《几何画板》教程

从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家A.H.此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境变得越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》，以其学习入门容易和操作简单的优点，以及其强大的图形和图像功能、方“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分。同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻画，这又决定了它是对学生进行素析式和图象之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端。而应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事半功倍的效果。立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质，它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行个或两个以上曲线的位置关系。综上所述，使用《几何画板》进行数学学习与研究，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下既能激发学生的情感，培养学生的兴趣，从而大大提高课堂效率，提高学生开展数学研究性学习的积 1第二课几何关系与常见图形 8第三课简单的数学实验（一） 第四课简单的数学实验（二） 第五课正多边形中的图案设计 第七课探索三角形全等的条件 第十一课点的轨迹的构造 第十二课迭代与深度迭代 第十三课构造法作函数图像 第十四课作函数图像的切线 第十五课作函数的反函数图像 第十六课椭圆的几何构造―定长椭圆的构造 第十八课圆锥曲线及其相关图形的构造 第十九课椭圆的几何构造―圆锥曲线的平行弦 第二十课椭圆的几何构造―圆锥曲线和直线的交点 第二十一课椭圆的几何构造―圆锥曲线的切线 第二十二课截面的作法 信息技术越来越多地影响我们的生活和学习，同学们也将从“学习计算机”转变为“计算机学《几何画板》是教育部基础教育司向全国中小学数学教师推荐的教学辅助软件，它具有能够准确地绘制几何图形、在运动中保持给定的几何关系、使用简便、易于学习及占用内存小、运行速度快等诸多优点。它操作简单、功能强大，教师可用其在最短的时间内制作出符合教学需要的课件，学生则可以利用《几何画板》进行研究性学习。《几何画板》是一个优秀的教育软件，非常适合用于探索符合数学关系的问题。《几何画板》形象直观、操作简单、功能强大，能真实地体现数学关系，是教师课堂教学和学生自主学习的好工具。通过本单元的学习，相信同学们一定能感受到探索和发现的乐趣，并让自己的信息技术应用提高到一本单元以《几何画板》4.04汉化版作为学习平台，在其他版本上有所不同。几何画板的界面与大多数软件类似，所不同的是，几何画板中对象之间通常都是通过某种数学关系相互联系的，在作图时，更要注意图形的数学性质。与其它常用软件一样，几何画板也有菜单栏、状态栏和工作区等，只是在窗口的左边有几何画板文本工具可以给对象（点、线、圆等）标注标签，默认情况下点的标签从大写字母A开始，其它对象也有默认初值。文本工具的另一个功能是在工作区中建立文本输入区（拖动鼠标画一个矩形，2、在工作区单击确定一个端点，移动鼠标到另一位置单击，确定另一个端点；3、用【文本工具】单击端点，可以给端点取名，用【文本工具】单击线段，看一看出现了几何画板中给线段取名完全遵循数学规范，可以用端点的两个大写字母，也可以用一个小写字母（默认情况从j开始当然也可以用上面介绍的方法改为其它的字母。【试一试】1、用【线段工具】在点A上单击，再移动到点B上单击，看看得到了什么？对点B、C，点2、直接用【线段工具】3、试选择【射线工具】4、试选择【直线工具】,画一个三角形，三个端点分别取名为M、N、P。2、直接用【线段工具】3、试选择【射线工具】4、试选择【直线工具】,画一条直线。（三）对象的选择、移位与释放选择工具感应到对象（1）同时选择多个对象时，不需要按住Shift键单击，这与其它软件操作不同。（2）选择多个对象的另一个方法是：选取【选择工具】标，拉出一个矩形虚线框，框住想选的对象。【试一试】试选择你所画图形中的一个或多个对象。用【选择工具】在选定的对象上按左键不放，拖动选定的对象到新的位置。如果是小距离的移动，可以选定后用键盘上的方向箭头移动。画出的图若不满意，可以用选择工具进行调整。移动某些选定的对象时，未选定的其它相关对象也可），当我们进行某种操作时（例如：过直线外一点画已知直线的平行线），必须确保选定了符合要求的一个或几个对象。多选会使菜单命令失效（灰色状态从而操作失败。一个常用的技巧是，当你要选择一些特定的对象时，先在工作区空白处单击，释放所有选定的对象后，再根据需要进行选取。释放已选定的所有对象：用【选择工具】在工作区的空白处单击。1、在工作区中画两点A、B，用【选择工具】选定这两点，进入【构造】菜单，可以用的命令如（1）对选定的两个点分别试用前三个命令（每次操作后，可以用Ctrl+Z撤消刚才的操作，再试用【选择工具】分别拖动圆心、圆上的控制点、圆，看能改变些什么？