《机器人基础与数字孪生系统》 课件 第3-5章 机器人运动学、机器人动力学、机器人系统的传感与控制

第3章机器人运动学【3.1齐次变换】【3.1.1】位置描述——位置矢量●刚体位姿描述：齐次变换（矩阵）、矢量法、四元数●齐次变换法:▲将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来，具有明显的几何特征。▲在操作臂运动/动力学、机器人控制算法、计算机图学、视觉信息处理、手-眼建模标定都有广泛应用。●在坐标系｛A｝中，空间任意一点可表示为列矢量Ap直角坐标系【3.1齐次变换】【3.1.2】方位描述——旋转矩阵●坐标系｛B｝相对于坐标系｛A｝的旋转矩阵

是正交矩阵，满足如下关系：●所以旋转矩阵中9个元素只有3个独立变量●还满足：上标T表示转置，det表示行列式符号【3.1齐次变换】【3.1.2】方位描述——旋转矩阵▲绕x轴旋转的旋转矩阵▲绕y轴旋转的旋转矩阵▲绕z轴旋转的旋转矩阵思考？这三个旋转矩阵的结构有什么关系，如果通过记住一个旋转矩阵而得到其它两个？如果绕某一个轴多次旋转，我们会看到什么结果？如果依次绕x、y、z轴旋转，旋转矩阵如何计算？旋转矩阵描述姿态【3.1齐次变换】【3.1.3】坐标系的描述●将刚体B与坐标系｛B｝固接，｛B｝的原点选择刚体质心，相对参考坐标系{A}，坐标系｛B｝的位姿：●思考？如果只表示位置时，坐标系{B}是什么形式？

答：（单位矩阵），如果只表示方位时，坐标系{B}是什么形式？

答：（单位矩阵），【3.1齐次变换】【3.1.4】坐标变换●平移变换方程—｛A，B｝方位相同●平移变换方程—｛A，B｝方位相同●正交矩阵：【3.1齐次变换】【3.1.4】坐标变换●一般变换方程—｛A，B｝方位和原点均不相同●过渡矩阵—公式(3.13)●再由(3.10)得到复合变换【3.1齐次变换】【3.1.4】齐次坐标和齐次变换●笛卡尔坐标—齐次坐标●齐次变换矩阵是4×4的方阵，具有如下形式：●齐次变换：矩阵形式齐次坐标齐次坐标旋转矩阵平移矢量【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.1】关节与连杆●自由度：物体能够相对于坐标系进行独立运动的数目称为自由度●关节与连杆：工业机器人由若干运动副和杆件连接而成，这些杆件称为连杆，连接相邻两个连杆的运动副称为关节。●关节轴线：对于旋转关节，其转动轴的中心线作为关节轴线。对于平移关节，取移动方向的中心线作为关节轴线。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.1】关节与连杆●连杆参数：物体能够相对于坐标系进行独立运动的数目称为自由度。▲连杆长度：关节轴线i-1指向关节轴i的公法线长度（恒为正）▲连杆扭转角：从轴线i-1绕公垂线转至轴线i的夹角（可正可负）▲连杆偏移量：两条公法线的距离（带正负号）▲关节角：两条公法线之间的夹角（带正负号）

。

【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.2】连杆坐标系●方法一：对于相邻两个连杆Ci和Ci+1，有3个关节，其关节轴线分别为Ji-1、Ji和Ji+1。在建立连杆坐标系时，首先选定坐标系的原点Oi，然后选择Zi轴和Xi轴，最后根据右手定则确定Yi轴。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.2】连杆坐标系●方法二：对于相邻两个连杆Ci和Ci+1，有3个关节，其关节轴线分别为Ji-1、Ji和Ji+1。与建立连杆坐标系的方法一类似，在建立连杆坐标系时，首先选定坐标系的原点Oi，然后选择Zi轴和Xi轴，最后根据右手定则确定Yi轴。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.3】连杆变换矩阵●方法一：对于3.2.2节方法一中建立的连杆坐标系，Ci-1连杆的坐标系经过两次旋转和两次平移可以变换到Ci连杆的坐标系。▲第一次：以

轴为转轴，旋转角度，使新的与轴同向。▲第二次：沿轴平移，使新的

移动到关节轴线与的公垂线与的交点。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.3】连杆变换矩阵▲第三次：沿轴平移，使新的

▲第四次：以轴为转轴，旋转角度，使新的与轴同向。移动到。总变换矩阵【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.3】连杆变换矩阵●方法二：对于3.2.2节方法二中建立的连杆坐标系，Ci-1连杆的坐标系经过两次旋转和两次平移可以变换到Ci连杆的坐标系。▲第一次：沿

