第7章数字逻辑基础

第7章数字逻辑基础第一节数制与编码第二节逻辑函数的表示方法第三节逻辑代数的基本定律及规则第四节逻辑函数的标准表达式第五节逻辑函数的化简教学目的及要求：

1.掌握常用的数制及其数值之间的相互转换2.常用BCD码3.掌握几种基本的逻辑运算和导出的逻辑运算教学重点：数值间的相互转换；与、或、非及几种导出的运算教学难点：数值间的相互转换；与、或、非及几种导出的运算第7章数字逻辑基础权权权特点：1)基数10，逢十进一，即9+1=103)不同数位上的数具有不同的权值10i。

4)任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式按权展开式

2)有0-9十个数字符号，数码Ki从0-9(276)D=2×102+7×101+6×100

1.十进制数:第一节数制与编码

2.二进制数1）基数2，逢二进一，即1+1=103）不同数位上的数具有不同的权值2i。4）任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式2)有0-1两个数字符号，数码Ki从0-1

例7-1四位二进制数1011，可以表示成

(1101)2=1×23+1×22+0×21+1×20=

8+4+0+1=（13）10

二进制数的运算规则：加法0+0=00+1=1+0=11+1=10

乘法0×0=00×1=1×0=01×1=1

从以上可知，二进制数比较简单，只有0和1两个数码，并且算术运算也很简单，所以二进制数在数字电路中获得广泛应用。但是二进制数也有缺点：用二进制表示一个数时，位数多，读写不方便，而且也难记忆。

式中，下标“O”表示八进制数，Ki表示第i位的系数，可取0~7这8个数；8i为第i位的权；n为原数总位数。例如，（128）8=（1×82+2×81+8×80）10=（64+16+8）10=（88）10

3.八进制数八进制数是以8为基数的计数体制，采用“逢八进一”的计数规律。

任意一个八进制数(N)8可写成按权展开式

4.十六进制数十六进制数是以16为基数的计数体制，它用0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F这16个数码表示，采用“逢十六进一”的计数规律。四位二进制码可用一位十六进制码表示。任意一个十六进制数(N)H可以写成按权展开式(8-4)例如（4E6）16=4×162+14×161+6×160=（1254）10几种数制对照表二、数制的转换1.非十进制转换成十进制将一个二进制、八进制或十六进制数转换成十进制数，只要写出该进制数的按权展开式，然后按十进制数的计数规律相加，就可得到所求的十进制数。

(10011)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20

＝（19）D（128）8=（1×82+2×81+8×80）10=（64+16+8）10=（88）10（5D）16=（5×161+13×160）10=（80+13）10=（93）10

2.十进制数转换二进制例7-2求[29]10=[]2。“除2取余法”2222229147310…余1…余0…余1…余1…余1高位底位[29]10=[11101]23.二进制、八进制和十六进制的相互转换1）二进制和八进制的相互转换

一个二进制数转换成八进制，只需把二进制数从小数点位置向两边按3位二进制数划分开，不足3为的补0，然后把3位二进制数表示的八进制数写出来就是对应的八进制数。如：（101011100101）2=（101

011

100

101）2=（5345）8将一个八进制数转换成二进制，只要把八进制数的每一位用3位二进制数表示出来即为对应的二进制数,如：（6574）8=（110

101

111

100）2=（110101111100）2

2）二进制和十六进制的相互转换一个二进制数转换成十六进制，只需把二进制数从小数点位置向两边按4位二进制数划分开，不足4为的补0，然后把4位二进制数表示的八进制数写出来就是对应的十六进制数。十六进制数转换成八进制，只需将每一位十六进制数用四位二进制数表示即可。如（10111010110）2=（010111010110）2=（5D6）16（9A7E）16=（1001101001111110）2=（1001101001111110）2三、编码数字设备只能识别0和1，为了沟通人—机联系，用一定位数的二进制数码的组合来表示十进制数码和字母等符号。这种特写的0和1的组合称为代码，建立代码与信息之间的一一对应关系称为编码。1、二—十进制编码(BCD码)

二—十进制编码是用四位二进制码的10种组合表示十进制数0~9，简称BCD码。这种编码至少需要用四位二进制码元，而四位二进制码元可以有

16种组合。当用这些组合表示十进制数0~9时，有六种组合不用，所以二—十进制编码有多种，常见的有8421BCD码、2421BCD码和5421BCD码。如表7-1所示：1）8421BCD码

8421BCD码是最基本和最常用的BCD码，它和四位自然二进制码相似，各位的权值为8、4、2、1，故称为有权BCD码。和四位自然二进制码不同的是，它只选用了四位二进制码中前10组代码，即用0000~1001分别代表它所对应的十进制数，余下的六组代码不用2、可靠性代码代码在数字系统或计算机中形成与传送过程中，都可能发生错误。为使代码不易出错，或者出错时容易发现，甚至能查出错误的位置，除提高计算机本身的可靠性外，人们还采用可靠性编码。常用的可靠性代码有格雷码、奇偶校验码。1）格雷码（Gray）

Gray码也称循环码，最基本的特性是任何相邻的两组代码中，仅有一位数码不同，因而又叫单位距离码。从表中看出，这种代码除了具有单位距离码的特点外，还有一个特点就是具有反射特性，即按表中所示的对称轴为界，除最高位互补反射外，其余低位数沿对称轴镜像对称。

