多边形内角和定理重难点题型（原卷版+解析）

专题04多边形内角和定理重难点题型

国【题型目录】

题型一三角形内角和定理的证明

题型二与平行线有关的三角形内角和问题

题型三与角平分线有关的三角形内角和问题

题型四三角形折叠中的角度问题

题型五三角形外角的性质

题型六多边形的内角和问题

题型七正多边形的内角、外角问题

题型八多边形内角和、外角和的综合问题

51经典例题一三角形内角和的证明】

【知识归纳】

1、三角形的内角：

①三角形的三个内角的和等于180。.

②推论：直角三角形的两个锐角互余.

【例1】（2022秋.全国•八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于180。.

已知：AABC的三个内角为—A,NB,NC.

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证法1证法2

如图1,延长到点。，则如图2,过点C作。E〃筋，-DE//AB,

ZACD=ZA+ZB（三角形的一个外角4=NB（两直线平行，内错角相等），

等于和它不相邻的两个内角的和）.N2=NA（两直线平行，内错角相等），

,/ZACD+ZACB=180°（平角的定义），又•.•/l+NACB+N2=180。（平角定义），

ZA+ZB+ZACB=180°（等量代换）..•.ZA+ZAC3+/B=180。（等量代换）.

C.证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整

D.证法2用严谨的推理证明了该定理

【变式训练】

【变式1］（2021春•广东深圳•七年级校考期末）如图，将AABC沿BC翻折，使点A落在点A，处，过点B

作BD〃AC交AC于点D,若/1=30。，Z2=140°,则/A的度数为（）

A.115°B.120°C.125°D.130°

【变式2］（2022秋•八年级课时练习）如图，已知AB、CD交于点。，且NA=38。，ZB=58°,ZC=44°,

贝.

【变式3］（2022秋.河南驻马店•八年级统考期中）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角

形内角和是180。”的结论.

小明受到实验方法1的启发，形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把N1和N2移动

到/3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就

可以解决问题了.

(1)填空：小明的证明过程如下：

已知：如图，三角形ABC.

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：延长BC,过点C作Q0〃3A.

•••ZA=Z1(两直线平行，内错角相等)，

ZB=Z2().

VZ1+Z2+ZACB=18O°(),

：.ZA+ZB+ZACB=180°.

(2)请你参考小明解决问题的思路与方法，画出实验2几何图形，并写出利用实验2证明该结论的过程.

(3)在实验过程中，小超不小心把三个角都撕下来，但他发现，除了可以利用原三角形三个顶点外，还可以

在原三角形所在的平面内，将撕下来三个角的顶点重合在平面内任意一点，使撕下来角的两边分别平行(或

重合)于原三角形的两边，也可以证明三角形内角和是180。.请你参考小超解决问题的思路与方法，画出

几何图形，并写出一种证明该结论的过程.

【经典例题二与平行线有关的三角形内角和问题】

【例2】(2022秋•八年级课时练习)将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，ZC=45°,〃=30。，小

明得到下列结论：

①如果N2=30。，则AC〃£»E；

③如果则N2=3O°；

④如果/CAD=150。，贝U/4=/C.

其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

【变式训练】

【变式1］（2022•全国•八年级专题练习）如图，已知AE平分/SAC,BELAEE,ED//AC,/BAE=34。,

D.104°

【变式2］（2022春•广西南宁•七年级统考期末）如图，将长方形纸片ABC。沿跖折叠后，点A,8分别落

在A,8的位置，再沿边将/A折叠到处，已知/1=50。，则'

【变式3］（2022秋・全国•八年级专题练习）如图1,在三角形A3C中，/ABC=90。，直线。与边AC、AB

分别交于D、E两点，直线6与边BC、AC分别交于b、G两点，且a〃从

AAA

⑴若4£EM4。，求-3PG的度数；

（2）如图2,尸为边AB上一点，连接P/，若ZPbG+一段6=180。，请你探索/PPG与NAED的数量关系，

并说明理由；

⑶如图3,若/DEB=m,延长A3交直线匕于点。，在射线。。上有一动点P,连接尸E、PQ,请直接写出

NPEQ、NEPQ、尸。尸的数量关系（用含根的式子表示）.

