数字逻辑课件-逻辑代数

11.3逻辑代数

1.3.1逻辑变量和基本的逻辑运算1.逻辑变量在逻辑代数中，变量具有二值性。即只有两种可能的取值：“真”(true)，常把“真”记作1，“假”(false)，常把“假”记作0，这里1和0并不表示数值的大小，而是表示完全对立的两个方面；

1表示条件具备或事情发生；0表示条件不具备或事情不发生。2

例如，对于“灯亮”这个命题，如果我们定义逻辑变量A代表“灯是否亮”，则可假设A=1表示“灯亮”，

A=0表示“灯不亮”。在现实生活中，事物的某种性质表现为两种互不相容的状态，它的发生与否只有完全对立的两种可能性，要么是“真”，要么是“假”，非此即彼。32.基本的逻辑运算

逻辑代数的基本运算只有三种：“与”运算、“或”运算、“非”运算。

(1)“与”运算“与”逻辑（逻辑乘）关系：当决定一事件的所有条件都具备之后，这事件才会而且一定会发生。设A和B两个逻辑变量，若对A，B进行逻辑乘，则其逻辑表达式为Z=A·B或Z=A∧B，一般简写为Z=AB

4假定：灯亮为“1”，不亮为“0”；开关在合上位置为“1”，在断开位置为“0”。把灯的状态和两个开关所处位置之间的关系列表。如下表所示，把这种表称为真值表（或称为功能表）ABZ000100010111在下图所示电路中，用两个串联的开关A、B控制一盏灯，灯亮的条件是开关A“与”开关B“同时”处在“合上”位置。“与”运算真值表ZABV5真值表：把所有的条件（变量）的全部组合以表格形式列出来，再把在每一种组合下对应的事件（函数）的值求出来。若有n个条件，就有2n个组合。(2)“或”运算“或”逻辑（逻辑加）关系：当决定一个事件的各条件中，只要具备一个条件，事件就会发生。

用并联的两个开关A和B控制一盏灯如右图所示，只要开关A或B处于合上位置，灯亮这个事件就会发生，Z与A，B的关系就是“或”逻辑关系。ZVAB6按照前面的假定来赋值“0”，“1”，其逻辑表达式为Z=A+B或Z=A∨B，列出真值表如下表：ZVAB“或”运算真值表ABZ000010111117(3)“非”运算非运算：就是否定，或者称为求反。例如，用一个开关和灯并联，仍采用前面的假定来赋值“0”，“1”，则可列出真值表，Z是A的否定，其逻辑表达式为“非”运算真值表

AZ0110

ZVAR81.3.2逻辑代数的基本运算和基本定理

逻辑代数也称布尔代数，其基本思想是英国数学家布尔于1854年提出的。

1938年，香农把逻辑代数用于开关和继电器网络的分析、化简，率先将逻辑代数用于解决实际问题。经过几十年的发展，逻辑代数已成为分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具。9

逻辑代数提供了一种方法，即使用二值函数进行逻辑运算，这样，一些用语言描述显得十分复杂的逻辑命题，使用数学语言后，就变成了简单的代数式。逻辑电路中的一个逻辑命题，不仅包含肯定和否定两重含义，而且包含条件与结果许多种可能的组合。比如，一个3输入端的与非门存在着输入与输出状态的八种可能的组合。用语言描述既罗嗦又不清晰，用真值表则一目了然，而用代数式表达就更为简明。10逻辑代数的一个重要规则—对偶规则。对于任何一个逻辑表达式Z，假如把式中所有的逻辑“或”换成逻辑“与”，逻辑“与”换成逻辑“或”，“1”换成“0”，“0”换成“1”，但保持原表达式的运算优先顺序（即先“与”后“或”，括号优先），那么便可得到一个新的表达式，我们称为Z的对偶式，记作Z’。

例如：Z1=A·(B+C)Z’1=A+B·C对偶规则：如果两个逻辑表达式相等，那么，它们各自的对偶式也必相等。111.逻辑代数的基本定律

(1)基本定律①

0-1律0+A=A1·

A=A1+A=10·

A=0②重叠律A+A=AA

·

A=A③互补律

④交换律A+B=B+AA·B=B·A

⑤结合律

A+(B+C)=(A+B)+C

A·(B·C)=(A·B)·C

⑥分配律

A·(B+C)=A·B+A·C

A+B·C=(A+B)·(A+C)

