数学课堂导学：三角函数的定义VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、任意角的三角函数的定义注意：（1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的,角的范围(自变量取值）是全体实数.（2)一个任意角α的三角函数值只依赖于α的大小（即只与这个角的终边位置有关),而与P点在终边上的位置无关。(3)正弦,余弦,正切,余切,正割，余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数。（4)sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数记号是一个整体,离开自变量的“sin"“tan"等是没有意义的。每个词的第一个字母“s”或“c"或“t”都不能大写。【例1】已知角α的终边经过点P(3a,—4a）(a≠0),求sinα，cosα,tanα,secα，cscα,cotα的值。思路分析：在由三角函数的定义求三角函数时,应先确定α终边位置。由于含有参数a，而a的条件为a≠0,所以必须对a进行讨论，这一点不可忽视。解：∵x=3a,y=—4a，∴r==5｜a｜(a≠0）.(1）当a>0时,r=5a,α是第四象限角。sinα==,cosα==,tanα==,cotα=，secα==,cscα==.（2）当a<0时,r=-5a，α是第二象限角。于是sinα=,cosα=，tanα=,cotα=，secα=,cscα=.温馨提示（1）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.（2）求任意角的三角函数，有时需要确定角所在的象限，相应地以此来确定三角函数的符号,这是容易出现错误的地方。各个击破类题演练1已知角α的终边经过P（—2，—3),求角α的正弦，余弦，正切值。解:∵x=-2，y=—3，r=，∴sinα===,cosα===，tanα===.变式提升1已知角α的终边在直线y=—3x上，则10sinα+3secα=________.思路分析:由角α的终边落在直线y=—3x上，所以可设其终边上一点为P(k，—3k)(k≠0）,再分k>0与k〈0求解。解:设角α终边上任一点为P(k，-3k）（k≠0)，则x=k,y=-3k,r=|k｜.（1)当k〉0时，r=k,α是第四象限角，sinα==，secα==,∴10sinα+3secα=10×（)+=+=0.(2）当k<0时,r=k，α为第二象限角，sinα==，secα==,∴10sinα+3secα=10×+3×(）==0.综合以上两种情况均有10sinα+3secα=0。答案:0温馨提示要清楚当k〉0时,P（k,-3k）是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k〈0时,P(k，-3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限，这与角α的终边在y=-3x上是一致的.二、三角函数的定义域【例2】求下列函数的定义域:（1)y=sinx+cosx;(2）y=+tanx.解：（1)∵使sinx，cosx有意义的x∈R，∴y=sinx+cosx的定义域为R。(2）当sinx≥0且tanx有意义时,函数有意义,∴有(k∈Z）∴函数y=+tanx的定义域为［2kπ，2kπ+)∪（2kπ+，（2k+1）π］（k∈Z）。类题演练2求函数y=tan（x-）的定义域.思路分析:∵y=tanx的定义域为｛x｜x≠kπ+,k∈Z},∴本题中将x-看作一个角即可解得x的取值范围.解:设θ=x-,在y=tanx中,θ≠kπ+,k∈Z,∴x—≠kπ+,k∈Z.∴x≠kπ+,k∈Z。∴定义域为｛x|x≠kπ+，k∈Z｝。变式提升2x取什么值时,有意义?解:由题意得解得所以当｛x|x≠，k∈Z}时，有意义。三、三角函数值的符号【例3】确定下列式子的符号:(1)tan125°·sin273°;（2）；(3)sin·cos·tan；(4）;（5）tan191°—cos191°；（6）sin3·cos4·tan5·cot6.解：(1）∵125°是第二象限角，∴tan125°<0;∵273°是第四象限角，∴sin273°〈0.从而tan125°sin273°>0.∴式子符号为正.(2）∵108°是第二象限角，∴tan108°<0.∵305°是第四象限角,∴cos305°〉0。从而〈0,∴式子符号为负。（3)∵是第三象限角，是第二象限角；是第四象限角。∴sin<0,cos<0，tan<0,从而sin·cos·tan<0。∴式子符号为负。(4）∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角.∴cos〈0,tan<0，sin>0.从而>0。∴式子符号为正。（5)∵191°是第三象限角,∴tan191°>0,cos191°〈0。∴tan191°—cos191°〉0。∴式子符号为正.(6)∵<3<π，π〈4〈，〈5〈6〈2π，∴sin3>0，cos4<0,tan5〈0，cot6〈0.∴sin3·cos4·tan5·cot6<0。∴式子符号为负.类题演练3判定下列各式的符号：（1）sin105°·cos230°;（2）sin·tan;(3)cos6·tan6;（4)sin4·tan（）.解：（1)∵105°,230°分别为第二、第三象限角，∴sin105°〉0，cos230°<0。∴sin105°·cos230°<0.(2）∵〈〈π,∴是第二象限角.∴sin〉0，tan〈0。∴sin·tan〈0。（3)∵〈6<2π，∴6弧度的角是第四象限角.∴cos6〉0,tan6〈0.∴cos6·tan6<0。(4）∵π〈4<，∴sin4〈0.又=-6π+,∴与终边相同.∴tan（)>0。∴sin4·tan（）<0.变式提升3若α同时满足tanα<0,cosα〉0，（1）求α的集合；(2）判断sin，cos,tan的符号.解：（1）由cosα〉0知α的终边在第一或第四象限,或在x轴的非负半轴上。由tanα〈0,得α终边又在第二、四象限.因此，α的终边在第四象限.∴角α的集合为{α|2kπ—〈α〈2kπ，k∈Z}.（2）∵2kπ—〈α〈2kπ,k∈Z，∴kπ-<<kπ，k∈Z.当k=2n(n∈Z）时，2nπ-〈<2nπ。∴sin〈0,cos>0,tan