3【经典例题三与角平分线有关的三角形内角和问题】

【例3】（2022秋.山东青岛.八年级统考期末）如图在AABC中，BO,CO分别平分/A3C,NACB,交于

0,CE为外角/AC。的平分线，8。的延长线交CE于点E,记NA4c=N1,NBEC=N2,则以下结论

①NBOC=3/2,②Z1=2N2,®ZBOC=900+Zl,®ZBOC=90°+Z2,其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①④D.②④

【变式训练】

【变式1］（2022秋•全国•八年级专题练习）如图，将AASC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，且&V平

分/ABC,C4'平分/ACS,若ZBAC=110。，Zl=45°,则N2的度数为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【变式2］（2022秋.广东广州•八年级广州市第四十一中学校考期末）如图，中，44=/，NABC与

-ACD的平分线交于点A，得/4；/ABC与/ACD的平分线交于点A,得……，与

幺值⑦的平分线交于点&。23,得乙勺）33,则乙%23=

【变式3］（2022秋•四川南充•八年级四川省南充高级中学校考期中）如图，在"LBC中，AO平分-54C,

点P为线段AD上的一个动点，PE上AD交2C的延长线于点E.

⑴若NB=35。，ZACB=85°,求—E的度数;

⑵若NACB=66。，且，3=/。⑦，求NE的度数.

【经典例题四三角形折叠中的角度问题】

【例4】（2022秋•河南南阳•八年级统考期中）如图，在AABC中，NA=60。，将AABC沿。E翻折后，点A

落在BC边上的点4处.若Z/VEC=70。，则ZAT>E的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【变式训练】

【变式1］（2022秋•湖北武汉.八年级校联考期中）如图1,△ADC中，点E和点尸分别为AD,AC上的动

点，把△ADC纸片沿斯折叠，使得点A落在△ADC的外部A处，如图2所示.若/1-/2=42。，则NA度

数为（）

A.20°B.21°C.21.5°D.22.5°

【变式2］（2022秋•江苏扬州•八年级校联考期中）如图，在Rt^ABC中，ZACB=^0°,ZA<NB,"是

斜边A2的中点，将以。1/沿直线CM折叠，点A落在点。处，如果C£>恰好与AB垂直，则NA=°.

【变式3】（2022秋•河南郑州•八年级校考期末）（1）如图，把AABC沿DE折叠，使点A落在点4处，试

探究Nl、N2与/A的关系；

（2）如图2,若N1=140°,Z2=80°，作ZABC的平分线BN,与ZACB的外角平分线CN交于点N,求ZBNC

的度数；

（3）如图3,若点A落在AABC内部，作/ABC,NACB的平分线交于点A,此时Nl,Z2,NBAC满

足怎样的数量关系？并给出证明过程.

丹【经典例题五三角形外角的性质】

【知识归纳】

1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.

图中的NCBD称为4ABC的一个外角

2、注意：

①“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角,称某个角是某个三角

形的外角，而不称三角形某个角的外角

②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

③三角形的外角和等于360。.

【例5】（2022秋•八年级课时练习）如图，已知点E在线段DC上，5.ZADC=ZAEB=ZBCD=a,AM,

8M分别是6钻，的平分线，若N4AZB的度数可用含。的代数式表示为（）

M

3

A.450+-aB.90°--aC.135°--(zD.-a-90°

2222

【变式训练】

【变式1］（2022秋•八年级单元测试）如图，在AABC中，。是三个内角的平分线的交点，过点。作

ZODC=ZAOC,交边于点D.若=则/3QD的度数为（）

222〜一‘

【变式2］（2022秋・河北张家口•八年级校考阶段练习）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与的

交点为C,且NA,NB,-E保持不变.为了舒适，需调整”的大小，使NEED=110°,则图中“应

（填“增加”或“减少”）度.

【变式3］（2022秋•全国•八年级期中）如图，在AABC中，AE是的高.

⑴如图1,AO是N54C的平分线，若/3=38。，ZC=62°,求m场的度数.

（2）如图2,延长AC到点孔/C4E和/BCV的平分线交于点G,求NG的度数.

j【经典例题六多边形的内角和问题】

【知识归纳】

多边形的外角：

（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多

边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.

（2）任意多边形的外角和等于360。.