利用这一反射特性可以方便地构成位数不同的Gray码。2）奇偶校验码组成

信

息位：需要传送的信息本身。

1位奇偶检验位：取值为0或1，以使整个代码中“1”的个数为奇数或偶数。

使“1”的个数为奇数的称奇校验，为偶数的称偶校验。

00110101106001011010151010000100400011100113100100001021000100001100000100000校验码信息码校验码信息码偶校验码奇校验码十进制数第二节逻辑函数的表示方法一、三种基本逻辑运算与逻辑运算或逻辑运算非逻辑运算1.与运算2.或运算3.非运算二、复合逻辑运算

1.与非逻辑与非逻辑运算的实质是对与运算的结果再进行非运算。其逻辑表达式为：条件A条件B结果Y001101011110与非逻辑的运算法则是：有0出1，全1出0

2.或非逻辑“或”和“非”的复合运算称为或非运算，先“或”后“非”。逻辑表达式为条件A条件B结果Y001101011000或非逻辑运算法则是：有1出0，全0出1

3.与或非逻辑“与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非运算。先“与”后“或”再“非”。逻辑表达式：

4.异或运算所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为0，取值不相同时输出为1。逻辑表达式：异或运算ABY101101001100异或逻辑运算的规则：相同为0，相异为1。5.同或运算

所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0。逻辑表达式：式中，符号“⊙”表示同或运算，读作“同或”。ABY101101000011同或运算同或逻辑运算的规则：相同为1，相异为0三、逻辑函数及其表示方法

1.逻辑变量和逻辑函数

在数字系统中，开关的接通与断开，电压的高和低，信号的有和无，晶体管的导通与截止等两种稳定的物理状态，均可用1和0这两种不同的逻辑值来表征，这种仅有两个取值的自变量称为逻辑变量，通常用字母A、B、C…来表示。如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为：

所以逻辑函数是用有限个与、或、非等逻辑运算符，应用逻辑关系将若干个逻辑变量A、B、C等连接起来的表达式。

注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。2.逻辑函数的表示方法1)真值表真值表是用数字符号表示逻辑函数的一种方法。它反映了各输入逻辑变量的取值组合与函数值之间的对应关系。对一个确定的逻辑函数来说，它的真值表也惟一被确定。特点：能够直观、明了地反映变量取值与函数值的对应关系。

A

B

CYA

B

CY0

0

001

0

000

0

101

0

110

1

001

1

010

1

111

1

11例7-3一个多数表决电路，有三个输入端，一个输出端，它的功能是输出与输入的多数一致。试列出该电路的真值表。解：根据题意，设三个输入变量为A、B、C，输出为Y。当三个输入变量中有两个及两个以上为1时，输出为1；输入有两个及两个以上为0时，输出为0。由此，可列出真值表。2)逻辑函数式逻辑函数式是用与、或、非等运算关系组合起来的逻辑代数式。它是数字电路输入量与输出量之间逻辑函数关系的表达式，也称函数式或代数式。优点：形式简洁，书写方便，直接反映了变量间的运算关系，便于用逻辑图实现该函数。例7-4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。解：根据门电路的逻辑符号和对应的逻辑运算，由前向后逐级推算，即可写出输出函数Y的表达式3)逻辑图

逻辑图是用逻辑符号表示逻辑函数的方法。特点：逻辑符号与数字电路器件有明显的对应关系，比较接近于工程实际。它可以把实际电路的组成和功能清楚地表示出来，另外又可以从已知的逻辑图方便地选取电路器件，制作成实际数字电路。

例7-5画出与函数式Y=AB+BC+AC对应的逻辑图。解：分析表达式，并根据运算顺序，首先应用三个与门分别实现A与B、B与C和A与C，然后再用或门将三个与项相加。4)波形图波形图反映了逻辑变量的取值时间变化的规律，所以也叫做时序图。波形图可以直观地表达输入变量与输出变之间的逻辑关系。第三节

逻辑代数的基本定律及规则一、基本公式

根据基本逻辑运算，可以推导出逻辑代数的基本公式与定律，这些公式、定律的正确性可借助真值表来验证。1、逻辑常量运算公式三、基本规则

逻辑代数有3条重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则1、代入规则任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例如，给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若等式中的C都用(C+D)代替，则该逻辑等式仍然成立，即

2、反演规则对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：1）若把式中的运算符“.”换成“+”,“+”

换成“.”；2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；3）原变量换成反变量，反变量换成原变量；那么得到的新函数式为原函数式F的反函数式F。应用反演规则时注意：（1）保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号；（2）不属于单个变量上的非号的两种处理方法：非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。3.对偶规则对偶式,对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；得到的新函数为原函数F的对偶式F′，也称对偶函数。对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2则F1′=F2′。若两个逻辑函数表达式F和G相等，则其对偶式F’和G’也相等。这一规则称为对偶规则。例7-7第四节逻辑函数的标准表达式一、逻辑函数的常见形式（最简的概念）（1）与或表达式：

（2）或与表达式：Y（3）与非-与非表达式：Y（4）或非-或非表达式：Y（5）与或非表达式：Y其中，与或表达式、或与表达式是逻辑函数的两种最基本表达形式。

对于不同类型的表达式，最简的标准也不一样。最常见的表达式是“与或”式，由它可以比较容易地转换成其它类型的