新高考数学一轮复习讲练测第7章第05讲 空间向量及其应用（练习）（解析版）

第05讲空间向量及其应用（模拟精练+真题演练）1．（2023·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0与EF所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】正方体SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0的中点，设正方体SKIPIF1<0中棱长为2，以D为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

设直线SKIPIF1<0与EF所成角为θ，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0与EF所成角的余弦值是SKIPIF1<0．故选：B．2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的向量积是SKIPIF1<0一个向量，它的模SKIPIF1<0，它的方向与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同时垂直，且以SKIPIF1<0的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0. C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为三角形SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，且方向相同，则SKIPIF1<0，故选：D

4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.

故选：A5．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体SKIPIF1<0，Q为上底面SKIPIF1<0所在平面内的动点，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的所成角为45°时，点Q的轨迹为（

）A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆【答案】C【解析】以点D为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，所以点Q的轨迹为抛物线.故选：C.

6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，空间一点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据题意，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，又因为过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影为：SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为：SKIPIF1<0.故选：D.7．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为侧面SKIPIF1<0和侧面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0点钟时针，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0点钟时针，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设正四棱柱的底面边长为SKIPIF1<0，侧棱长为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为SKIPIF1<0.

故选：B8．（2023·江西·校联考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知SKIPIF1<0，则当点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最小时，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.故选：C.9．（多选题）（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知空间单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两夹角均为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点可以共面B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由于单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两夹角均为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，假设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点可以共面，则SKIPIF1<0共面，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，分别用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0点乘，则SKIPIF1<0，由于该方程组无解，所以不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0共面，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点不共面，故A错误，对于B，SKIPIF1<0,故B正确，对于C，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故C正确；对于D，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D错误，故选：BC.10．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）在长方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上（含端点）的一动点，则下列说法正确的是（

）A．该长方体外接球表面积为SKIPIF1<0 B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值为1【答案】ABD【解析】设长方体SKIPIF1<0外接球的半径为SKIPIF1<0，该长方体外接球的直径即为长方体对角线的长，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球表面积为SKIPIF1<0，故A正确；因为在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上（含端点）的一动点，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离即为SKIPIF1<0的长，所以SKIPIF1<0，是定值，故B正确；如图，以SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故C错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值为1，故D正确.故选：ABD11．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）

A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0【答案】AC【解析】

取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，以过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0平行的直线为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.对于A项，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A项正确；对于B项，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量.若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0不共线，故B错误；对于C项，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量.要使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则应有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C项正确；对于D项，当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D项错误.故选：AC.12．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．不存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．对于任意点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离的取值范围为SKIPIF1<0D．对于任意点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是钝角三角形【答案】ABC【解析】由题知，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点，建立以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的正方向的空间直角坐标系SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然方程组无解，所以不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即不存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故A项正确；当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，故B项正确；因为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以点Q到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故C项正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三角形为SKIPIF1<0直角三角形或钝角三角形，故D项错误.

故选：ABC13．（2023·河北·统考模拟预测）点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是正四面体ABCD棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】以SKIPIF1<0为基底，它们两两之间均为SKIPIF1<0，设正四面体ABCD棱长为2，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<014．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为SKIPIF1<0，则其体积为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面ABC的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向的投影的绝对值即为点D到平面ABC的距离SKIPIF1<0，四面体SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0.15．（2023·北京大兴·校考三模）如图，在正方体SKIPIF1<0，中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点.给出下列四个结论:

①存在点SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；②任意点SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；③任意点SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0；④任意点SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.其中所有正确结论的序号是.【答案】①③【解析】对①，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点时，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则根据中位线的性质可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故①正确.

对②，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0不成立，故②错误；对③④，以SKIPIF1<0为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体SKIPIF1<0棱长为1，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故对任意的SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0满足条件，即任意点SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.故③正确；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0上，故④错误.

故答案为：①③16．（2023·全国·模拟预测）已知长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，记直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0之间的大小关系为．（横线上按照从小到大的顺序进行书写）【答案】SKIPIF1<0【解析】

记SKIPIF1<0，如图，以SKIPIF1<0为原点，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.17．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中点.

(1)求三棱锥SKIPIF1<0的体积；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.【解析】（1）因为四边形SKIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中点，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0.（2）取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0两两垂直，故以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴的正方向，建立空间直角坐标系.因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.

因SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中点，则SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.18．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角大小为SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．【解析】（1）在三棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，∴SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为正交基底，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为2的菱形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.【解析】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）底面SKIPIF1<0是边长为2的菱形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如图所示，以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是边长为2的菱形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值SKIPIF1<0.20．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，棱SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0；(2)当正四棱台SKIPIF1<0的体积最大时，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【解析】（1）作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，再作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的四等分点，故SKIPIF1<0也为棱SKIPIF1<0的四等分点，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）易知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的四等分点，所以点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的正上方，所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以该四棱台的体积SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴，过SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．21．（2023·山东潍坊·三模）如图，SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0是圆锥底面的圆心，SKIPIF1<0为底面直径，SKIPIF1<0为底面圆SKIPIF1<0的内接正三角形，且边长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在母线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点．当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大时，求此时点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【解析】（1）如图，设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是底面圆的内接正三角形，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0..

（2）因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（3）易知SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值4，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为1，此时点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大时，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.1．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，当二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点不共线，SKIPIF1<0；（2）在（1）的坐标系下，可设SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由（1）知SKI