多边形的内角：n边形的内角和等于（n-2）-180°

【例6】（2022秋・山西吕梁•八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则

ZA+N3+NC+/O+NE+Nb+/G的度数为（）

A.360°B.540°C.720°D.无法计算

【变式训练】

【变式1］（2022春・江苏•七年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620。,

则原来多边形的边数是（）

A.11B.12C.11或12D.10或11或12

【变式2］（2023春•七年级单元测试）己知AABC中，ZA=65°,将NRNC按照如图所示折叠，若

ZADB'=35°,贝！M+N2+N3=°.

【变式3］（2021秋・福建龙岩•八年级校考阶段练习）RtAABC中，NC=90。，点。、E分别是AABC边AC、

BC上的点，点尸是一动点.4ZPZM=Z1,NPEB=N2,ZDPE=Za.

即图2

（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则Na、Nl、N2之间的关系为：

⑶若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则/a、N1、/2之间有何关系？猜想并说明理由.

（4）若点P运动到AABC形外，如图（4）所示，则/a、N1、/2之间的关系为：

丹【经典例题七正多边形的内角、外角问题】

【例7】（2022.四川绵阳•校考二模）如图，在正六边形ABC。所中，M,N分别为边CD,BC的中点，AN

与BM相交于点P,则ZAPM的度数是（）

B.120°C.118°D.122°

【变式训练】

【变式1］（2020春.河北石家庄.九年级校考开学考试）如图，以正五边形ABCDE的对角线AC为边作正方

形ACTG,使点5落在正方形AC/G外，则NE4G的大小为（）

AG

B.28°C.36°D.72°

【变式2】(2022秋・辽宁抚顺.八年级统考期中)如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两

个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直.则/a=

【变式3】(2022秋・湖北荆州.八年级统考阶段练习)如图1,点、M,N分别在正五边形A2CL比的边BC,

CD上,BM=CN,连结AM,8N相交于”.

图1图2

(1)求正五边形ABCDE外角的度数;

(2)求的度数;

(3)如图2,将条件中的“正五边形换成，正六边形ABCDEF1，，其他条件不变，试猜想/AH8的度数.

【经典例题八多边形的内角和、外角和的综合问题】

【例8】(2022秋・全国•八年级专题练习)如图，七边形ABCDEPG中，EF,班的延长线相交于点P,若

ZABC,NBCD,ZCDE,ZDEF的外角的度数和为230。，则/尸的度数为（)

A.40°B.45°C.50°D.55°

【变式训练】

【变式1】（2022秋•全国•八年级专题练习）如图，六边形ABCDEF中,N4ZB,NC,NO的外角都相等,

即N1=N2=N3=N4=62。，分别作户和BEE4的平分线交于点P,则一尸的度数是（)

【变式2］（2022•八年级单元测试）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形ABCDEFG//中，对

角线BF的延长线与边DE的延长线交于点则ZM的大小为

【变式3】（2022秋・全国•八年级专题练习）如图1,四边形ABC。中，点E在边A8上，/BCE与/BEC

互余，过点£作成7口），交A。于点F.

图1

图2

G

（1）若EP_LCE,求证：NAEF=NBCE；

（2）如图2,EG平分/BEC交。C延长线于点G,ZBCD+ZECD=180°.点H在尸D上，连接£77,CH,

/AHE+/BCH=90°.当/。+NAE/=2NG时，判断线段CH与CE的大小关系，并说明理由.

【培优检测】

1.（2022秋•湖北武汉•八年级统考期末）如图，。是A3上一点，E是AC上一点，BE,CD相交于点凡

ZA=70°,ZACD=20°,ZABE=25°,则—BFC的大小是（）

A.90°B.95°C.105°D.115°

2.（2022秋.河北邯郸.八年级校联考期中）如图，将三角形纸片43c翻折，点A落在点A的位置，折痕为

DE.若4=30。,/8。4'=80。，则/CE4'的度数为（）

A.15°B.20°C.30°D.40°

3.（2022秋・广东梅州•九年级校考期中）如图，ABHCD,ZA=3T,ZC=63°,那么NF等于（）

4.（2022秋・全国•八年级专题练习）如图，在"LBC中，/A3C和NACB的外角平分线交于点O,设/4=加,

贝|JZBOC=（）

17]vn

A.90°-7/zB.90°——C.180°-2mD.180°--

22

5.（2022秋•八年级课时练习）如图，将AABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，且&V平分/ABC,CA'