⑦反演律

⑧否定律

普通代数不适用!12对于上述前七个定律，右边公式都可以根据对偶规则从左边公式得到，其中，反演律也称德·摩根(DeMorgan)定理，十分有用，还可以推广到两个以上变量的情况，即(2)证明方法上述各定律的证明的基本方法是真值表法，即分别列出等式两边逻辑表达式的真值表，若两个真值表完全一致，则表明两个逻辑表达式相等，定律便得到证明，对偶规则的存在，使得需要证明的公式数减少了一半。13例如，证明反演律，AB001111100011010011110000第二列和第三列在变量A，B的所有四种取值组合下结果完全一致，因而得证。类似地，第四列和第五列在变量A，B的所有四种取值组合下结果完全一致，因而得证。14普通代数的一些定律和定理不能错误地“移植”到逻辑代数中。例如，在普通代数中，把等式两边相同的项消去，等式仍成立，但在逻辑代数中则不然，请看下例：可以证明但是

也就是说，不能从等式两边同时消去AB，以得到一个新的等式。这是因为逻辑代数中只有与、或、非三种运算，而不存在什么“减”运算。

152.逻辑代数的基本定理

(1)基本定理除基本定律外，逻辑代数中还有一些定理，其中很常用的有以下3对（6条）：定理1A+AB=A

A(A+B)=A定理2定理316(2)证明方法定理的证明除可用真值表法外，还可根据基本定律和已证明的定理进行推演。定理1（左）的证明：A+AB=A（1+B）(由分配律)=A·1(由0－1律)=A(由0－1律)定理1（右）的证明：A(A+B)=AA+AB(由分配律)=A+AB(由重叠律)=A

（由定理1（左））

17定理2（左）的证明：

（由定理1）

(由分配律)

=A+1·B(由互补律)=A+B(由0－1律)定理2（右）的证明：(由分配律)

=0+AB(由互补律)=AB(由0－1律)18定理3（左）的证明：

(由互补律)

(由分配律)

（由交换律）

(由分配律)(由0－1律)

19定理3（右）的证明：左边：(由分配律)

(由互补律)

（由定理3（左）)

(由分配律)

（由定理1）

右边：

(由分配律)

（由互补律）

（由定理3（左））

本定理得证。

掌握上述基本定律和基本定理，有益于熟练地进行逻辑表达式的变换和化简。

203.异或运算及有关公式

异或运算，其符号为“⊕”，定义如下：

当变量A，B取值相异时其值为1，相同时其值为0，因而得名，异或运算的反称为同或运算（其符号为⊙）：

A⊙B=

当变量A，B取值相同时其值为1，相异时其值为0。21异或运算和同或运算的真值表如下表所示。

ABA⊕BA⊙B0001011010101101异或运算的主要公式如下：(1)交换律(2)结合律

(3)分配律

22(4)常量和变量的异或运算(5)奇偶律

23反演定理内容：将函数式F中所有的•++•变量与常数均取反

（求反运算）互补运算1.运算顺序：先括号再乘法后加法。2.不是一个变量上的反号不动。注意:用处：实现互补运算（求反运算）。得到新表达式：(变换时，原函数运算的先后顺序不变)24例1：

与或式注意括号注意括号

求：25例2：

与或式反号不动

求：261.3.3逻辑函数的表示方法1.逻辑函数如果输入逻辑变量的取值确定以后，输出逻辑变量的值也必然被唯一地确定了，则输出是输入变量的逻辑函数。逻辑函数也只能取“0”或“1”两个值，它随输入变量取值的变化而变化。27一个楼梯电灯开关的控制电路作用：它可在楼上和楼下分别打开或关掉楼梯上的这盏灯。如规定开关向上为“1”，向下为“0”；如灯亮用Y=1表示，灯灭用Y=0表示。那么282.逻辑函数的表示方法4种表示方法：逻辑真值表逻辑函数式逻辑图卡诺图(1)逻辑真值表

把输入变量所有的取值组合和对应的输出值列成的表格。如楼梯电灯开关控制电路的逻辑真值表为ABY00101010011129(2)逻辑函数式把输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，即逻辑代数式。如楼梯电灯开关控制电路中，在开关A和B都向上（可表示为A·B）或者开关A和B都向下（可表示为）时，灯Y才亮（Y=1），因此输出的逻辑函数式为30(3)逻辑图把逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来后所得到的图。为了得到楼梯电灯开关控制电路的逻辑图，只要用逻辑运算的图形符号替换逻辑函数式中的运算符号，就可得到逻辑图。31(4)各种表示方法之间的互相转换经常用的转换方式有：①从真值表写出逻辑函数式i.找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值组合；ii.每组输入变量取值组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量；iii.将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。32

如楼梯电灯开关控制电路的真值表为ABY0010