2025年高考数学重难点突破训练：数列的综合应用【十二大题型】（含答案及解析）

重难点16数列的综合应用【十二大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1等差、等比数列的交汇问题】..........................................................3

【题型2数列中的数学文化问题1...............................................................................................4

【题型3数列的实际应用问题】.................................................................5

【题型4数列中的不等式恒成立、有解问题】....................................................7

【题型5数列中的不等式证明问题】............................................................8

【题型6子数列问题】.........................................................................9

【题型7数列与函数的交汇问题】..............................................................11

【题型8数列与导数的交汇问题】..............................................................12

【题型9数列与概率统计的交汇问题】.........................................................13

【题型10数列与平面几何的交汇问题】........................................................14

【题型11数列中的结构不良题】...............................................................15

【题型12数列的新定义、新情景问题】........................................................17

►命题规律

1、数列的综合应用

数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情

况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容，以解

答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前"项和

公式等.去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1等差、等比数列的交汇问题的解题策略】

1.等差、等比数列的交汇问题的求解思路：

(1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前〃项和公式求解，求解时注意对

性质的灵活运用.

(2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：

寻找通项公式，利用性质进行转化.

【知识点2数列的数学文化问题】

1.数列的数学文化问题的解题步骤：

(1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意；

(2)构造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型；

(3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前〃项和等，解决问题.

【知识点3数列的新定义、新情景问题】

1.数列的新定义、新情景问题的求解策略

(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的

要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问

题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，

达到灵活解题的目的.

【知识点4数列的综合应用】

1.数列与不等式交汇问题的解题策略

(1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合

法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来

解决.

(2)数列与不等式交汇问题的答题模板

第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式；

第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和；

第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；

第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.

2.数列与函数交汇问题的解题策略

数列与函数综合问题的主要类型及解题策略

(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.

(2)己知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前〃项和公式、求和方

法等对式子化简变形.

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊

性.

3.子数列问题的解题策略

子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规

律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即

项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.

4.数列中结构不良题的解法

(1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析''动”条件，结合题干要求选出最适

合自己解答的条件求解.

(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条

件进行解答.

5.数列的实际应用问题的解题策略

(1)数列的实际应用中的常见模型

①数列一一分期付款模型；

②数列一一产值增长模型；

③数列一一其他模型;

(2)解决数列的实际应用问题的解题思路

①根据题意，分析题干条件，正确确定数列模型；

②利用数列知识求出数列的基本量、通项公式等，准确求解模型;

③通过数列模型解决问题，注意不要忽视问题的实际意义.

►举一反三

【题型1等差、等比数列的交汇问题】

【例1】(2024•四川绵阳三模)已知首项为1的等差数列｛an｝满足：aigg+l成等比数列.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

n

(2)若数列｛“｝满足：arbn+a2bn_1+■■■+=3-l,求数列｛6n｝的前n项和7加

【变式1-1](2023•全国•模拟预测)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为Sn,a1+a2+3a4=25,Ka3+2,

a4,as-2成等比数列.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设b"=an-，3。”+1,求数列｛%｝的前n项和Tn.

【变式1-2](2024•上海奉贤•二模)已知数列｛斯｝和｛砥｝,其中b=2。"，nGN*,数列｛诙+%｝的前几项和

为S“.

(1)若口„=2n,求Sn；

(2)若也｝是各项为正的等比数列，S”=3n,求数列｛an｝和为｝的通项公式.

【变式1-3］（2024•天津•二模）设｛an｝是等差数列，其前n项和Sn,｛bn｝是等比数列,且的=/=3,a4=

b2,S3=15.

⑴求｛an｝与｛6„｝的通项公式;

（3年限5臬禺数，求数列｛cn｝的前2/1项和T2n；

(2)设cn=

I/!-l/Gjl+l

（3）若对于任意的nGN*不等式双与+l）-A（an-l）（n+2）-12<0恒成立，求实数2的取值范围.