轴平移，将移动到▲第二次：以轴为转轴，旋转角度，使新的轴与同向。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.3】连杆变换矩阵▲第三次：沿轴平移，使移动到▲第四次：以轴为转轴，旋转角度，使新的与轴同向。总变换矩阵【3.3正向运动学递归】●关节矢量（关节坐标）：可以描述n个自由度的工业机器人所有连杆的位置和姿态的一组关节变量●关节空间：由关节矢量描述的空间关节坐标末端位姿正向运动学映射若各个连杆的D-H矩阵分别为

，则机器人末端的位置和姿态为：【3.3正向运动学递归】●下面以PUMA560机器人为例，说明正向运动学研究过程。【3.3正向运动学递归】●下面以PUMA560机器人为例，说明正向运动学研究过程。▲计算各连杆变换矩阵【3.3正向运动学递归】●下面以PUMA560机器人为例，说明正向运动学研究过程。▲PUMA560“手臂变换矩阵”▲运动学方程的求解顺序【3.4逆向运动学递归】●虽然对于机器人的任何一组关节坐标，都具有确定的机器人末端的位姿与之对应，但对于不同的两组关节坐标，可能对应相同的末端位姿关节空间末端笛卡尔空间单射复射关节位置与末端位姿

关节空间与末端笛卡儿空间映射关系●机器人的逆向运动学，用于机器人的末端在笛卡儿空间的位姿控制。由于机器人的末端笛卡儿空间到关节空间的映射是复射，所以根据机器人的末端位姿求解得到的关节坐标有多组解，即逆向运动学有多解。【3.4逆向运动学递归】●下面以PUMA机器人为例，说明逆向运动学研究过程。【3.4逆向运动学递归】●下面以PUMA机器人为例，说明逆向运动学研究过程。所谓逆向运动学求解，就是针对下式给定的末端位姿，求解机器人个关节的关节角

【3.4逆向运动学递归】●下面以PUMA机器人为例，说明逆向运动学研究过程。

PUMA机器人的逆向运动学共有8组解，其解如下图所示。由于机械约束，这8组解中部分解处于机器人的不可达空间。在实际应用中，根据机器人的实际可达空间以及机器人当前的运动情况，确定所需要的逆向运动学的解。【3.5路径规划】●机器人的运动规划着重研究如何控制机器人的运动轨迹，使机器人沿规定的路径运动。●工业机器人的运动，根据其运动轨迹可以分为点到点运动和路径跟踪运动。点到点运动只关心特定的位置点，而路径跟踪运动则关心整个运动路径。点到点运动路径示意图轨迹跟踪运动路径示意图【3.5路径规划】【3.5.1】关节空间●关节空间运动规划

关节运动规划的内容，主要包括关节运动轨迹的选择和关节运动位置的插值。所谓关节位置的插值，是指对于给定关节空间的起始位置和目标位置，通过插值计算中间时刻的关节位置。如果机器人按照轨迹1和轨迹2运动，则机器人运动过程中会有波动，这是不希望发生的。如果机器人按照轨迹3运动，则机器人能够平稳地由初始位置运动到目标位置。因此，通常选择类似轨迹3的轨迹，经过插值后控制机器人的运动。【3.5路径规划】【3.5.1】关节空间●3次多项式插值边界条件：关节位置：关节速度：求导代入求解期望关节位置：期望关节速度：【3.5路径规划】【3.5.1】关节空间●过路径点的3次多项式插值边界条件：关节位置：关节速度：求导代入求解期望关节位置：期望关节速度：【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间●机器人笛卡儿空间的路径规划，就是计算机器人在给定路径上各点处的位置与姿态。●位置规划用于求取机器人在给定路径上各点处的位置。下面分别介绍直线运动和圆弧运动的位置规划。直线运动对于直线运动，假设起点位置为，目标位置为。则第i步的位置可以表示为假设从起点位置到目标位置的直线运动规划为n步，则步长为【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间2.圆弧运动假设圆弧由、和点构成,其位置记为

平面的方程为【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间

平面的方程为

平面的方程为【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间

求解以上平面方程，得到圆心坐标圆的半径为计算如右式计算如右式【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间

将沿和方向分解【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间

3.姿态规划假设机器人在起始位置的姿态为，在目标位置的姿态，则机器人需要调的姿态R为

在笛卡尔空间运动规划中，将机器人第i步的位置与姿态相结合，得到机器人第i步的位置与姿态矩阵第四章机器人动力学4.1拉格朗日方程广义坐标对于n个质点组成的n自由度质点系，记此质点系的个广义坐标为，则系统中质点i的矢径可表示为:虚位移质点的虚位移为在约束所允许的条件下广义坐标

