2024-2025学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术-几何平均不等式课时作业含解析新人教A版选修4-5

PAGE第一讲不等式和肯定值不等式[课时作业][A组基础巩固]1．设x，y，z>0且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)解析：∵lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)，而xyz≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y＋z,3)))3＝23，∴lgx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案：B2．函数y＝x2·(1－5x)(0≤x≤eq\f(1,5))的最大值为()A.eq\f(4,675) B.eq\f(2,657)C.eq\f(4,645) D.eq\f(2,675)解析：∵0≤x≤eq\f(1,5)，∴1－5x≥0，∴y＝x2·(1－5x)＝eq\f(4,25)[eq\f(5,2)x·eq\f(5,2)x·(1－5x)]≤eq\f(4,25)[eq\f(\f(5,2)x＋\f(5,2)x＋1－5x,3)]3＝eq\f(4,675).当且仅当eq\f(5,2)x＝1－5x，即x＝eq\f(2,15)时取“＝”，故选A.答案：A3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式正确的是()A．V≥π B．V≤πC．V≥eq\f(1,8)π D．V≤eq\f(1,8)π解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝3.V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R＋R＋h,3)))3＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时取等号．答案：B4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))，则必有()A．0≤M<eq\f(1,8) B.eq\f(1,8)≤M<1C．1≤M<8 D．M≥8解析：M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,b)－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,c)－1))＝eq\f(b＋ca＋ca＋b,abc)≥eq\f(8\r(bc)·\r(ac)·\r(ab),abc)＝8，当且仅当a＝b＝c时等号成立．答案：D5．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是()A．y＝x2＋2x＋eq\f(4,x3)≥3eq\r(3,x2·2x·\f(4,x3))＝6，∴ymin＝6B．y＝2＋x＋eq\f(1,x)≥3eq\r(3,2·x·\f(1,x))＝3eq\r(3,2)，∴ymin＝3eq\r(3,2)C．y＝2＋x＋eq\f(1,x)≥4，∴ymin＝4D．y＝x(1－x)(1－2x)≤eq\f(1,3)[eq\f(3x＋1－x＋1－2x,3)]3＝eq\f(8,81)，∴ymax＝eq\f(8,81)解析：A，B，D在运用不等式a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)(a，b，c∈R＋)和abc≤(eq\f(a＋b＋c,3))3(a，b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋eq\f(1,x)＝2＋(x＋eq\f(1,x))≥2＋2＝4，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号．答案：C6．若x>0，则函数y＝4x2＋eq\f(1,x)的最小值是________．解析：∵x>0，∴y＝4x2＋eq\f(1,x)＝4x2＋eq\f(1,2x)＋eq\f(1,2x)≥3eq\r(3,4x2·\f(1,2x)·\f(1,2x))＝3.当且仅当4x2＝eq\f(1,2x)(x>0)，即x＝eq\f(1,2)时，取“＝”，∴当x＝eq\f(1,2)时，y＝4x2＋eq\f(1,x)(x>0)的最小值为3.答案：37．若a>2，b>3，则a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)的最小值为________．解析：∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0，∴a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)＝(a－2)＋(b－3)＋eq\f(1,a－2b－3)＋5≥3eq\r(3,a－2·b－3·\f(1,a－2b－3))＋5＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时等号成立)．答案：88．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．解析：设底面边长为x，高为h，则eq\f(\r(3),4)x2·h＝V，所以h＝eq\f(4\r(3)V,3x2)，又S表＝2·eq\f(\r(3),4)x2＋3xh＝eq\f(\r(3),2)x2＋3x·eq\f(4\r(3)V,3x2)＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(8V,x)))＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4V,x)＋\f(4V,x)))≥eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3,16V2)＝3eq\r(3)×eq\r(3,2V2)，当且仅当x2＝eq\f(4V,x)，即x＝eq\r(3,4V)时，S表最小．答案：eq\r(3,4V)9．已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋eq\f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3.证明：因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋eq\f(1,x2－2xy＋y2)－2y＝2(x－y)＋eq\f(1,x－y2)＝(x－y)＋(x－y)＋eq\f(1,x－y2)≥3eq\r(3,x－y2\f(1,x－y2))＝3，所以2x＋eq\f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3.10．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．解析：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，由图可有2h＋eq\r(3)x＝eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2)(1－x)，V＝S底·h＝6×eq\f(\r(3),4)x2·h＝eq\f(3\r(3),2)x2·eq\f(\r(3),2)·(1－x)＝2eq\r(3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\f(x,2)×eq\f(x,2)×(1－x)≤9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(x,2)＋\f(x,2)＋1－x,3)))3＝eq\f(1,3).当且仅当eq\f(x,2)＝eq\f(x,2)＝1－x，即x＝eq\f(2,3)时，等号成立．所以当底面边长为eq\f(2,3)时，正六棱柱容器的容积最大，为eq\f(1,3).[B组实力提升]1．已知a，b，c∈R＋，x＝eq\f(a＋b＋c,3)，y＝eq\r(3,abc)，z＝eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))，则()A．x≤y≤z B．y≤x≤zC．y≤z≤x D．z≤y≤x解析：∵a，b，c∈R＋，∴eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，∴x≥y，又x2＝eq\f(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac,9)，z2＝eq\f(3a2＋3b2＋3c2,9)，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.答案：B2．若实数x，y满意xy>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()A．1 B．2C．3 D．4解析：xy＋x2＝eq\f(1,2)xy＋eq\f(1,2)xy＋x2≥3eq\r(3,\f(1,2)xy·\f(1,2)xy·x2)＝3eq\r(3,\f(1,4)x2y2)＝3eq\r(3,\f(4,4))＝3.答案：C3．设x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________．解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8(eq\f(sin2x＋sin2x＋2cos2x,3))3＝8×eq\f(8,27)＝eq\f(64,27)，∴y2≤eq\f(64,27)，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝eq\r(2)时，等号成立．∴ymax＝eq\f(8\r(3),9).答案：eq\f(8\r(3),9)4．设正数a，b，c满意a＋b＋c＝1，则eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2)的最小值为________．解析：∵a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，∴(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9.∴(eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2))·[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥3·eq\r(3,\f(1,3a＋23b＋23c＋2))·3eq\r(3,3a＋23b＋23c＋2)＝9.当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时等号成立．即eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2)≥1.故eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2)的最小值为1.答案：15．设a，b，c为正实数，求证：eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).证明：因为a，b，c为正实数，由算术—几何平均不等式可得eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))，即eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥eq\f(3,abc)(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥eq\f(3,abc)＋abc.而eq\f(3,abc)＋abc≥2eq\r(\f(3,abc)·abc)＝2eq\r(3)(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3)(当且仅当a＝b＝c＝eq\r(6,3)时，等号成立)．6．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度改变)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解析：设船速为V千米/小时，燃料费为A元/小时，则依题意有A＝k·V3，且有30＝k·103，∴k＝eq\f(3,100).∴A＝eq\f(3,10