数学课堂导学：从速度的倍数到数乘向量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。向量数乘的定义及其运算律【例1】在平行四边形ABCD中，=a，=b,求、.思路分析：由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量;也可用所求向量表示已知向量。联立方程组，求得所求向量.解：如右图，利用平行四边形的性质，得==a，==b。∵=+=—，∴=a-b.又∵=+，=，∴=a+b。友情提示把向量的加减同数乘结合起来，用来解决分向量的加减问题.各个击破类题演练1若O为平行四边形ABCD的中心,=4e1，=6e2,则3e2—2e1=_______.解析:3e2=,2e1=，∴3e2-2e1=—=(—）=(+)=。答案:变式提升1化简［(4a—3b)+b-（6a-7b）］=___________________.解析：原式=（4a-3b+b-a+b）=［（4-）a+(-3++）b］=(a—b)=a—b。答案：a—b2。对向量数乘运算律的应用【例2】设x是未知向量,解方程2（x—a）—(b—3x+c)+b=0。思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可用和实数方程类似的方法来求解。解：原方程化为2x—a-b+x—c+b=0，x—a+b-c=0，x=a-b+c，∴x=a—b+c.友情提示向量的加、减、数乘混合运算与实数的加、减、乘混合运算十分类似，运算时完全可以按照实数运算的思路进行。类题演练2设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.解析：原方程化为x+（3a-b)=0.所以x=0—（3a-b)，x=—3a+b。所以x=-9a+b.变式提升2如右图所示,已知ABCD的边BC、CD上的中点分别为K，L，且=e1,=e2，试用e1，e2表示，。解析:设=x，则=x，=e1-x,=e1-x，又=x，由+=，得x+e1-x=e2,解方程，得x=e2-e1即=e2-e1。由=—，=e1-x，得=e1+e2.3。向量共线的应用【例3】已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2共线，所以一定存在实数λ,使得ke1+e2=λ（e1+ke2）.解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ（e1+ke2)。∴（k-λ）e1=（λk—1)e2.∵e1和e2不共线，∴∴k=±1。友情提示本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.类题演练3a=e1+2e2,b=3e1—4e2，且e1、e2共线，则a与b(）A。共线B.不共线C.可能共线,也可能不共线D.不能确定解析:∵e1与e2共线，则存在实数e1=λe2，∴a=e1+2e2=（λ+2)e2，b=3e1—4e2=（3λ-4）e2，当3λ-4≠0时，a=b,故a与b共线.当3λ-4=0时，b=0，a与b也共线。答案：A变式提升3设e1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2，=e1+3e2,=2e1—e2,若A、B、D三点共线，求k的值。解析：=-=（2e1-e2）-（e1+3e2）=e1-4e2,由题设A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ,所以2e1+ke2=λ（e1—4e2),解得所以k=-8.【例4】如右图所示，在平行四边形ABCD中，=a，AB=b,M是AB的中点，点N是BD上一点，｜BN｜=｜BD|.求证：M、N、C三点共线.思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题。要证三点共线（M、N、C)，不妨证、具有一定的倍数关系。只要用已知条件a，b表示出，，问题就可以解决.证明：∵=a,=b,∴=—=a—b。∴=+=b+=b+（a-b)=a+b=（2a+b）。又∵=+=b+a=(2a+b)，∴=3。又与有共同起点，∴M、N、C三点共线。友情提示几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系。类题演练4已知两个非零向量e1和e2不共线，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2.求证:A、B、D三点共线.证明：∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2）=6.∴向量与向量共线.又∵与有共同的起点A,∴A、B、D三点共线.变式提升4如右图，