的无限小位移。虚功与广义力虚功是作用在系统上的力在虚位移中所作的元功，广义力为广义虚位移系数。

理想约束若一约束使得在系统的任何虚位移中，约束反力的元功之和为零，则称这种约束为理想约束。例如光滑固定面、光滑铰链、无滑动的滚动、不可伸长的软绳等。保守力的广义力在势力场中可将广义力写成用势能表达的形式：动力学普遍方程在双侧理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作的功的和为零：第二类拉格朗日方程拉格朗日函数

（简称动势）

非有势主动力系对应的广义力动能：势能：准备知识4.1拉格朗日方程RP机械手动力学模型该机械臂由两个关节组成，连杆1和连杆2质量分别为和，质心位置如图所示，选取和作为广义坐标。考虑重力，可得机械臂的数学模型：伪惯性矩阵拉格朗日动力学方程的一般形式补充所有的变量项，扩展RP机械臂的动力学方程，并将系数进行分类简化，可得拉格朗日动力学方程的一般形式：操作臂拉格朗日方程的一般形式4.2牛顿-欧拉方程刚体运动Newton方程刚体运动Euler方程组合体质量、质心位置和对其质心惯性张量阵的递推公式Newton-Euler方程与第二类Lagrange方程最大的不同点之一是：Newton-Euler方程刻画的是一个刚体的动力学方程，而Lagrange方程可以刻画多刚体系统的动力学方程。由于机器人是由多个杆组成的刚体系统，因此用Newton-Euler方程导出的机器人方程是由多个方程组成的联立方程组，而不像用第二类Lagrange方程推导那样可以得到用一个公式表示的机器人动力学方程。用Newton-Euler方程求出各杆的动力学方程准备知识4.2牛顿-欧拉方程正向惯性力推导逆向约束力推导惯性力推导框图动力学模拟框图4.3凯恩方程等效惯性力：等效惯性力矩：假设一个刚体中包含n个质点，所受主动力情况如图所示。质心为C，将刚体各质点处所受的主动力向质心处等效，则等效主动力和等效主动力矩如下：广义主动力：广义惯性力：凯恩方法是由达朗贝尔原理和虚位移原理推导出来的。通过选取变量广义坐标和广义速率，分别计算广义主动力和广义惯性力，得到系统动力学方程。凯恩方法非常适用于复杂系统的建模，采用计算机求解速度很快。与其他方法相比，采用凯恩方法运算次数低，计算效率高。质点系下凯恩方程假设一个由n个质点组成的质点系，系统的自由度为l，选取l

个独立广义坐标，则t时刻质点i在惯性系下的位置矢量:由于l

个广义坐标是独立的，根据达朗倍尔原理、虚位移原理，可得凯恩方程：线速度矢量：4.4动力学参数辨识连杆i的惯性参数向量记为为连杆在对应的连杆坐标系中的主惯性矩;为连杆在对应的连杆坐标系中的主惯性积，为连杆在对应的连杆坐标系中的质心坐标;为连杆的质量。最小参数集最小动力学参数集就是去除掉不可辨识参数，由完全可辨识参数和经由线性组合后可辨识的参数组成最小参数集与惯性参数向量关系：通过消去与线性组合得到新回归矩阵操作臂动力学转换是基础参数集对应的回归矩阵辨识动力学方程为：激励优化目标函数激励轨迹模型遗传算法寻优辨识操作臂动力学参数以实现精确动力学建模4.4动力学参数辨识求解辨识结果验证实际值：操作臂动力学参数求解与验证操作臂动力学参数求解在动力学参数辨识中，当操作关节按照激励轨迹运动时，以一定频率进行多次采样，记录下关节运动信息和驱动力矩。多次采样后，对力矩矩阵与回归矩阵增维后可得：最小二乘法求解值：误差结果曲线从最小参数集相对误差曲线可以看出，本文的辨识模型可得到精确的操作臂动力学参数，服务于精准动力学建模与控制。求解4.5机器人动力学的虚拟样机仿真ADAMS可以提供强大的建模和仿真环境，能够对机械系统进行各种建模，而MATLAB/Simulink则能提供强大的控制功能，能够对各种控制算法进行建模。两者结合起来使用既能够建立复杂的控制系统，又能够为机械系统研究提供便利建立空间柔性机械臂虚拟样机首先通过三维建模软件SolidWorks来建立机械臂模型，将其简化保存为parasolid（.xmt）文件；其次，通过ADAMS软件中的“import”设置将简化后的完整模型导入到ADAMS中即可建立虚拟样机模型。柔性转换操作步骤通过工具栏的创建模块中的刚性替换柔性单元，完成柔性体替换刚性体对于机械臂模型中的连杆的柔性体，可以在ADAMS中直接将柔性体替换刚性体，替换后的刚性体上的运动副、载荷等会自动转移。机械臂臂杆之间的连接采用柔性连接，其中柔性连接关系包括阻尼器、弹簧、卷曲弹簧、柔性梁和力场等，柔性连接关系并不减少两个构件之间的相对自由度，只是产生一对与相对位移成正比的弹性力或力矩4.5机器人动力学的虚拟样机仿真ADAMS状态变量的设置利用ADAMS/Control插件提供与其他控制程序的数据接口，在其他软件模块中建立控制方案，在ADAMS中环境中建立机械系统，实现机械系统与控制系统的数据交互。控制子系统建立将机械系统模型作为一个独立的模块导入到MATLAB/Simulink中进行计算，输出目标软件为MATLAB时，在ADAMS工作文件夹下，生成三个文件分别为（.adm文件、.cmd文件、.m文件）；在MATLAB命令窗口输入“adams_sys”命令，可以看到通过ADAMS生成的控制模块框图，通过模块框图可以实现对模型的控制。控制模块加载控制输入设置控制输出设置ADAMS状态变量的设置控制流程数据交换第5章机器人系统的传感与控制对于机器人来说，控制的目的是使机械手达到期望位置或跟踪期望轨迹。本章首先介绍了机器人系统常见的执行器和传感器。构成精度适宜的机器人系统需要选用合适的执行器与传感器，按照一定的方式与控制器有机结合。