看看能得到什么？拖动线段的一个端点，看看哪些对象发生了变化？4、单击【文本工具】，按住左键不放在工作区拖出个文本输入区域，在里面输入些中在本单元的学习中，我们将做大量的实例练习，你可以把每一个实例练习保存为一个文件。这里我们介绍一个更方便的办法，即使用几何画板中的“分页”显示功能。我们可以在单个的文件中开设多个工作区，每个工作区中放置不同的内容，所有的实例练习都放在同一个文件的不同工作区中，这重复操作可以增加多页，默认的页名称是1、2、3……，这里我们先增加到3页，以后可以根据3、选取某一页后，在“页名称”下方的输入框修改名称，如图1-12。请自己把“1”改为“实例4、移动鼠标到页名称的列表中，按住鼠标拖动可以调整页的顺序（如图3-13所示）。5、你也可以从所有打开的几何画板文件中复制页，只要在第2步时选“复制”即可。7、保存好你的文件，今后的随堂练习就可在里面增加新的页来完成。2、通过运用几何关系作图，感受几何画板动态地反映数学关系的特点；3、学会根据几何关系作一些基本的图形。同学们都知道，在“画图”或Word中要画出符合一定要求的图形（例如：画一个直角或画两个一样长的线段）是很难的，而这在几何画板中很容易做到。更重要的是，如果你在几何画板中依据了一定的几何关系作图，那么当你改变了一些对象的位置时，其它对象会继续保持这种关系，即动态地没有根据垂直关系画的图形根据垂直关系画的图形没有根据垂直关系画的图形根据垂直关系画的图形只凭眼睛观察，这是一个直角。用【选择工具】拖动改变点C的位相比似乎没有什么特别之处。在以后的学习中，一定要根据数学关系来作图，而不能画那种“看上去”符合要求的图形。为了保证这一点，我们将使用【构造】和【变换】来作图。本例学习如何画一个符合数学关系的平行四边形。先在练习文件中新建一页，命名为“平行四边形”。向量是一个同时考虑了方向和大小（大小在这里可理解为距离）的量，当我们标记了向量，就可以把选取的对象按同样的方向、同样的距离进行移动。如果我们改变了B、C的位置，按这个向量移动的所有对象都会相应的改变。4、用【选择工具】选取点A、线段AB（不用选点B由菜单【变换】【平移】，在弹出的对5、画最后一条线段后围成平行四边形（如图2-7所示）。【试一试】用【选择工具】拖动平行四边形的顶点，看看能否保持平行关系。直角是几何中常用的基本图形，几何画板没有提供直接画直角的方法，但我们可以用几个基本的（一）两边长度不等在练习文件中新建一页，命名为“直角”。如果你改变点A或B的位置，比如让线段AB倾斜一些，这条垂线会自动调整到与线段AB垂直4、用【点工具】在垂线上画一点，如图2-10所示。这里画的点是垂线上的一点，用【选择工具】也不能把它拖到垂线的外面，这时，我们称垂线是注意这里是“隐藏”垂线，而不是按Delete键删去它。因为垂线是点C的父对象，如果父对象不存在了，子对象点C也会被删去。隐藏对象的技巧今后会经常使用。【试一试】改变各点的位置试试，看看能否保持直角。（二）两边长度相等2、用【选择工具】双击点A，这样可以标记点A为中心（作为旋转或缩放的中心）。2、矩形是有一个角为直角的平行四边形。在图2-11的基础上，你能结合平行四边形的画法画一3、在图2-12的基础上，你能画一个等腰直角三角形吗？你能结合平行四边形的画法画一个正方形吗？请试一试。4、画这些基本图形的方法不只一种，你能结合所学的数学知识试一试其它画法吗？把你的发现在练习文件中新建一页，命名为“等腰三角形”。1、画一条线段AB。如果改变线段AB的长度或位置，所得的点始终是线段AB的中点，想一想为什么？。4、选取线段AB及中点，由菜单【构造】【垂线】，得到过中点且与线段AB垂直的直线（如【小技巧】如果你得到的不只是中垂线，比如还有过点A（或B）的垂线，那是因为第4步时多选了点A（或B再次提醒，几何画板中，选取某一对象时，不包括上面的点。5、在中垂线上画一个点，命名为C，画线段AC、BC，隐藏垂线和底边上的中点，最后得到图【试一试】拖动每个顶点试一试，看看是否能保持等腰三（1）在图2-15中，双击线段AB，看到一段小动画，可以把线段AB标记为镜面（即对称轴）。几何画板中没有直接画常用图形的命令，我们只能根据数学关系来画。但是，如果每一次都从头画起，则重复劳动、费时费力。几何画板提供了“自定义工具”的功能，可以把按一定数学关系画好的基本图形定义成工具箱中的一个命令，以后就可以像用工具箱中的按钮一样使用了。下面就介绍自为了管理和使用的方便，应将同类工具放在一个独立的文件中。例如：平行四边形工具、正方形工具、矩形工具等放在同一个文件中。建立自定义工具的前提是：按照一定的数学关系作好基本图形。建立一个画平行四边形工具的操作步骤如下：1、新建一个几何画板文件。按前面的方法画好平行四边形，这里不显示点的标签。2、用【选择工具】在工作区空白处拖动画一个矩形框选中平行四边形的全部点和边，如图2-184、在弹出的新建工具对话框中，改工具名称为“平行你可以根据需要在同一个文件中继续建立其它工具（如正方形等）吗？1、自定义工具的相关知识当你已建立了一些自定义工具后，单击【自定义工具】按钮出现如图2-21所示的选项。区域①中的【创建新工具】已使用过；区域②是当前打开的文件中的所有自定义工具；区域③是保存在特定的“工具文件夹”中的文件包含的所有工具。档选项”对话框，但此时管理的是自定义工具（见图2-22）。