关系的草图,并简要描述试验中糖块的溶解过程.【解析】(1)由题意,t=0,S=a=7.(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,所以3.5=7e-5k,解得k=QUOTE.(3)M随t改变的函数关系的草图如图所示.溶解过程,随着时间的增加,渐渐溶解,溶解的速度越来越慢.2.(2024·上海高一检测)从金山区走出去的陈驰博士,在《自然——可持续性》杂志上发表的论文中指出:地球正在变绿,中国通过植树造林和提高农业效率,在其中起到了主导地位.已知某种树木的高度fQUOTE(单位:米)与生长年限t(单位:年,tÎN*)满意如下的逻辑斯蒂函数:fQUOTE=QUOTE,其中e为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.QUOTE(1)须要经过多少年,该树的高度才能超过5米?(精确到个位)(2)在第几年内,该树长高最快?【解析】(1)令fQUOTE=QUOTE>5,解得t>4+2ln5≈7.2,即须要经过8年,该树的高度才能超过5米;(2)当t∈N*时,fQUOTE-fQUOTE=QUOTE-QUOTE=Q