反馈控制是最常见的控制方式，此方法可以大大提升系统的精度。此后还需建立系统的传递函数模型或状态空间模型用于分析系统的稳定性和动态特性等，以选择系统控制方案以及控制律参数。机器人的控制器设计可以按是否考虑机器人的动力学特性而分为两类。一类是不考虑机器人的动力学特性，只是按照机器人实际轨迹与期望轨迹间的偏差进行负反馈控制，这类方法通常被称为“运动控制”，其中的控制器常采用PD或PID控制。这种控制方法控制律简单，易于实现，但难于实现机器人良好的静态和动态性能并且需要较大的控制能量。

另一类是基于动力学特性模型设计更精细控制律的“动态控制”，这种方法可使被控对象具有更好的动态和静态品质，克服了运动控制方法的缺点。对于运动受限机器人来说，由于机器人与环境接触，这时不仅要控制机器人手端位置，还要控制手端作用于环境的力，此种控制方法称为柔顺控制。在实际工程中要想得到精确的数学模型是十分困难的，除了在建立控制系统模型时做一些合理地近似之外还可以对控制系统的不确定性、非线性进行补偿。神经网络这类智能控制方法十分适合解决此类问题。【5.1】执行器与传感器5.1.1执行器1.直流电机优点：启动转矩大调速广且不受频率及极对数限制机械特性线性度好可提供额定转矩功率损耗小有较高的响应速度、精度和频率优良的控制特性增大了摩擦转矩换向火花带来了无线电干扰组件易损坏使用场合受到限制寿命较低，需要定期维修，使用维护较麻烦直流伺服电动机：通过电刷和换向器产生的整流作用，使磁场磁动势和电枢电流磁动势正交，从而产生转矩，其电枢大多为永久磁铁。缺点：需要电刷及整流子【5.1.1】执行器采用功率电子开关和位置传感器代替电刷和换向器，既保留了直流电动机良好的运行性能，又具有交流电动机机构简单、维护方便和运行可靠等特点。无刷直流电机：主要由永磁电动机本体、转子位置传感器和功率电子开关三部分组成。【5.1.1】执行器直流无刷电机基于交流调速原理制造：启动转矩大，转速稳定调速方便，结构简单没有易损件。需要专门的驱动电路驱动故价格高。大部分都自带驱动电路，只要接上额定电压，输入调速PWM信号就可以驱动，无需添加专门的驱动电路。直流电源通过电子开关向电动机定子绕组供电，位置传感器检测转子位置并发出电信号控制电子开关的通断。2.交流电机交流伺服系统具有下述特点：可低速运转，且具有很快的响应速度。在高速区仍然具有较好的转矩特性，即输出特性"硬度"好。可将噪声和振动抑制到最低的限度。具有很高的转矩/惯量比，可实现快速启动和制动。通过采用高精度的脉冲编码器作为反馈器件，采用数字控制技术，可大大提高系统的位置控制精度。驱动单元一般采用专用集成电路，结构紧凑、体积小、可靠性高。【5.1.1】执行器3.液压马达传动轴瞬间即可反向；无论堵转多长时间，也不会造成损坏；由工作转速控制转矩；易于实现动态制动；如果设电动机功率与质量的比是1，而液压马达则可高达10～12，即传递同样大小的功率数液压马达为最小。【5.1.1】执行器液压马达是将液体的压力能转换为机械能，输出转矩和回转运动的一种执行元件。1.位置传感器【5.1.2】传感器精确而可靠地发出位置给定信号并检测被控对象的实际位置是运动控制系统工作良好的基本保证。常用位置传感器：（1）电位器可以直接给出电压信号，价格便宜，使用方便，但滑臂与电阻间有滑动接触，容易磨损和接触不良，可靠性较差。（2）基于电磁感应原理的位置传感器包括自整角机、旋转变压器、感应同步器等，应用比较普遍，可靠性和精度都较好。电位器自整角机原理【5.1.2】传感器（3）光电编码器检测转速或转角，由光源、光栅码盘和光敏元件三部分组成。电动机转动带动编码器旋转，产生转速或转角信号，输出数字式电脉冲信号。编码器类型