如果想让“自定义工具”永远出现在区域③,则含有自定义工具的文件应保存在：C:\Program展开图2-21中的选项，选中某个工具，然后移动鼠标到工作区中。对于简单的工具通过几次单击就可以画出相应图形，而复杂的工具还得参考制作者的说明。3、掌握数学实验的一般方法。数学知识，一般都是人们在社会活动中发现，然后经过归纳总结形成的。事实上，在我们的学习过程中，也经历了从实验数学到论证数学的过程。随着信息技术的发展，我们可以借助几何画板等软件进行数学实验，以突破传统课堂教学模式，构建以学生自主探究为主线的基于信息技术的探索性数本课将要学习用几何画板对三角形的三条角平分线、三条中线和三条高线作相关实验。在练习文件中新建一页，命名为“三角形的角平分线”。【想一想】为什么要按B、A、C的顺序选中点作角平分线？不按这个顺序行吗？点。3、用【选择工具】单击角平分线与线段BC的相交处，可以定义出它们的交点，如图3-3。【小知识】用菜单法也可以得到交点，操作方法是：同时选中两条相交的线，选择菜单【构【试一试】拖动三角形的顶点改变它的形状和位置，看看三角形的三条角平分线是不是总是在几何中知道，角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等，下面来验证这个性质。在练习文件中新建一页，命名为“角平分线的性质”。3、用【点工具】在角平分线上选一点D，选取点D和射线AC，由菜单【构造】【垂线】，得4、用【选择工具】单击垂足处，构造垂足E、F，隐藏两条垂线，再连结线段DE、DF，如图3-9中，有的度量值的符号前有一个m）,请用同样的方法，度量∠FAD、∠DEA、∠DFA，这组数据可以说明AD是角平分线，线段DE、DF是垂线段，如图3-10。【小知识】表示点到直线的距离，还可以选中线段DE、DF，直接测量线段的长度；也可以选取点D和角的一边，度量出点D到角的这边的距离，你可以试一试这些方法，看看得到的数据是否一（1）拖动点D，在变化的过程中，看看点D到角的两边的距离是否总是相等，体验一下什么叫“在动态中保持数学关系”。角平分线移动了，看看数据又是如何变化的。【思考与练习】1、前面已学过如何作一条线段的中点，请作出三角形的三条中线，验证一下三条中线有何特点。2、请设计一个实验，验证“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”。3、设计一个实验，可以验证“同位角相等，两直线平行”。4、根据过一点画线段（直线、射线）的垂线的方法画出三角形的高，在实验过程中，你有什么发现吗？如果三角形变成钝角三角形，你的三条高还在吗？你能想办法画得更好吗？第四课简单的数学实验（二）1、学会构造符合数学关系的基本图形并测量有关数据；2、掌握几何画板中的计算器的使用方法；3、探索“动态变化的图形”中不变的数学性质；数学中的一些性质，有时可以通过对相关的数据进行运算来验证。在几何画板中，则可以通过圆周角与圆心角的关系等等。圆内的弦、圆的割线，圆的切线段都有一些特有的性质，请完成下面的操作，看看有什么发现。在练习文件中新建一页，命名为“与圆有关的线段”。1、在工作区中画一个圆，并在圆上另画四点A、B【小技巧】图4-1中，圆上有5个点，在A、D之间没有命名的点是圆的控制点，拖动此点可以改变圆的大小。一般情况下，不要再经过这点画其它对象，以免在图形变化过程中改变圆的大小，2、选取点A、B，由菜单【构造】【直线】得直线AB，同理，可构造直线CD。用【选择工具】单击两直线的相交处得交点，命名为P，如图4-2所示。【小知识】这一步画两条直线相交，是为了保证点P可以出现在圆内、圆外等位置，从而可通过一个实验揭示较多的数学性质。注意不要隐藏两条直线上的点A、B、C、D，这些点是进一步作图的基础。【小技巧】由于每个人练习时所画的图大小不同，度量的结果不会一样，只要学会同样的操作就行了，数据值可以不同。在几何中学习勾股定理时，只能对几组特殊的数值进行验证，下面用几何画板来帮助我们进一步理解、验证这个定理。在练习文件中新建一页，命名为“勾股定理”。【小技巧】在几何画板的“计算器”中，“^”用来表示乘方运算，刚才是进行平方运算。【试一试】拖动三角形的顶点变化三角形，看看a2+b2＝c2是否总是成立。【小知识】我们也可以对a2+b2开平方后再和c进行比较，方法是：1、调出计算器，并选择开平方函数。如图4-12。（1）参数：参数是一个变量，在数学关系中，参数参与某一计算过程或者动态变化的过程。（2）文本模板：当我们需要在文本中使用可“动态变化的量”时，文本模板能帮我们解决这个下面我们通过一个简单的小例子，了解参数和文本模板的应用。在练习文件中新建一页，命名为“简单的开平方工具”。确定后工作区会出现参数n=2。2、参考上节内容，对参数n开平方。工作区显示如图4-15。n如果认为开方结果的精确度不够，请在n按钮可以弹出【符号工具】面板（如图4-18所示可以方便我们输入数学格式的文本和符号。4、建立一个文本模板（1）用【文本工具】在工作区中建立一个文本输入区；（3）在根号内部输入{1}，移动光标到根号外，输入＝{2}，最后工作区内出现模板：={1}={2}。【小技巧】文本模板以等号开始，后面的部分将是文本的内容与格式，这里的第二个等号是文本中正式内容，模板中的大括号只能用键盘输入，不能用【符号】面板中的按钮。【小知识】利用文本模板合并文本时，首先选取文本模板，接着选取的第一部分会替代模板中的{1}，第二部分会替代模板中的{2}，如此类推。