平分/ACS,若Z&4，C=110。，则/ADE的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

6.（2022秋・重庆巴南•八年级校考期中）如图，在AABC中，AB^AC,ZA=40°,E为BC延长线上一点,

—ABC与—ACE的平分线相交于点。，则一。等于（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

7.（2022秋.浙江杭州.九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，五边形ABCDE是正五边形，若《〃射

则Na—乙0=()

C.84°D.90°

8.（2021春・湖北武汉•九年级校考自主招生）如图，AABC中，AB=AC,。、E分别为AB、AC上的点,

/3。£、/。瓦）的平分线分别交3。于点尸、6,若ZBGE=100。，则/ADE的度数为（）

A.18°B.20°C.25°D.30°

9.(2022・全国•七年级专题练习)如图，直线AB〃CD,点尸在直线A8上，点N在直线CD上，ZEFA=25°,

ZFGH=90°,NHMN=25。,NCN尸=30°,则NG"M=()

A.45°B.50°C.55°D.60°

10.（2021秋・浙江台州•八年级校联考阶段练习）图1是二环三角形，S=NAI+NA2+...+NA6=360。，图2

是二环四边形，S=NA/+NA2+…+/人8=720。，图3是二环五边形，S=NA/+NA2+...+NAIO=1O8O。…聪明

A.1440B.1800C.2880D.3600

11.（2022秋.天津.八年级校考期中）如图，已知AABC中，ZA=5O°,BD±AC^-D,CEJ.AB于E,BD、CE

交于点F,徘BC、FCB的平分线交于点。，则/30C的度数为.

12.（2022秋・天津•八年级校考期中）如图，AABC中，■是NBAC的外角NE4B的平分线，交CB的延长

线于点E,BG是NABC的外角的平分线，交AC的延长线于点G,若AF=BG=AB,则NF的大

小=（度）.

13.（2022秋・浙江杭州•八年级校联考期中）如图，在44BC中，ZACB=90°,ZB-ZA=10°,。是A3上

一点，将AACD沿。翻折后得到ACED，边CE交AB于点E若力EF中有两个角相等,则ZACD=.

14.（2022秋・山西大同•八年级大同市第七中学校校考阶段练习）如图，P是AABC的/ABC和NAC3的

外角的平分线的交点，若/P=40°,则NA=.

A

B

CE

15.（2021秋.重庆渝北.八年级校考期中）如图，在四边形ABC。中，ND4B的角平分线与NA8C的外角平

分线相交于点P,且"+/C=200。，则/P=.

16.（2022春.江苏泰州•七年级校考阶段练习）如图，在四边形A3C。中，NZ14B的角平分线与NA8C的外

角平分线相交于点P，且NO+/C=260。，则NP=.

17.（2022春・吉林长春.七年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内

容.

现在我们时论三角形的外角及外角和.

如图9.1.9,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.

三角形的外角写内角有什么关系呢？

在图9.1.10中，显然有

"BD（外角）+ZABC（相邻的内角）=180°

那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？

依据三角形的内角和等于180°,我们有ZACB+ZBAC+ZABC=180°.

由上面两个式子，可以推出

ZCBD=180°-ZABC.

ZACB+ZBAC=180°-ZABC.

因而可以得到你与你的同伴所发现的结论：

Z.CBD=ZACB+ZBAC.

由此可知，三角形的外角有两条性质：

1.三角形的一个外角等于与它不相同的两个内角的和.

2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

【感知】如图①，在四边形的C中，EB、ED分别是边A£、CF的延长线，我们把ZB£F、/。正称为四

边形AEFC的外角，若NA+NC=260。，则/BEF+NDFE=___________度.

【探究】如图②，在四边形AECF中，EB、ED分别是边AE、AF的延长线，我们把ZBEC、/DPC称为

四边形AECF的外角，试探究NA、NC与"EC、NDPC之间的数量关系，并说明理由.

【应用】如图③，根、分别是四边形的C的外角NDEE、的平分线，若NA+/C=210。，则

的度数为_______________________

18.（2022・湖南常德・统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将

其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这

样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样

共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张

四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为.

19.（2022春•八年级课时练习）一个五角星图案如图.已知五边形AAAA4a的各个内角都相等，分别求

/昂线的度数.