增量式编码器脉冲数与位移的增量成正比，累加得位置信号。利用M法、T法、M/T法等测速算法计算转速。码盘类型二进制码盘码道从外到里按二进制刻制。转动时，可能出现两位以上的数字同时改变，导致“粗大误差”。

循环码盘相邻的两个码道之间只有一个码发生变化，从根本上消除“粗大误差”。

绝对值式编码器码盘有固定的零点，每个位置对应距零点不同位置的绝对值，转速信号由转角差分得出。2.力传感器力传感器是将力的量值转换为相关电信号的器件。包括应变式传感器、光学式传感器以及压电式传感器。【5.1.2】传感器能同时将三维力和三维力矩信号转换为电信号，用于监测方向和大小不断变化的力与力矩、测量加速度或惯性力以及检测接触力的大小和作用点。六维力传感器每根梁的上下左右侧面各贴一片应变片。相对面上的两片应变片构成一组半桥，通过测量一个半桥的输出，即可检测一个参数，整个手腕通过应变片可检测出8个参数。十字腕力传感器【5.2】

反馈与稳定性5.2.1反馈自动控制系统一般由被控对象、传感器、执行器和控制器有机构成。最常见的控制方式有三种：开环控制、闭环控制和复合控制。对于某一个具体的系统，采取什么样的控制手段，应该根据具体的用途和目的而定。控制系统的结构可以简化为控制系统框图，图中的每一个方框，代表一个具有特定功能的元件。【5.2.1】

反馈在直流电机转速系统中，给定一个参考电压，该电压经过电压放大器和功率放大器构成的控制装置后得到驱动电机的电压，用于控制电机转速。开环系统只有信号的前向通道而不存在由输出端到输入端的反馈通路。当系统的全部信息可知且准确时，开环控制可以完美地达成控制目标。如果系统的模型不够准确，或者系统存在扰动，那么开环控制器将无法提供准确的控制量。提高精度的方法：把输出的信息反馈到输入端，比较输入值与输出值，产生偏差信号根据偏差信号得出合适的控制量，逐步减小以至消除这一偏差。系统的控制作用受输出量反馈影响的控制系统称为闭环控制系统。测速发电机测量电动机转速，并转换成电压，再反馈到系统的输入端与给定电压（系统输入）进行比较，从而得出电压，称为偏差。偏差电压经放大器放大后成为，用以控制电动机转速。【5.2.1】

反馈将前馈控制和反馈控制结合，构成复合控制，也可有效提高系统的控制精度。反馈控制只有在外部作用（输入或干扰）对控制对象产生影响之后才能做出相应的控制。当控制对象具有较大延迟时间时，反馈控制不能及时调节输出的变化，影响系统的平稳性。前馈控制能使系统及时感受输入信号，使系统在偏差即将产生之前就注意纠正偏差。【5.2.1】

反馈在我们讨论的操作臂模型中：每个关节由一个单独的驱动器施加力和力矩，每个关节用位置、速度传感器等测量关节位移、速度等。驱动器按力矩指令驱动关节运动，采用反馈控制。轨迹规划器生成期望位置、速度和加速度并传递给控制系统，机器人接受来自于控制系统的关节力矩矢量，传感器读出关节位置矢量和关节速度矢量，并将其送入控制器。【5.2.1】

反馈【5.2.2】

系统状态空间描述控制系统的数学描述基本形式：状态方程：反映系统内部变量和输入变量间的动态关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式。基于输入、输出模型的外部描述基于状态空间模型的内部描述将系统看成“黑箱”，只是反映输入与输出间的关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量反映了系统的内部结构与内部变量如高阶微分方程或传递函数由状态方程和输出方程两个方程组成输出方程：表征系统输出向量与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。状态空间模型动态方程：状态方程与输出方程的组合线性连续时间系统动态方程线性连续时间系统动态方程【5.2.2】

系统状态空间描述系统的状态：能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的一组独立（数目最小）的变量。当状态表示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量。

系统的状态由时的初始状态及的输入唯一确定。状态方程：着眼于系统动态演变过程的描述，反映状态变量间的微积分约束输出方程：着眼于系统中变量之间的静态关系，反应输出与状态间的代数约束【5.2.3】