6、只选取参数n=2，按小键盘上的【＋】，可以改变参数的值，默认是依次加1，按小键盘上的【－】依次减少1，也可以在参数的属性面板中调整每次增减的幅度。如果想直接变到一个具体的值，用【选择工具】双击参数，在弹出的编辑参数面板中修改（见图4-20）。1、请设计一个实验，验证“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”。2、请设计一个实验，验证“三角形的内角和是1800。4、试建立两个参数，然后建立一个分数模板，合并得一个分子、分母可以动态改变的分式。3、学会多边形内部填充，并按需要改变颜色。很多美丽的图案，实际是一些有规律的数学图形，以下是一些美观的图案。（2）所有的内角相等，即∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB。（3）每边所对的圆心角也相等，即∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=360O边形中，相应圆心角的度数是n，这个角度在下面的作图过程中常用到。（4）由于正多边形的顶点可以看作是圆上一点绕圆心按一定角度多次旋转后得到，所以我们常在圆中处理多边形问题，这样做可以同时得到正多边形的中心，方便我们解决问题。以下是正六边形的画法，其它正多边形的画法类似。在练习文件中新建一页，命名为“正多边形”。【小知识】用圆规工具画圆可得一个圆、圆心、圆的大小控制点，注意：一般情况下，不要用这个控制点来继续画其它对象。2、用【点工具】在圆上画一个点（见图5-5）。此步要注意观察圆是否变为图5-5的颜色，确保所画的点在圆上。3、由菜单【度量】【计算】调出计算器。输入360点击计算器中的【单位】按钮选取度为单位单击计算器中的【÷】按钮输入6，观察到如图5-6的结果时，单击【确定】按钮。360O660O操作中将作为旋转的依据。5、用【选择工具】双击圆心，标记此点为中心。角度旋转，单击【旋转】按钮即可，如图5-7。7、将旋转产生的点再次旋转，直到产生了我们需要的六个顶点（见图5-8）。【小技巧】你也可以隐藏圆，然后选取正六边形及圆的控制点，制作成自定义工具，以后要用正六边形，就不用从头开始了。保留圆的控制点的目的是可以方便地控制正六边形的大小。1、选取两个不相邻的顶点，作正六边形中不过中心的六条对角线（见图5-10）。2、用【选择工具】单击每两条对角线的交点，可作出对角线的交点（见图5-11）。【小技巧】如果你经常设计以正六边形为基础的图案，那么就把图5-12的结果制作成自定义工具，以后你就可以快速地作出这个结果了。但要注意的是：上面我们通过计算圆心角作为旋转的依据，如果要制作工具，一开始就直接在旋转对话框中输入600，而不是用计算值，否则制作自定义工具时会带来一些不便。使用计算值的目的是为了更具一般性和提供一定的灵活性。4、选取适当的两点，作线段。最后得到图5-13。7、对其它三角形及中间较小的正六边形进行同样的操作，填好所有颜色。2、以正六边形为基础的图案很多，试画出如图5-14中的两个图案。3、试画出图5-15所示的图形，你会把图5-15变换到图5几何画板的优势是能准确地作出符合数学关系的图形，但在图形的美化等方面显得不足。例如，要制作图5-19所示的太极图，由于几何画板在填充颜色方面的限制，制作非常困难，下面我们结合在练习文件中新建一页，命名为“太极图”。1、画两条线段AB、CD，如图5-20，其中长的用来控制大圆的大小和方向，短的控制小圆的大2、标记向量AB，画一个点E，将点E按标记的向量平移，得E/，重复平移的操作，最后得到如E////，用同样的方法构造另一个半圆，结果如图5-22所示。6、隐藏图5-23中的5个点，拖动点B改变外圆的大小和方向，拖动点D改变内圆的大小（如次Ctrl+B打散，然后用工具填充两个黑色区域。再将外框线变成黑色即可。后根据需要选择输出的文件类型（见图5-25保存即可。【想一想】上面画半圆时，选取点的顺序不同得到的半圆方向也不同，你领会了吗？2、体验视觉与数据之间的矛盾，理解数学证明的必要性。3、学会用按钮控制对象的显示和隐藏。这是有名的「爵斯特罗」错视图。上面的曲线弧形，视觉上大于下面的图形图中的横线平行在观察物体时，由于位置的不同或参照物的影响，我们的感觉与常规经验结合后，会受到错误的刺激，从而产生错觉。让我们用几何画板来做一下实验吧。我们来制作图6-1。要保证当图形发生变化时，AB=CD这一关系不变，一个简单的思路是：将线在练习文件中新建一页，命名为“错觉图1”。单击【平移】按钮，把得到的点改为D，连结CD，完成图形的制作。【试一试】拖动点B改变线段的长度，可以看到AB=CD，可见有时“眼见是不为实”的。的原因是眼睛有两个神经结细胞的接受区同时投射在这张图上。我们用几何画板来做这个方格吧。1、画一条较短的线段AB，画一点C在线段AB上，比较靠近B，如图6-12所示。2、用【选择工具】双击点A，标记点A为中心，选取线段AB、点C、B，由菜单【变换】【旋【小技巧】如果输入的角度是正数，选取的对象绕标记的中心作逆时针方向的旋转。如果输入的角度是负数，旋转的方向是顺时针。这和数学中的定义是一样的。以上操作得到图6-14。这是一个可以控制方格大小和间隔的系统。4、在工作区中画一点D，将点D按向量AC平移，如图6-15。