20.（2022秋.天津河西•八年级统考期中）探究一：已知：如图1,NEDC与—ECD分别为△ADC的两个外

角.

试探究NA与NEDC+/ECD的数量关系（即列出一个含有/A,ZFDC,—ECD的等式，直接写出

答案即可）;

探究二：已知：如图2,在ZXADC中，DRCP分别平分4DC和2ACD,求：NP与/A的数量关系；

探究三：若将探究2中的△ADC改为任意四边形ABCD呢？

即：如图3,在四边形ABCD中，DRCP分别平分—4X7和/BCD,试利用上述结论探究-P与/4+NB的

数量关系.

图1图2图3

21.（2022秋.全国•八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提

出的问题.

(1)探究1：如图1,在ULBC中，。是—ABC与—AC3的平分线5。和CO的交点，试分析—3OC与NA有

怎样的关系？请说明理由.

⑵探究2：如图2中，。是NA5C与外角—ACD的平分线8。和CO的交点，试分析/3OC与NA有怎样的

关系？请说明理由.

(3)探究3：如图3中，O是外角/ZJ3C与外角/EC3的平分线8。和CO的交点，则N3OC与NA有怎样的

关系？(直接写出结论)

(4)拓展：如图4,在四边形A3CD中，。是—ABC与/DCB的平分线3。和CO的交点，则-3OC与NA+ND

有怎样的关系？(直接写出结论).

⑸运用：如图5,五边形

ABCDE中，乙BCDNEDC的外角分别是N尸CD,NGZ)C,CP,D尸分别平分NFCD和NGDC且相交于点P,若

ZA=140。，度.

22.(2022秋•山西吕梁•八年级统考期中)请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务.

探索四边形的内角和

数学课上，老师提出如下问题:我们知道,三角形的内角和等于180。，正方形、长方形的内角和都等于360。.那

么，任意一个四边形的内角和是否也等于360。呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于

360。吗？

“勤奋小组’'的思路是：如图1,连接对角线AC,则四边形A3CD被分为两个三角形，即AABC和AACD.由

止匕可得，ZBAZ)+ZB+ZfiCD+Z£)=Zl+Z2+Zfi+Z3+Z4+ZD=(Zl+Z4+ZD)+(Z2+ZS+Z3)

VZl+Z4+ZD=180°,Z2++ZS+Z3=180°

/BAD++/BCD+/。=360。.即四边形A3CD的内角和是360°.

“智慧小组”受至「勤奋小组”的启发，他们发现，在四边形的一条边上取一点E,或在四边形内部取一点E,

也可以将四边形分为几个三角形(如图2或图3),进而证明四边形内角和等于360。.

“创新小组”的思路是：如图4,在四边形外部取一点E,分别连接AE,BE,CE,DE...

任务一：

勤奋小组在探索四边形内角和的过程中，主要体现的数学思想是()

A.从一般到特殊B.转化C.抽象

任务二：

在图2和图3中，选择一种，按照智慧小组的思路.求证：ZBAD+ZABC+ZBCD+ZCDA=360°；

任务三：

如图4,请按照创新小组的思路求证：ZBAD+ZABC+ZBCD+ZCDA=360°.

23.(2022秋・辽宁鞍山•八年级统考期中)RtZVRC中，NC=90。，点。、E分别是AABC边AC、3c上的

点，点P是一动点.ZPDA=Z1,ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

图1图2

(1)若点尸在边AB上，如图1所示，且4z=5O。，则Nl+N2=°；

⑵若点P在边AB上运动，如图2所示，则/0、/I、N2之间的关系为；

(3)若点P运动到边的延长线上，DP与BE的交点、为M,如图3所示，则Na、4、N2之间有何关系？

猜想并说明理由.

24.(2022秋.河北沧州•八年级校考阶段练习)在四边形ABCD中，^BAD=14O°,ZADC=8O。.

F

(1)如图1,若NB=NC,则NC=:

（2）如图2,若NABC的平分线做交。。于点E,且理〃AD.求NC的度数；

（3）若ZA3c和ZDCB的平分线交于点E,延长54,8交于点尸（如图3）.将原来条件“々&1。=140。,

NADC=80。”改为“NT=40。"，其他条件不变，求ZBEC的度数.