控制系统的稳定性稳定性是控制系统的基础，如果系统不稳定，其他的性能则无从说起。A、B和C都是这个小球系统的平衡点。直观理解假设在一条轨道上A、B点是光滑的而C点带有摩擦。如果时间零点t=0时刻，在A、B、C这三个位置上分别放置一个小球，它们都是可以保持静止不动的。数学表达：其中是小球的位移，定义向右为正方向【5.2.3】

控制系统的稳定性小球偏离平衡点后A点：临界稳定

小球在A点附近往复运动，位移函数为正弦曲线，

幅度不增不减B点：不稳定

离开B点后无法回到点

C点：稳定B点附近往复运动，幅度越来越小直至停止【5.2.3】

控制系统的稳定性李雅普诺夫俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性理论，提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（间接法）和利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（直接法）。

这一理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。它有效地解决过一些用其他方法未能解决的非线性微分方程的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论【5.2.3】

控制系统的稳定性对于线性定常系统，其平衡状态满足，如果矩阵非奇异，系统只有唯一的零解，即仅存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，的解可能有多个，由系统状态方程决定。如果对于所有，满足的状态称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的状态变量不再随时间变化。若已知状态方程，令所求得的解便是平衡状态。1.平衡状态假定方程的解为，和分别为初始状态向量和初始时刻，且式中，为维状态向量，为时间变量，为维函数，其展开式为忽略输入后，非线性时变系统的状态方程为【5.2.3】

控制系统的稳定性(1)李雅普诺夫稳定性如果对于任意小的，均存在一个，当初始状态满足时，系统运动轨迹满足，则称该平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。表示状态空间中点至点之间的距离，其数学表达式为2.李雅普诺夫稳定性定义设系统初始状态位于平衡状态以为球心、半径为的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以为球心，半径为的闭球域内。【5.2.3】

控制系统的稳定性通常与、都有关。如果与无关，则称平衡状态是一致稳定的。系统的平衡状态不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，，，。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从出发的轨迹不仅不会超出，且当时收敛于或其附近。(2)一致稳定性（3）渐进稳定性（4）大范围稳定性【5.2.3】

控制系统的稳定性不论取得多么小，只要在内有一条从出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示如图所示。注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面内描绘出一条封闭曲线，只要不超过，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的稳定极限环。

经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。（5）不稳定【5.2.3】

控制系统的稳定性李雅普诺夫第二法（直接法）利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无须求出系统状态方程的解，对各种控制系统均适用。李雅普诺夫函数：一种广义能量函数，记以；若不显含，则记以。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用表示。对于大多数系统，可先尝试用二次型函数作为李雅普诺夫函数。设系统状态方程为，其平衡状态满足。物理学原理：若系统储存的能量（含动能与势能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。3.李雅普诺夫直接判别法【5.2.3】

控制系统的稳定性定理2若①正定；②负半定，且在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。定理1：若①正定；②负定，则原点是渐近稳定的。定理3若①正定；②负半定，且在非零状态恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。定理4若①正定；②正定，则原点是不稳定的。不失一般性，把状态空间原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在对的连续的一阶偏导数。【5.2.3】

控制系统的稳定性求导并考虑状态方程称为连续系统的李雅普诺夫代数方程，从而得到令设系统状态方程为，为非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。可以取正定二次型函数作为李雅普诺夫函数，即4.连续线性定常系统渐进稳定性的判别定理5：线性定常系统渐近稳定的充分必要条件为：给定正定实对称矩阵，存在正定实对称矩阵使成立。【5.3】

操作臂的位置控制考虑一个关节机器人，其动态性能可由二阶非线性微分方程描述：式中为关节角位移量，为机器人的惯性矩阵，表示离心力和哥氏力，为重力项，表示摩擦力矩，为控制力矩，为外加扰动。典型的双关节机械手【5.3.1】

PD控制取跟踪误差为，采用定点控制时，为常值，则。独立的PD控制律为其中，为阶正定惯性矩阵，为阶离心和哥氏力项。当忽略重力和外加干扰时，采用独立的PD控制，能满足机器人定点控制的要求。设关节机械手方程为1.控制律设计【5.3.1】

PD控制完全不受外力没有任何干扰的机器人系统是不存在的，独立的PD控制只能作为基础来考虑分析，但对它的分析是有重要意义的。亦即机器人方程为(5.3.1)【5.3.1】