5、标记向量AC,，选取点D、D/，按向量AC,平移，得到图6-16。6、顺序选取正方形四个顶点，按快捷键Ctrl＋P填充内部，在内部上单击右键，由快捷菜单上的【颜色】命令改变颜色为黑色。把正方形的四个顶点隐藏，得到一个黑色方格。7、标记向量AB，把黑色方格按向量AB平移，新得到的方格继续平移，直到得七个方格（见图8、标记向量AB,，选取整行七个黑方格，按向量AB,平移，得到的第二行继续平移，最后得到七行方格，即是本例的最后效果。（3）过E作AD的平行线交CD于F；根据作图过程，DE和CE相等吗？你可以度量一下。也可以选取线段AB、AD、BC、EF，点A、B、F，由菜单【编辑】【操作类按钮】【隐干扰观察的对象，就可以清楚观察到DE=CE了。（1）单击【画直线工具】，按住【Shift】键不放，在工作区中画一条竖直的直线，然后隐藏直线【小技巧】为了使制作的扇环对称轴呈竖直，我们要将直线的控制点隐藏，这样就不能拖动控制点来改变直线的倾斜度了。（5）按顺序选取点B//、B、B/，由菜单【构造】【过三点的弧（6）下面用根据向量平移的方法作第二个扇环，我们需要一个简单的控制系统。在工作区内画（7）在平行线上作一点E，隐藏平行线。连结线段DE，在DE上画一点F。隐藏直线AC和点（8）标记向量DF，框选扇环及上面的点，按向量DF平移，如图6-25所示。1、了解通过实验探索数学知识的一般方法；2、学会针对实验目的合理设计实验；3、通过实验加深对三角形全等判定方法的理解。在数学课中学习判定三角形全等时，我们经历了先做实验然后再证明的过程。虽然我们已经认可了这些结论。但你还记得分几种情况来进行探索的吗？你知道遇到这类问题应该如何入手吗？你知道如何设计一个实验来验证自己的结论吗？下面就使用几何画板来帮助解决这些问题。我们需要全局地把握问题，对问题进行分类。本例大致分为：三角形的三条边、三个角中，一个条件对应相等的两个三角形全等吗？两个条件呢？三个条件呢？具体有多少种情况？我们有必要建立这样的问题清单。探索三角形全等条件问题表三个对应相等的条件（5）一边一角（8）两边及一边对角（11）两角及一角的对边个问题可合用同一个实验。（一）三个角对应相等的两个三角形有多种可以选择的实验方案。下面列出其中一种，如图7-1。2、过D作AB的平行线交AC于E；【试一试】拖动三角形的顶点改变形状或位置，看看能否保持三个角对应相等，两个三角形【想一想】你能提出一个自己的方案吗？和同伴交流一下。【小技巧】观察你度量的角的名称和图7-1c中的相同吗？几何画板中，度量值名称前面都会带有一个m，这和我们平常的习惯不同。下面我们看看是怎么修改的吧。其它角的名称你会改了吗?（二）两边及一边的对角对应相等的两个三角形称，所以AB=AD。在练习文件中新建一页，命名为“全等探索2”。得它们关于垂线成轴对称的图形，改点B的对称点的标签为D，如图7-5所示。3、隐藏直线和垂线，连结线段BD、CD。测量有关数据，并用【文本工具】加入使用说明（见【小技巧】作为一个操作性的软件作品，加入一定的说明是非常必要的。你还可以加入作者的姓名、联系方式、版权说明等等。（三）三边对应相等的两个三角形通过画圆弧相交确定交点的方法在数学上叫“交轨法”。有人称几何画板是计算机中的“直尺、在练习文件中新建一页，命名为“全等探索3”。2、用【选择工具】选取点D和线段BC，由【小知识】这样做的目的是使DE=BC，在纸上作图时我们画弧与射线相交就行了。几何画板线段来画圆时，以选取的点为圆心、选取线段的长为半径。3、为了不和后面画的辅助圆混淆，把刚才的辅助圆隐藏。以点D为圆心、AB的长为半径画圆，以点E为圆心、AC的长为半径画圆，定义两圆的一个交点，命名为F，如图7-9所示。（四）画一个角等于已知角上面已经学会如何画一条线段等于已知线段，这和常规的直尺圆规作图是类似的。再来完成在几何画板中画一个角等于已知角，后面两个实验也就不难完成了。问题：已知∠ABC，求作∠D，使∠D=∠ABC。选取角的方法不同，会引起旋转方向的不同，下面的过程可以看出区别。2、用【选择工具】按C、B、A的顺序选取三点，这时可看作选取了∠CBA，由菜单【变换】【标记角度】，标记成功时可以看到一小段动画，可以观察到当前标记的角是逆时针方向的。默认的设置是按刚才标记的角旋转，结果如图7-12所示。无论你怎样改变∠CBA的大小，这个角都自动变化，永远等于∠CBA（1）在上面的第2步中，按点A、B、C验能适用于所有情况，本例从图7-13开始，其中DH是直线。此外，在标记角时要考虑清楚将直线按什么方向旋转）π是圆的周长与直径的比值，也叫圆周率。现在通常以3.14作为π的近似值，计算π有很多方法，其中有一种叫做“割圆术”，就是以圆内接正多边形的周长去代替圆的周长，通过计算得到π。正多边形的边数越多，结果就越准确，但计算量就越大，在古代要完成这样的计算是相当困难的。本课将以几何画板为工具，计算出圆周率π。在练习文件中新建一页，命名为“圆周率”。形的圆心角，将作为旋转的依据。【小知识】当参数n发生变化时，这个计算值也会发生3、用同样的方法计算n-1的值，得n-1=2。这个数将作为迭代的次数，因为n边形的第一个顶点是开始就有的，所以只需迭代n-1次。关于迭代，可参考后面的“读一读”。1、画一个圆O，用工具在圆上画一点A，如记这个值作为下一步旋转的依据。4、用【选择工具】先单击点A，再单击计算值n-1=2,(有先后顺序)。可以选取这两个对象。