2024-2025学年新教材高中数学第12章复数12.1复数的概念课时素养评价含解析苏教版必修第二册

PAGE课时素养评价十八复数的概念(20分钟35分)1.(2024·潍坊高一检测)下列命题正确的是 ()A.(-i)2=-1B.-i2=-1C.若a>b,则a+i>b+iD.若z∈C,则z2>0【解析】选A.QUOTE=i2=-1,A正确;-i2=-QUOTE=1,B错误;虚数无法比较大小,C错误;若z=i,则z2=-1<0,D错误.【补偿训练】若a,b∈R,且a>b,那么 ()A.ai>bi B.a+i>b+iC.ai2>bi2 D.bi2>ai2【解析】选D.虚数不能比较大小,故A,B错;因为i2=-1,a>b,所以ai2<bi2,故C错D对.2.假如z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为 ()A.1 B.0C.-1 D.-1或1【解析】选B.由题意知QUOTE解得m=0.3.适合x-3i=(8x-y)i的实数x,y的值为 ()A.x=0且y=3 B.x=0且y=-3C.x=5且y=3 D.x=3且y=0【解析】选A.依题意得QUOTE解得QUOTE4.以QUOTEi-QUOTE的虚部为实部,以8i2+QUOTEi的实部为虚部的复数是________.

【解析】QUOTEi-QUOTE的虚部为QUOTE,8i2+QUOTEi=-8+QUOTEi的实部为-8.答案:QUOTE-8i5.满意方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的实数对(x,y)表示的点的个数为________.

【解析】由题意知QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以实数对(x,y)表示的点有QUOTE,QUOTE,共有2个.答案:26.已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,则当实数m为何值时,复数z(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.【解析】(1)当m2-m-6=0,即m=3或m=-2时,z为实数.(2)当m2-m-6≠0,即m≠-2且m≠3时,z是虚数.(3)当QUOTE即m=-1时,z是纯虚数.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·北京高一检测)已知i是虚数单位,a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.复数a+bi是纯虚数,则QUOTE所以“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件.2.(2024·武汉高一检测)已知a为实数,若复数z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,则复数z的虚部为 ()A.3 B.6i C.±3 D.6【解析】选D.因为z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数,所以QUOTE解得a=3,所以z=6i,则复数z的虚部为6.3.(2024·三亚高二检测)已知复数z=x+yiQUOTE,则 ()A.z2≥0B.z的虚部是yiC.若z=1+2i,则x=1,y=2D.z为实数时,x+y=0【解析】选C.对于A选项,取z=i,则z2=-1<0,A选项错误;对于B选项,复数z的虚部为y,B选项错误;对于C选项,若z=1+2i,则x=1,y=2,C选项正确;对于D选项,z为实数时,y=0,D选项错误.4.若复数cosα+isinα和sinα+icosα相等,则α的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE或QUOTEC.2kπ+QUOTE(k∈Z) D.kπ+QUOTE(k∈Z)【解析】选D.依据两个复数相等的充要条件建立关系式得cosα=sinα,即tanα=1,所以α=kπ+QUOTE(k∈Z).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.对于复数z=a+bi(a,b∈R),下列结论错误的是 ()A.若a=0,则a+bi为纯虚数B.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2C.若b=0,则a+bi为实数D.z为虚数时,b≠0【解析】选AB.因为z=a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时复数为纯虚数,故A错误;当b=0时,复数为实数,故C正确;z为虚数时,b≠0,故D正确;对于B:a-bi=3+2i,则QUOTE即QUOTE故B错误.6.(2024·扬州高二检测)已知i为虚数单位,下列说法正确的是 ()A.若x,y∈R,且x+yi=1+i,则x=y=1B.随意两个虚数都不能比较大小C.若复数z1,z2满意QUOTE+QUOTE=0,则z1=z2=0D.-i的平方等于1【解析】选AB.对于选项A,因为x,y∈R,且x+yi=1+i,依据复数相等的性质,则x=y=1,故正确;对于选项B,因为虚数不能比较大小,故正确;对于选项C,因为若复数z1=i,z2=1满意QUOTE+QUOTE=0,则z1≠z2≠0,故不正确;对于选项D,因为复数QUOTE=-1,故不正确.【补偿训练】(多选题)(2024·潍坊高二检测)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 ()A.若x,y∈C,则x+yi=3-2i的充要条件是x=3,y=-2B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数C.若实数a与ai对应,则实数集与纯虚集一一对应D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数【解析】选BD.取x=-2i,y=-3i,则x+yi=3-2i,但不满意x=3,y=-2,故A错误;∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;若a=0,则ai不是纯虚数,故C错误;m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是________.

【思路导引】复数值大于1,则复数必为实数,即虚部为0,实部大于1.【解析】因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,所以QUOTE即QUOTE解得x=-2.答案:-28.复数z=cosQUOTE+isinQUOTE,且θ∈QUOTE,若z是实数,则θ的值为________;若z为纯虚数,则θ的值为________.

【解析】z=cosQUOTE+isinQUOTE=-sinθ+icosθ.当z是实数时,cosθ=0,因为θ∈QUOTE,所以θ=±QUOTE;当z为纯虚数时QUOTE又θ∈QUOTE,所以θ=0.答案:±QUOTE0四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·通化高二检测)已知复数z:m(m-1)+(m2+2m-3)i,当m取何值时复数z是:(1)实数;(2)纯虚数;(3)z=2+5i.【解析】(1)因为z为实数,所以m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1,所以当m=-3或m=1时,z为实数;(2)由z为纯虚数,可得QUOTE即QUOTE解得m=0,所以当m=0时,z为纯虚数;(3)因为z=2+5i,所以m(m-1)+(m2+2m-3)i=2+5i,所以QUOTE解得m=2,所以当m=2时z=2+5i.10.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},且M∩NM,M∩N≠∅,求整数a,b的值.【解析】若M∩N={3i},则(a+3)+(b2-1)i=3i,即a+3=0且b2-1=3,即a=-3,b=±2.当a=-3,b=-2时,M={3i,8},N={3i,8},M∩N=M,不合题意,舍去;当a=-3,b=2时,M={3i,8},N={3i,8+4i},符合题意,所以a=-3,b=2.若M∩N={8},则8=(a2-1)+(b+2)i,即