2024春新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法分层演练含解析新人教A版必修第二册

6.4平面对量的应用A级基础巩固1.在△ABC中,设AB=c,BC=a,CA=b,若c·(c+a-b)<0,则△ABC是()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.无法确定其形态解析:由已知,得AB·(AB+BC-CA)=AB·2AC<0,所以A为钝角.所以△ABC为钝角三角形.答案:C2.在四边形ABCD中,AB=(12,2),BC=(x,y),CD=(-4,-6).若BC∥DA,且AC⊥BD,则四边形ABCD的面积为 ()A.16 B.64 C.32 D.128解析:AD=AB+BC+CD=(x+8,y-4),AC=AB+BC=(x+12,y+2),BD=BC+CD=(x-4,y-6).因为BC∥DA,且AC⊥BD,DA=-AD,所以y解得x=4,所以|AC|=16,|BD|=8或|AC|=8,|BD|=16,所以S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=64故选B.答案:B3.已知△ABC的重心是点G,CA的中点为点M,且A,M,G三点的坐标分别是(6,6),(7,4),（163,83）,则|BC|为 (A.410 B.10 C.102 D.2解析:设B(x1,y1),C(x2,y2),由条件可知6+x22=7,6+因为6+8+x13=16所以|BC|=|BC|=(8-2)2答案:D4.在△ABC中,若13(OA+OB+OC)=OG,则点G是△ABC的(A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析:因为13(OA+OB+OC)=OG,所以GA-GO+GB-GO+GC-GO=3OG,化简得GA+GB+GC=0,故点G为△ABC的重心答案:D5.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.解:设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a+b.因为|BD|=|a-b|=a21+4-2a·所以5-2a·b=4,所以a·b=12因为|AC|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,所以|AC|=6,即AC=6.B级实力提升6.在△ABC所在的平面内有一点P,满意PA+PB+PC=AB,则△PBC与△ABC的面积之比是 ()A.13 B.12 C.2解析:由PA+PB+PC=AB,得PA+PB+BA+PC=0,即PC=2AP,所以点P是CA边上的三等分点(靠近点A),如图所示.故S△PBCS△ABC答案:C7.在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则|PA|2+A.2 B.4 C.5 D.10解析:将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则|=PA=(=2=AB2PC2-6=4答案:D8.△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.证明:如图所示,建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则D(0,1),所以AD=(-2,1),AC=(-2,2).设F(x,y),由BF⊥AD,得BF·AD=0,即-2x+y=0, ①因为点F在AC上,则FC∥AC.因为FC=(-x,2-y),所以2×(-x)-(-2)×(2-y)=0,即x+y=2. ②由①②联立得x=23,y=4所以F（23,43）,DF=（23,因为DC=(0,1),所以DF·DC=13因为DF·DC=|DF||DC|cos∠FDC=53cosθ所以cos∠FDC=55因为cos∠ADB=|BD||AD|所以cos∠ADB=cos∠FDC,故∠ADB=∠FDC.C级挑战创新9.多空题已知A,B是圆心为C、半径为5的圆上的两点,且|AB|=5,则∠ACB=60°,AC·CB=-52解析:由弦长|AB|=5可知∠ACB=60°,所以AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cos∠ACB=-5210.多空题在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则AC与BD的夹角θ为π2;四边形ABCD的面积为5解析:由题意知AC,BD