6、单击工作区中的点A´,当图8-6变成图8-7时，单击对话框中的【迭代】按钮。工作区的图1、度量线段AA´的长度和线段OA的长度。2、用计算器计算参数n=3与线段AA´的长度的积，这是圆内接正多边形的周长；计算2×OA，这是直径；计算正多边形的周长除以直径所得的商，这就是π的近似值。为了研究精确度，在这个在古代的计算中，人们是先计算圆内接正六边形的周长，然后是正十二边形、正二十四边形1、事实上，也可以用圆内接正多边形的面积来“逼近”圆的面积，你能结合前面学习的度量三角形面积的方法来制作一个演示吗，注意：要求制作好的多边形的内部是填充颜色的。如图8-10所2、利用几何画板的度量功能，量出圆的面积，看一看，当圆内接正多边形边数为多少时，面积迭代就是重复或循环，在这个过程中遵循一定的规则。以图8-10为例，点A称为原象，A/为初象，规则被定义为“一个点绕O旋转标记好的角度得另一个点”，第一次旋转得A/，然后点A/按同样的规则旋转得第三个顶点……，由于迭代的次数是5次，就可以得到除点A外的其余5个顶点了。如果迭代之前作好了一些线段或填充了内部等，迭代过程中也会得同样的结果。一个比较有趣的实际例子是：相传有一位养马人非常敬佩梁山好汉，带了自己所有的千里马到水这个问题实际就是迭代问题，同学想一想，应该如何求解呢？1、学会用参数控制函数的系数，从而画出动态的图像；例：拖动控制指数函数y=u"的图像要点思路：拖动线段的端点，改变线段的长度，从而改变a的值。也就是说以线段的长度作为参数1、画一条线段，并度量其长度2、把线段的长度的标签改为“a”4、单击度量值后，再单击计算器面板上的“^”、“x”后，按确定按钮1、线段最好画在水平直线上，拖动时线段始终会保持水平、好看。2、参数a的值最好用x轴上一点的横坐标来控制，这样a的取值范围是实数R。要点思路：改变函数的图像的属性，从而得到指定区域的函数图像操作步骤：2、在计算器编辑好函数解析式y＝x＋sinx后，按“确定”按钮。如下图（图10-1）。4、改变x的“范围”，就能得到指定闭区间上的函数图像（在对话框里输入字母“p”就得到π)例1、如图10-1所示，改变图像的样本个数，样本个数越多，图像越光滑。其范围在10和10000之间。（当然也可以超过10000，请看进阶篇“高级参数的设置”），如选定“离散”，则函数图像要点思路：倘若在绘制函数图像后，改变图像属性的x的取值范围是做不到的，只能另想办法了,如函数定义域的“0”型构造法2、在函数计算器里编辑函数解析式，如下式按“确定”按钮，画板的画图区就出现了右图所示的图像（图10-2）。拓展：这种“0”型构造法不仅可以构造指定的定义域，还可以构造值域，如绘制函数y＝sinx且y≥0的图像，只需绘制函数试一试：绘制y＝sinx且－0.5≤y≤0.5的图像2、可以观察到点P在圆上运动，M也跟着运动3、要知道M的轨迹，先单击“运动控制台”的停止按钮，让动画停下了后，然后选定M点后，按快捷键“Ctrl+T”，跟踪点P。仅选定P点后，再按“运动控制台”的播放按钮，就可观察到点M的这样的轨迹按“Esc”就能清除掉，还不能保存。如何才能真真构造出点M的轨迹呢？你再按“Esc”键试试，看能否清除点M的轨迹？M还可以是OP上任意一点，你试试？看它构造轨迹的前提条件是：选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数图像。例2、作椭圆的图像看着左图，你能分析出作图步骤吗？能知道E点的轨迹是椭圆的原因吗？选定两条直线以及点E和点B，按快捷键“Ctrl+H”，则隐藏选中部分，得到右图。1、画一个圆和一条线段线段的画法是：在画线段的状态下，把光标移到圆内，单击一下，松开左键，把光标移到圆周上，单击一下，则得线段CD。2、作线段CD的垂直平分线和直线AD直线AD的作法是：在直线状态下，对准A点单击，松开3、交点在选择状态下，单击两直线的交点处，得交点E。5、隐藏不必要对象选定圆、两直线、点E、D、B2、通过运用迭代与深度迭代作函数图像体会函数的奥秘。问题：我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如要画正十七边型，如图所示，你不嫌繁的话，得用旋转变换16次，那么有没有简单的方法呢，有，那就是“迭代”1、画两个点，让B点围绕点A旋转得8，连接83。2、选定B点，单击菜单“变换”→“迭代（想一想，应让计算机重复画几条线段？）4、重复按小键盘上的“＋”键，直到迭代规则数变为16（也就是要让计算机重复画16条），注意工作区中图形的变化5、单击“迭代”按钮，正十七边形构造完毕，如图12-3：迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的B点。2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点。迭代的深度（即重复的次数），可用参数控制，即深度迭代。2、通过运用构造法作函数的图像深入理解函数的概念与性质。例1：已知：一点和一条直线，求作：以已知点为焦点，已知直线为准线的抛物线。1）如上图所示：作已知直线CD和点E2、代数构造（轨迹）已知：抛物线的解析式为y=3x2-2x-1求作：在坐标系内画出它的图像1）作直线BC及直线上任意一点A2）度量A点的横坐标（此时画板取自动出现坐标系）并计算的值3）作点D选中A=-0.831和（注意：有顺序）单击菜单：【图表】→【绘制（x，y）】4）作G点的轨迹。