PD控制利用的斜对称性知，则如果需要补偿重力对机械臂的干扰，则将控制律改为由及的正定性知，是全局正定的，则取Lyapunov(李雅普诺夫)函数为由于是半负定的,且为正定,则当时,有，从而。代入方程(5.3.1)，有，再由的可逆性知。由LaSalle定理知，是受控机器人全局渐进稳定的平衡点，即从任意初始条件出发，均有。其中为对重力矩的估算值。【5.3.2】计算力矩控制独立的PD控制和具有重力补偿的PD控制可以实现稳定的定点控制。但有时期望轨迹不是一个固定点，而是一条随时间变化的连续轨迹，这时用PD控制是不能完成对连续时变轨迹的跟踪任务的。计算力矩法先引入一种非线性补偿，使机器人化为一种更易于控制的线性定常系统，假设能够计算动力学方程中的，，，则先引入控制

【5.3.2】计算力矩控制于是，得到闭环系统的误差方程适当选取位置和速度反馈增益和的值，使它的特征根具有负实部，位置误差矢量由此将渐近趋于零。可得。如果可逆，则上式等价于于是，机器人方程为引入具有偏置的PD控制

【5.3.3】滑模控制

滑模变结构控制是变结构控制系统的一种控制策略。这种控制策略与常规控制的根本区别在于控制的不连续性，即一种使系统“结构”随时间变化的开关特性。该控制特性可以迫使系统在一定特性下沿规定的状态轨迹作小幅度、高频率的上下运动，即所谓的滑动模态或“滑模”运动。这种滑动模态是可以设计的，且与系统的参数及扰动无关。这样，处于滑模运动的系统就具有很好的鲁棒性。【5.3.3】滑模控制