25.（2022春.江苏盐城•七年级校考期中）问题：若8〃尸。，点A在直线8上，点B在直线PQ上，点、E

为CD,尸。之间一点，探NAEB,与NE8。之间的关系.

⑴如图1,延长AE与尸。交于点尸（方法一）;如图2,过点E作G"〃CL>（方法二），发现:

ZAEB=ZEAD+ZEBQ.请选择一种方法说明.

（2）小明同学进行了更进一步的思考：直线点A、C在直线。上，点、B、。在直线6上，直线CE,BE

分别平分/ACD,ZABD,且交于点E.

①如图3,若NAC£>=40o,NAB£>=70。，则NCEB=

②如图4,若448=无。,乙45。=70。，贝l]NC£B=.（用含x的代数式表示）

(3)如备用图，射线0尸与射线OQ相交于点。，点A、C在射线0尸上，ZAOB=n。，点B、。在射线3上,

其中A、B是定点,C,。是动点，且点D在点B右侧，直线CE,BE分别平分/ACD,且交于点

E.若乙如)=70。，ZACD=m°,直接写出NCE3的度数.(用含相，”的代数式表示)

26.(2022春.江苏扬州•七年级校考期中)如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有NA+/3=NC+/O；

阅读下面的内容，并解决后面的问题：

(1)如图2,AP、CP分别平分/BAD、NBCD,若NABC=36。，ZADC=16°,求一尸的度数；

(2)①在图3中，直线AP平分/BAD的外角NE4。，"平分ZBCD的外角/BCE,猜想一尸与—3、ZD

的关系，并说明理由.

②在图4中，直线AP平分254。的外角/E4£),CP平分NBCD的外角N3CE,猜想—P与NB、的

关系，直接写出结论，无需说明理由.

③在图5中，AP平分N&LD,CP平分N3CD的外角4BCE,猜想一尸与—3、NO的关系，直接写出结

论，无需说明理由.

专题04多边形内角和定理重难点题型

旨【题型目录】

题型一三角形内角和定理的证明

题型二与平行线有关的三角形内角和问题

题型三与角平分线有关的三角形内角和问题

题型四三角形折叠中的角度问题

题型五三角形外角的性质

题型六多边形的内角和问题

题型七正多边形的内角、外角问题

题型八多边形内角和、外角和的综合问题

幺【经典例题一三角形内角和的证明】

【知识归纳】

1、三角形的内角：

①三角形的三个内角的和等于180°.

②推论：直角三角形的两个锐角互余.

【例1】（2022秋・全国•八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于180。.

已知：AABC的三个内角为/A,/B,ZC.

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证法1证法2

如图1,延长3C到点D,贝。如图2,过点C作。“〃•.•£）£〃川,

ZACD=ZA+ZB（三角形的一个外角4=/B（两直线平行，内错角相等），

等于和它不相邻的两个内角的和）.N2=NA（两直线平行，内错角相等），

NACD+NACB=18O。（平角的定义）,又•.•/l+NAC3+/2=180。（平角定义），

/.ZA+ZB+ZAC5=180°（等量代换）..•.ZA+ZACB+/B=180。（等量代换）.

下列说法正确的是（）A.证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理

B.证法1用合理的推理证明了该定理

C.证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整

D.证法2用严谨的推理证明了该定理

【答案】D

【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可.

【详解】三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，

故4、8都不符合题意；

证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状，

故C不符合题意；。符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键.

【变式训练】

【变式1］（2021春•广东深圳•七年级校考期末）如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在

点A'处,过点B作BD〃AC交AC于点D,若/1=30。，Z2=140°,则/A的度数为（）

A.115°B.120°C.125°D.130°

【答案】D

【分析】根据折叠的性质和平行线的性质得到/BCD=/CBD,根据三角形的内角和定理

即可得到结论.

【详解】解：设/ABD=a,

:将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A，处，

.,.ZABC=ZA,BC=30°,ZACB=ZA,CB,ZA=ZA\

VAC/7BD,

/.ZACB=ZCBD,

；.NBCD=NCBD,

；/2=140。，

.,.ZCBD=ZBCD=1(180°-140°)=20°,

；/CBA'=30°,

.-.ZA,BD=10°,

NA'=Z2-NA'BD=140°-10°=130°,

，NA=NA'=130°,

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质,

正确的识别图形是解题的关键.