选定A、D点，单击菜单：【构造】→【还有没有更简单的方法画函数图像呢？如输入函数解析式或根据函数的解析式就能直接画出函数的图像？请自己认真思考。2、通过作函数的切线理解切线的意义。例、作函数f（xx3－3x－1图像上任意一点的切线要点思路：操作步骤：1、绘制新函数“f（xx3－3x－1”，并在图像上任取一点B，度量B的横坐标2、选定“f（xx3－3x－1”，它单击【图表】→【导数】，得到原函数的导函数f`（x3x2－3“）”。如下图4、按“确定”按钮后，如下图所示：拓展：知道切线方程的表达式，您可以绘制任何函数图像上任意一点的切线。2、通过作反函数的图像理解反函数的意义。要点思路：如要求出g(x)的反函数再绘制，有些够呛！看看《几何画板》有什么好办法？操作步骤：3、单击计算器上的“方程”按钮后，在单击“x＝f（y）”（注意计算器的变化）4、单击画板区的函数解析式，在单击计算器的“y”再按“确定”按钮拓展：几何画板所画的“反函数”的图像，只是将原函数的图像顺时针转了90°而已。要画真的反函数图像，只需在原函数解析式的后面添上限制定义域的代数式就行。第十六课椭圆的几何构造―定长椭圆的构造2、通过作椭圆的图像，从而能作其它圆锥曲线的图像。在解析几何的教学中，大多时候要化定长的椭圆如下面这个问题：问题：已知椭圆的长半轴＝3厘米，短半轴＝2厘米，求作椭圆。一、制作效果如下图，拖动单位点，改变单位长度，椭圆放大缩小，但长短半轴始终不变，交点、顶点各就各位选中参数a、b，按小键盘上的“+ℽℼ-ℽ,可改变它们的值。注意：，这里的a被定义为成长半轴，所以在改变值时，a应大于b图16-1二、思路分析倘若单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，您会发现椭圆的构造方法是“同心圆法”，其圆的半径受参数控制，在构造椭圆的基础上，还构造了交点。三、操作步骤2）构造椭圆建立坐标系→画同心圆（D，a×CD，b×CD）；画出小圆与y轴的交点；画出大圆与x轴的交点；画直线DK，K为大圆上一点，与小圆交于L点→画垂线（K，x轴）；画平行线（L，x轴）。两直线交于M点→画轨迹（K，M）3）构造焦点画圆（G，a×CD），与x轴的交点（即为交点），改变其标签为F1、F24）隐藏不必要的对象。1）想一想，为什么不直接用直接设定参数的值分别3厘米、2厘米画圆，而要计算它们与单位这里的双曲线是根据双曲线的参数方程x＝a×sec、y＝b×tg来构造的，简称参数方程构造法。7CDK就相当于。具体步骤如下：2）构造参数画圆（D，C）←画点K，K为圆上任一点←度量7CDK3）选定角度的单位单击菜单【编辑】←“参数选项”←在参数选项的单位对话框里，使角度的单位为“方向度”4）计算作为纵横坐标的值如下图所示：5）绘点(6）画轨迹（K，L）关于抛物线的绘制，直接用菜单命令“绘制新函数”，一蹴而就，这里就不再叙述了。2、通过作转动的图像，深入认识《几何画板》的作图方法与技巧。拓展之一：等腰三角形的轴对称的演示制作效果如图：分别单击“动画”、“重叠”、“还原”按钮，这样的演示，看能否说明“等腰三角形是轴对称图二、思路分析单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，如上右图，等腰三角形不难画出，关键是E点的构造，E点椭圆上任一点，只要构造出椭圆，这问题就解决了。二、操作步骤F）和（B，F其中AF为虚线2）画椭圆画圆（AB为直径）→画点C→画），（D45°)→画线段（D，C’）→画点E，点E是线段上一点→画轨迹（C，E）做动画按钮（E,慢速）改名为“动画”拓展之二：转动的正三棱椎一、制作效果单击“动画”正三棱椎会转动二、思路分析倘若单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，如右图，虽不复杂，但足够让您眼花缭乱，摸不着头脑。我们还是看作图吧，我们知道，正三棱椎的底面是正三角形，只要做出正三角形的斜二测图形，三、操作步骤换（A，120°)→对F’作旋转变换（A，120°)→画线段（F，F’）、（F’，F’’）、（F’’，F）2）画正三角形的斜二测图形画垂线（F’，EG垂足为C→对F’作旋转变换（C45°)→画线段（C，F’’）→画线段CF’’的中点H；同理作出点J、点I；画三角形JIH4）画侧棱画线段（K，H）、（K，I）、（K，J）5）做动画按钮（F，中速），并改名为“动画”；隐藏不必要对象。拓展三：转动的正方体操作步骤1）画出圆内接正方形的斜二测图形并隐藏不必要对象。2）画正方体的高画垂线（A，线段GH）；画圆（A，线段DD’）；圆与垂线交于点M3）画正方体的上底对四边形JKLI进行平移变换（向量AM）4）画正方体的侧棱5）做动画按钮（D，中速）隐藏不必要的对象。2、通过构造法作图，深入认识《几何画板》的作图方法与技巧。例：圆锥曲线及其相关图形的构造椭圆双曲线的包络线（拓展：椭圆双曲线抛物线的几何构造）一、制作效果如图：单击按钮“运动点”，CD的中垂线开始扫描，最后包络成一个椭圆，如上右图，按“Esc”包络线消失。拖动C点到圆外，包络线围成的图形是双曲线。二、思路分析三、操作步骤2、画线段（C，D其中D在圆上，C为任一点4、跟踪中垂线选中中垂线→【显示】菜单→追踪垂线。