如果在切换面上某一区域内所有的点都是终止点，则一旦运动点趋近于该区域时，就被“吸引”在该区域内运动。称在切换面上所有的运动点都是终止点的区域为“滑动模态区”，简称为“滑模”区。系统在滑模区中的运动就称为“滑模运动”。的状态空间中，有一个超曲面，如图所示考虑一般的情况，在系统1.滑动模态及滑模变结构控制的定义通常点：系统运动点到达切换面附近时穿越此点而过（点A）。起始点：系统运动点到达切换面附近时，向切换面的该点的两边离开（点B）。终止点：系统运动点到达切换面附近时，从切换面的两边趋向于该点（点C）。它将状态空间分成上下两部分：及。在切换面上的运动点有三种情况：【5.3.3】滑模控制即当运动点到达切换面附近时，必有是系统的一个条件Lyapunov函数。系统本身也就稳定于条件。如果满足此条件，则【5.3.3】滑模控制滑动模态存在，即控制函数成立；满足可达性条件，在切换面以外的运动点都将于有限的时间内到达切换面；保证滑模运动的稳定性；达到控制系统的动态品质要求。其中，，使得求解控制函数需要确定切换函数滑模变结构控制的定义如下，设有一控制系统【5.3.3】滑模控制其中，为状态向量，，参数应使多项式满足Hurwitz条件，其中为Laplace算子。针对线性系统当时，，满足：其中，和分别为跟踪误差及其变化率，必须满足Hurwitz条件，即。即当时，误差会指数收敛于零。针对跟踪问题，设计滑模函数为滑模面设计为2.滑模面参数设计及趋近律【5.3.3】滑模控制其中，常数表示系统的运动点趋近切换面的速率。小，趋近速度慢；大，则运动点到达切换面时将具有较大的速度，引起的抖动也较大。等速趋近律滑模可达性条件仅保证由状态空间任意位置运动点在有限时间内到达切换面的要求，而对于趋近运动的具体轨迹未作任何限制，采用趋近律的方法可以改善趋近运动的动态品质。理想的滑动模态如图所示。典型的趋近律有等速趋近律、指数趋近律、幂次趋近律、一般趋近律。【5.3.3】滑模控制等速趋近项使当接近于零时，趋近速度是而不是零，从而保证有限时间到达。为了保证快速趋近的同时削弱抖振，应在增大的同时减小。指数项能保证当较大时，系统状态能以较大的速度趋近于滑动模态,适合解决具有大阶跃的响应控制问题。其中，是指数趋近项，其解为。指数趋近律【5.4】操作臂的力-位控制操作臂阻抗控制就是间接的控制操作臂和环境间的作用力，其设计思想是建立操作臂末端作用力与其位置之间的动态关系，通过控制操作臂位移而达到控制末端作用力的目的，保证了操作臂在受约束的方向保持期望的接触力。操作臂在进行作业任务过程中，受到环境的约束，既要进行精确的位置控制还要适当的控制接触力来克服环境约束或依从环境，这种在完成作业任务过程中调节接触力来避免损害的控制为柔顺控制。今研究最多的为力位混合控制和阻抗控制。【5.4】操作臂的力-位控制在阻抗模型中，阻抗控制目标为跟踪理想的阻抗轨迹，可由下述模型求得为接触位置的指令轨迹，；、、分别为质量、阻尼和刚度系数矩阵。1.阻抗模型的建立根据工作空间直角坐标与关节角位置的转换及工作空间关节末端节点直角坐标的动力学模型，设计加在关节末端节点的控制律，并通过与之间的映射关系，求出实际的关节扭矩。其中，，。机械臂末端与外界环境的接触一般看作为弹簧-阻尼系统，操作臂末端的接触阻力位置误差有关，动力学描述为【5.4】操作臂的力-位控制Lyapunov稳定性分析可知，是受控操作臂全局渐进稳定的平衡点有设是在工作空间中的理想轨迹，则和分别是理想的速度和加速度。将角度动力学方程转化为笛卡尔坐标系下的动力学方程后，采用基于前馈补偿和阻力补偿的PD控制方法，控制律设计为2.控制器设计【5.5】动力学非线性补偿控制神经网络能逼近任意非线性函数，便于进行信息的并行分布式处理与存储，可以多输入、多输出，便于用超大规模集成电路、光学集成电路系统或用现有的计算机技术实现。神经网络是模拟人脑思维方式的数学模型，神经网络与控制理论相结合发展起来的智能控制方法为解决复杂的非线性、不确定、不确知系统的控制问题开辟了新途径。5.5.1神经网络简介【5.5.1】神经网络简介神经元结构模型如图所示常用神经元非线性特性包含阈值型、分段线性型和函数型，其中，代表性的函数型特性有Sigmoid型和高斯型，其中Sigmoid型表达式为通常情况下，取，即为神经元的内部状态，为阈值，为输入信号，，表示从单元到单元的连接权系数，为外部输入信号。模型可描述为【5.5.1】神经网络简介神经网络的学习算法：有导师的学习方式将网络的输出和期望的输出（即导师信号）进行比较，然后根据两者的差异调整网络的权值，最终使差异变小。无导师的学习方式按照一种预先设定的规则自动调整权值，使网络最终具有模式分类等功能。再励学习是介于上述两者之间的一种学习方式。权值调节方法：Hebb规则Delta规则Lyapunov稳定性理论【5.5.1】神经网络简介Hebb规则根据神经元连接间的激活水平改变权值，数学描述为：式中，为连接从神经元到神经元的当前权值；和分别为神经元和的激活水平。【5.5.1】神经网络简介式中，训练样本数为。为输入模式，即假设误差准则函数为式中，代表期望的输出（导师信号）；为网络的实际输出，，为网络所有权值组成的向量，即Delta规则【5.5.1】神经网络简介令网络输出为，则的修正规则为其中神经网络学习的目的是通过调整权值，使误差准则函数最小。可采用梯度下降法来实现权值的调整，其基本思想是沿着的负梯度方向不断修正值，直到达到最小，这种方法的数学表达式为【5.5.2】典型神经网络模型典型的神经网络模型有BP网络和RBF网络。含一个隐层的BP网络结构如图所示，图中为输入层，为隐层，为输出层。误差反向传播神经网络，简称BP网络（BackPropagation），其学习算法的基本思想是梯度下降法。它采用梯度搜索技术，以期使网络的实际输出值与期望输出值的误差均方值为最小。1.BP网络【5.5.2】典型神经网络模型BP网络属于全局逼近算法，只要有足够多的隐层和隐层节点就可以逼近任意的非线性映射关系，具有较强的泛化能力和较好的容错性。主要缺点是待寻优的参数多，收敛速度慢，实时性差；目标函数存在多个极值点，按梯度下降法进行学习，很容易陷入局部极小值；目前没有很好的确定具体网络的方法，只能根据经验试凑。BP算法的学习过程由正向传播和反向传播组成。

在正向传播过程中，输入信息从输入层经隐层逐层处理，并传向输出层，每层神经元（节点）的状态只影响下一层神经元的状态。

如果在输出层不能得到期望的输出，则转至反向传播，将误差信号（理想输出与实际输出之差）按连接通路反向计算，由梯度下降法调整各层神经元的权值，使误差信号减小。【5.5.2】典型神经网络模型径向基函数（RadialBasisFunction，RBF）神经网络是具有单隐层的3层前馈网络，模拟了人脑中局部调整、相互覆盖接收域的神经网络结构，已证明RBF网络能以任意精度逼近任意连续函数。RBF网络的学习过程与BP网络的学习过程类似，主要区别在于作用函数是高斯基函数，其值在输入空间中有限范围内为非零值，因而RBF网络是局部逼近的神经网络。多输入单输出的RBF网络结构2.RBF网络【5.5.2】典型神经网络模型RBF网络的输出为在RBF神经网络中，为网络输入，是隐含层第个神经元的输出，即高斯基函数的宽度向量为网络的权值为式中，为隐含层神经元