【变式2］（2022秋•八年级课时练习）如图，已知AB、8交于点。，且

ZA=38°,ZB=58°,NC=44°,贝！I/O=.

【答案】640

【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案；

【详解】解:：VZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZCOB=180°,ZAOD=ZCOB

NA+ND=/C+/B,

ZD=ZC+ZB-ZA=64°；

故答案为：64°；

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键.

【变式3］（2022秋.河南驻马店•八年级统考期中）如图，在小学我们通过观察、实验的方

法得到了“三角形内角和是180。”的结论.

小明受到实验方法1的启发，形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把

N1和N2移动到/3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图

形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了.

⑴填空：小明的证明过程如下:

已知：如图，三角形A3C.

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：延长BC,过点C作。欣〃54.

.-.ZA=Z1（两直线平行，内错角相等）,

Z5=Z2

Zl+Z2+ZACB=180°

ZA+ZB+ZACB=180°.

（2）请你参考小明解决问题的思路与方法，画出实验2几何图形，并写出利用实验2证明该

结论的过程.

（3）在实验过程中，小超不小心把三个角都撕下来，但他发现，除了可以利用原三角形三个

顶点外，还可以在原三角形所在的平面内，将撕下来三个角的顶点重合在平面内任意一点,

使撕下来角的两边分别平行（或重合）于原三角形的两边，也可以证明三角形内角和是

180°.请你参考小超解决问题的思路与方法，画出几何图形，并写出一种证明该结论的过

程.

【答案】（1）两直线平行，同位角相等；平角定义

⑵见解析

（3）见解析

【分析】（1）由证明过程，结合具体的图形可得答案；

（2）过点A作。E〃BC,利用平行线的性质以及平角的定义可得结论；

（3）在BC边上任取一点Q,分别作DF//AC,利用平行线的性质和平角的定义

可得答案.

【详解】（1）证明：延长BC,过点C作CM〃血.

/.ZA=Z1（两直线平行，内错角相等），

/B=/2（两直线平行，同位角相等）.

VZl+Z2+ZACB=180°（平角定义），

ZA+ZB+ZACB=180°.

故答案为：两直线平行，同位角相等；平角定义；

（2）证明：如图2,过点A作

图2

■:DE//BC,

：.ZB=ZBAD,ZC=ZCAE.

,：ZBAD+ZBAC+ZCAE=180°,

：.ZBAC+ZB+ZC=180°；

(3)证明：如图3,过点。作。石〃AB,DF//AC,

E

BD

图3

9：DE//AB,

：・/B=/CDE,ZBFD=ZEDF.

'：DF//AC,

:・/C=/BDF,ZBFD=ZA.

：.ZA=ZEDF.

,/ZBDF+ZEDF+ZCDE=180°,

・・・ZBAC+ZB+ZC=180°.

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，掌握平行线的性质以及平角的定义是解决问题的前

提.

41经典例题二与平行线有关的三角形内角和问题】

【例2】（2022秋.八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，NC=45。,

ND=30。，小明得到下列结论：

①如果N2=3O。，则AC〃DE；

②44E+NC4D=180。；

③如果3C〃AD,则N2=3O。；

④如果NC4D=150。，则N4=NC.

其中正确的结论有（）

【答案】C

【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可.

【详解】解：：N2=30。，ZCAB=90°,

E

B

.\Z1=6O°,

VZE=60°,

.'.Z1=ZE,

AAC//DE,故①正确；

'：ZCAB=ZDAE=90°,

・・・NBAE+NC4D=90。-N1+90。+/1=180。，故②正确；

VBC//AD,N3=45。，

・・・N3=N8=45。，

•・•N2+N3=NDAE=90°,

・・・N2=45。，故③错误；

VZCAZ)=150°,ZBAE+ZCAZ)=180°,

.,.ZBAE=30°,

VZE=60°,

ZBOE=/BAE+/E=90。,

・•・Z4+ZB=90°,

VZB=45°,

・•・Z4=45°,

VZC=45°,

Z4=ZC,故④正确；

所以其中正确的结论有①②④共3个，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理

是解此题的关键.