注意其快捷键：Ctrl＋T拓展之一双曲线的构造在图1的基础上，构造垂线和直线（A，D）的交点F，作轨迹（F，D）得椭圆或双曲线，这就是椭圆或双曲线的定义几何构造方法之一，注意，由C点的位置在圆内和圆外，决定F点的轨迹是拓展之二椭圆双曲线准线的构造这种方法构造的椭圆（双曲线），很易找到它们的焦点，一个焦点是圆的圆心，另一个焦点就是定点C。在这种构造椭圆的（双曲线）的基础上，还很易作出椭圆的（双曲线）的准线，如下图所示：这里的圆心F1画在x轴上，对F1作反射变换（y轴）得到另一个焦点（即定点），这样画出来的椭圆在坐标系的位置就是我们所希望的。其准线的基本作法是过线段BF2和DF2中垂线的交点拓展之三抛物线的构造如果D不在圆上，而在直线上，CD的垂线会是什么图形的包络线？如下图：由此我们也得到了根据抛物线定义的几何构造，具体步骤如下：），4）画垂线（D，直线AB）垂线和中垂线交于F点5）画轨迹（D，F）1、学会椭圆的几何构造―圆锥曲线的平行弦的作法；2、通过作图，深入认识椭圆的中点弦的相关知识。例：椭圆的几何构造―圆锥曲线的平行弦一、制作效果单击按钮“运动点”，椭圆的弦ED运动，运动过程中，始终与OF平行。拖动点F，点F在圆周二、思路分析此课件制作的关键是点D，点D是过E与OF平行的直线于椭圆的交点，我们仍根据椭圆弦的三、操作步骤2）画圆（O，G）点G为单位点→画线段（O，F）点F是圆上任一点3）画平行线（E，线段OF），交准线于点H→画线段（H，F1）），6）画线段（E，D）7）作动画（E点，慢速）→隐藏不必要对象利用这个课件，你可以对椭圆平形弦的中点或任一点进行研究。关于双曲线、抛物线和椭圆一样，有相关的光学性质和弦的性质，利用它可解决切线和交点的问题，同学们可自行研究。1、学会椭圆的几何构造―圆锥曲线和直线的交点；2、通过作图，深入认识直线与椭圆的相关知识。例：直线GE是过平面任意一点G和椭圆上任意一点E，求作直线和椭圆的交点F在几何画板4.04中，不能直接找出直线和椭圆的交点，（很使熟悉几何画板的老师恼火）这里通过代数和几何的思路找出直线和椭圆交点的一般方法。我们先考虑一下常规方法，即代数方法。一、思路分析以椭圆的中心为原点，焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系。设点E的坐标为（x1，y1直线GE的方程为y＝k（x－x1y1，椭圆的方程为。它们联立，，消去y。由于此,则方程必有一个根x1，由一元二次方程根与系数的关系得到另一个根,从而绘出点（）即F。,则二、操作步骤1）定椭圆的位置和大小（焦点和一顶点）建立直角坐标系→画点D，B，D点在x轴上，E4）度量并计算度量点E的坐标；度量距离（点B，点F2），并将其标签改为“a”；度量距离并将计算的结果的标签改为“b”；度量斜率），（直线GE），并将其标签改为“k”并将计算的结果的标签改为“b”；度量斜率5）计算作为横纵坐标的值计算,并将其标签改为“xF”；计算,并将其标签改为“yF”。从而使作图不具一般性。尤其是一大堆的计算，很浪费时间，耐心不好的老师，恐怕做不下去。那有没有简单的几何构图呢？当然有！那就是巧妙的几何构造。一、思路分析先请了解一下椭圆弦的几何性质。（最好理解这个性质，直线和圆锥曲线的关系作图，大多用到如图：EF是椭圆的弦，其延长线交准线于P，FF1的延长线交准线于Q，则F1P平分7QF1E。想一想：如果已知P、E、F1,你能否作出点F？如果你注意到点F是两条直线的交点，只要作EE`F1的交点就是F。我们就用这样的想法来构造直线与椭圆的交点。），”和“a”→计算)。圆与x轴交于R点→画垂线（R，x轴），隐藏圆。变换（线段F1P）→画直线（E’，F1）→画交点F（直线说起来麻烦做起来易，你熟悉几何画板并理解作图原理的话，做出交点F，不需要2分钟。三、拓展研究拓展之二：线段EF上任一点的轨迹2、通过作图，深入认识椭圆的切线及相关知识。例：椭圆的几何构造―圆锥曲线的切线已知圆上一点和圆外一点作圆的切线，对熟悉尺规作图的您应该是小菜一碟，我们把这问题推广一下，把圆推广到圆锥曲线，又如何作?问题一过椭圆上一点作切线一、制作效果如上左图，拖动F点，F点在圆上运动，直线始终也椭圆相切。二、思路分析倘若单击菜单【显示】←“显示所有隐藏”，您会发现切线是根据椭圆的光学性质构造出来，即如果把椭圆的内壁当一面理想的镜子的话，从焦点出发的光线，经椭圆反射后，通过另一个焦点。入射光线和反射光线能确定，则其法线（7F1FF2的角平分线）能确定，当然切线（法线过反射点F的垂线）也确定了。噫！椭圆是如何画出了的，椭圆是用几何画板自带的工具画出来的，其自定义工具时，隐藏的对象不能再显示了，除非改变其对象的属性。三、操作步骤1）定椭圆的位置和大小（焦点和一顶点）建立直角坐标系←画点D，E，D点在x轴上，E点D、E3）画切线画点F点F在椭圆上←画7D’FD的角平分线←画垂线（F，角平分线）4）简单修饰，隐藏不必要的对象如上右图类似的可以画出双曲线、抛物线上点的切线，读者可以自己试一试。问题二过椭圆外一点，画椭圆的切线。一、制作效果如图：拖动P点，过P的两条直线始终和圆相切，P点在椭圆内部时，切线消失二、思路分析单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，这个图形能否让您联想到由包络线构造椭圆，包络线实际H，从而画出包络线？如果在画出椭圆的基础上，得构造