内蒙古赤峰市名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）-A4

第页高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第九、十章，选择性必修第一册第一章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.关于空间向量，，，下列运算错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误.【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确.由数量积运算的分配率可得，选项B正确.由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确.表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误.故选：D.2.某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为.故选：A3.在正方体中，下列向量与平行的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据正方体的性质可解.【详解】如图，在正方体中，.故选：A.4.若数据的方差为0.2，则数据的方差为（）A.0.2 B.0.8 C.1.6 D.3.2【答案】D【解析】【分析】根据各数据同时乘同一数对方差的影响求解.【详解】根据数据的方差为0.2可得数据的方差为.故选：D.5.如图，在直三棱柱中，，分别为棱的中点．设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】，故选：D6.已知点，，，则点到直线的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据点线距离的向量法公式即可求解.【详解】,故点到直线的距离为,故选：B7.在正四面体中，为棱的中点，，则（）A. B.3 C. D.6【答案】B【解析】【分析】根据图形，由向量的加法和向量的数量积计算即可；【详解】因为为棱的中点，所以，所以.故选：B.8.金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选项目完全不同”，事件“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（）A.A与C是对立事件 B.C与D相互独立C.A与D相互独立 D.B与D不互斥【答案】C【解析】【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况，计算每个事件的概率，可得选项A错误；由相互独立的定义可知选项B错误，选项C正确；由互斥事件的概念可知选项D错误.【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种，其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，.由可得A与C不是对立事件，选项A错误.，C与D不相互独立，选项B错误.，A与D相互独立，选项C正确.由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知空间向量，，，则（）A. B.C. D.在方向上的投影向量为【答案】AC【解析】【分析】由空间向量的坐标运算可知选项A正确；求向量的模长可得选项B错误；由可知选项C正确；根据投影向量的公式可知选项D正确.【详解】，A正确；，，，B错误；由得，C正确；在方向上的投影向量为，D错误.故选：AC.10.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．下列结论正确的是（）A.这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大B.这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大C.这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大D.这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大【答案】ACD【解析】【分析】根据题意将A、B地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断.【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：，B地月降雨量按升序排列可得：，对于选项A：可知A地月平均降雨量为，B地月平均降雨量为，因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确；对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为，因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误；对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为，因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确；对于选项D：因为，可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40，且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确；故选：ACD.11.在空间直角坐标系中，已知，则（）A.为质数B.为直角三角形C.与所成角的正弦值为D.几何体的体积为【答案】BCD【解析】【分析】对于ABC：根据空间向量的坐标运算分析求解即可；对于D：分析可知几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，结合台体的体积公式运算求解.【详解】对于选项A：因为，所以不是质数，A错误；对于选项B：因为，则，所以为直角三角形，B正确；对于选项C：因为，所以与所成角的正弦值为，C正确；对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，且与该三棱台底面垂直，，所以几何体的体积为，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一组数据为1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，则这组数据的众数为_________.【答案】3【解析】【分析】根据众数的概念可得结果.【详解】这组数据中，3出现的频数最大，所以这组数据的众数为3.故答案为：13.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为_________.【答案】##30°【解析】【分析】平面与平面夹角的余弦值即两个平面法向量夹角余弦值的绝对值.【详解】因为，所以与的夹角为.故答案为：或14.在如图所示的方格表中选个方格，若要求每行和每列都恰有个方格被选中，则被选方格的个数之和的最大值为_________.10【答案】【解析】【分析】由题意对每一列分别减去十位，便于比较大小，可得答案.【详解】将方格表中的第列、第列、第列、第列、第列的各数分别减去10，，，40，50，得到表格如下：由表格可知第行、第行应选的数字为，则第行应选的数字为第列的，第行应选的数字为，第行应选的数字为，从而可得被选方格的个数之和的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在空间直角坐标系中，已知，，，.（1）若，求m的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题目中点的坐标可得向量坐标，利用向量垂直建立数量积为零方程，可得答案；（2）由题目中点的坐标可得向量坐标，利用向量线性运算建立方程组，可得答案.【小问1详解】，，因为，所以，即，解得.【小问2详解】，，因为，所以，解得，则.16.某中学高二年级的所有学生学习完人教A版选择性必修第一册的《直线和圆的方程》章节后，统一进行了一次测试，并将所有的测试成绩（满分150分）按照，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数（每组数据取区间的中间值作代表）；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从测试成绩在和内的学生中抽取6人的试卷进行试卷分析，再从这6人的试卷中任选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩都在内的概率.【答案】（1）87分.（2）.【解析】【分析】（1）根据平均数的概念结合频率分布直方图求解即可；（2）由分层抽样可知，内抽取4人，内抽取2人，列出所有可能情况，利用古典概型求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数约为分.【小问2详解】因为测试成绩在和内的频率之比为2：1，所以抽取的6人中测试成绩在内的有4人，记为a，b，c，d，测试成绩在内的有2人，记为A，B.从这6人中任选2人的所有可能情况为，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中这2人的测试成绩均在内的情况有6种，故所求概率为.17.如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，点E是的中点，.（1）证明：平面.（2）求点B到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示各点坐标，求与平面的法向量，利用可得结论.（2）利用点到平面的距离公式可求结果.【小问1详解】证法一:以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，，，，，.设是平面的法向量，则令，得.因为，所以，所以平面.证法二：设，的中点为，连接，，.在和中，有，.因为平面，平面，所以平面，同理可证平面.因为平面，，所以平面.【小问2详解】由题意得，，点B到平面的距离.18.三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是.（1）求两人各自闯关成功的概率；（2）求三人中恰有两人闯关成功的概率.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解，（2）分三种情况，结合相互独立事件的概率乘法公式求解.【小问1详解】设两人各自闯关成功的概率分别是.由题意得解得所以两人各自闯关成功的概率分别是，.【小问2详解】三人中只有闯关成功的概率；三人中只有闯关成功概率；三人中只有闯关成功的概率.故三人中恰有两人闯关成功的概率为19.如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面（1）证明：平面（2）求直线与平面所成角正弦值.（3）棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出结论；（2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可.（3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案.小问1详解】因为底面ABCD是正