【变式训练】

【变式1](2022•全国•八年级专题练习)如图，已知AE平分NR4C,BELAE于E,ED//AC,

NBAE=34。，那么()

A

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；

【详解】平分

，ZBAE=ZCAE=34°

,JED//AC

：.ZCAE+ZDEA=18O°

.,.ZD£A=180°-34°=146°

•.*ZAED+ZAEB+ZBED=360°

：.ZBED=36Q°-146°-90°=124°.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关

键.

【变式2］（2022春•广西南宁•七年级统考期末）如图，将长方形纸片沿EF折叠后，

点A,8分别落在A,8的位置，再沿边将/A折叠到处，已知Nl=50。，则/EE”

【答案】15

【分析】由折叠可知：ZBFE=ZB'FE,ZAEF=ZA'EF,ZA'EG=ZHEG,由三角形的内

角和定理结合平行线的性质可求解NA'EP=115。，过8作则N£）G8=NG8M,

结合平行线的性质易求NDGg=40。，即可得WGE=40。，由直角三角形的性质可求解N/ffiG

=50°,进而可求解.

【详解】解：由折叠可知：ZBFE=ZB'FE,NAEF=NA'EF,/A'EG=NHEG,

"：Zl+ZBFE+ZB'FE=180°,Zl=50°,

：.ZBFE=65°,

'：AD//BC,

NAEF+NBFE=180°,

NAE尸=115。，

JZAEF=115°,

过8作RM//AD,则ZDGB'=/GB'M,

\*AD//BC,

：.NMBF=N1,

AZ1+ZDGB'=ZGB'F=90°,

・•・NDGB』90。-50°=40°,

・•・NAGE=NDGB』40。,

*/NA=90。,

ZHEG=ZA'EG=90°-40°=50°,

ZA'EH=2x50°=100°,

：.ZFEH=ZA'EF-ZA'EH=U5°-100°=15°.

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查折叠的性质、三角形内角和及直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性

质、三角形内角和及直角三角形的性质是解题的关键.

【变式3](2022秋・全国•八年级专题练习)如图1,在三角形A5c中，^ABC=90°,直线

。与边AC、AB分别交于。、£两点，直线人与边3C、AC分别交于尸、G两点，且。〃b.

(1)若ZAEZE4。，求/5FG的度数；

(2)如图2,尸为边A5上一点，连接尸/，若/尸尸G+/5尸G=180。，请你探索/P尸G与NA£D

的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,若NDEB二m,延长AB交直线人于点。，在射线DC上有一动点P,连接PE、P。，

请直接写出/PE。、NEPQ、PQ尸的数量关系（用含机的式子表示）.

【答案】（1）134°

（2）ZPFG+ZAED=9Q°,理由见解析

⑶/PEQ+NEPQ+NPQF=m或PEQ+ZEPQ-NPQF=m

【分析】（1）延长AB,结合平行线性质和外角定理即可.

（2）延长AB,结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可.

（3）结合题意画出图形，分类讨论即可.

【详解】（1）解：延长A3交万于。点，

b=90°,

.:4/G=/Q+ZQB/=44°+90°=134°.

(2)解：延长A3交6于。点，

图2

/BFG+/QFB=18Q°,

.:NQFB=/PFG,

在RtAQFB中^QFB+^Q=90°,

.-.^PFG+^Q=90°,

又Y/AEDUNQ,

NPFG+/AED=90。,

(3)解：①当点尸在。C的延长线上时，如图,

A

在AQEP中，

XPEQ+XEPQ+XEQP^1SO°,

/EQP=/EQF+NPQF,

^EQF=180°-m,

ZPEQ+ZEPQ+ZEQF+^PQF=180°,

^PEQ+^EPQ+(180°-m)+^PQF=18Q°,

NPEQ+/EPQ+/PQF=m.

②当点尸在。C上时，如图，

图3

同理可得,PEQ+NEPQ-NPQF=m.

综上，NPEQ,ZEPQ,一尸。尸的数量关系为：

NPEQ+/EPQ+/PQF=m或PEQ+NEPQ-NPQF=m.

【点睛】本题考查平行线性质、外角定理和三角形内角和，综合性较强，画出辅助线是关键,

方法不唯一.

w【经典例题三与角平分线有关的三角形内角和问题】

【例3】（2022秋・山东青岛•八年级统考期末）如图在