【题型2数列中的数学文化问题】

【例2】（2024・陕西安康•模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学

著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加

密、秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列｛an｝单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将

。6"9411分13的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（）

A.1157B.1177C.1155D.1122

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之

（得弦）.”意即“勾”a、“股*与“弦”c之间的关系为。2+匕2=02（其中aWb）.当a,瓦c）N*时,有如下勾

股弦数组序列：（345）,（5,12,13）,（7,24,25）,（9,40,41）,-,则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等

于（）

A.145B.181C.221D.265

【变式2-2］（2024•四川•模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•曼德尔布罗特在20世纪70年

代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照

图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（）

第1行

第2行

第3行

图①图②

A.12B.13C.40D.121

【变式2-3］（2024•陕西汉中•二模）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的

主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中。41=41^2=42^3=…=27^8=L如果

把图2中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为（)

ICME-7

图1图2

n「n2

A.2B.,c-TD.y/n

【题型3数列的实际应用问题】

［例3］（23-24高二下•河南驻马店•期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为a万元，实行分期付款，每

期付款b万元，每期为一个月，共付12次,如果月利率为5%。，每月复利一次，则a,b满足（）

A.12b=aB.12b=a(l+5%o)12

C.12b=a(l+5%o)D.a<12b<a(l+5%o)12

【变式3-1］（2024•山西运城•一模）某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87

%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月的基础上提高4%,产品合格率

比去年12月增加0.4%,计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合

格品数达到最大是今年的（）

A.5月份B.6月份

C.7月份D.8月份

【变式3-2］（2023•湖南郴州•三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念,

对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的

金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点

和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为4每期利率为r,期数为打，到期末的本利和为S,则S=4（l+r）n

s

其中，称为期末的终值，力称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为

SnnSnS4=(l+r)n-

现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案

方案一：一次性付全款25万元;

方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；

(1)已知一年期存款的年利率为23%,试讨论两种方案哪一种更好？

(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第(1))问中

的存款年利率2.5%,预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.(精确到百元)

参考数据：(1+2.5%)1°=1.28

【变式3-3](2023•广东佛山•一模)佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以

最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心

的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方

体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中

间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.

、、一一、

i⑨

⑧

(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列｛/J的通项公式，该数列以33.6为

首项，并使得24和19.2也是该数列的项；

(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前加(me/V*)项

的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2的、

3a2、4a3......(m+l)am((巾+l)am表示高度为(^的方体连续堆叠m+1层的总高度)，请问新堆叠

坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.

【题型4数列中的不等式恒成立、有解问题】

【例4】(2024•湖南长沙•模拟预测)已知数列｛而满足的+：+半+…+中=2n(7ieN*).

⑴求数列｛册｝的通项公式；

(2)已知数列｛g｝满足bn=^7T，

①求数列｛6｝的前n项和7\；

②若不等式(-1)9<Tn+/对任意几£N*恒成立，求实数2的取值范围.

【变式4-1】(2024•广东广州•模拟预测)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,

—2.

(1)求数列｛册｝的通项公式;

(2)若存在九6N*,使得白+白+…++N4a„+i成立，求实数2的取值范围.

、'a2a3/1an+i

【变式4-2](23-24高二下•湖北•期中)已知数列｛七｝的前几项和为分,且满足Sn=2斯-2.数列｛勾｝的前几项

111/1*

和为T”且满足瓦=1,TJT+TJT++k=lF（neN）.

⑴求数列｛陶,｛勾｝的通项公式；

n

(2)若C"=c1n跖设数列｛%｝的前几项和为出，且对任意的neN*,/7n-|n-(-l)?n]an+i<0恒成立，求m的取

值范围.

【变式4-3](2024,重庆•模拟预测)已知。1=万，a九+i=2-(a九—1)(册_]—1)…Q]—1)(几eN*)

(1)证明：当几之2时，an+i=a^-3an+4；

(2)令b九=2—an,

n-1

(i)证明：当nN2时，-1=v〉n士1；

(ii)是否存在正实数租，使得|占-九4TH恒成立，若存在，求血的最小值，若不存在，请说明理由.

\bn

【题型5数列中的不等式证明问题】

【例5】(2024•全国•模拟预测)已知数列｛an｝的前〃项和Sn=2an-n.

⑴求｛an｝的通项公式;

ttj+lC12+1。3+1“+15

(2)证明:------+--------++…+a

a-2a42n4

【变式5-1](2024•河北秦皇岛•二模)己知等比数列｛an｝的前几项和为Sn,且数列｛Sn+2｝是公比为2的等

比数列.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)若仇=，数列｛0｝的前〃项和为7”求证：Tn<i

rl

【变式5-2](2024•全国•模拟预测)已知数列｛an｝满足3-&+3-2a2+...+30n_i+0n=4%n£N*.

(1)求数列的通项公式；

1117

⑵若bn=a,「l,证明：—+—+

【变式5-3](2024・山东•二模)记5„为数列｛%J的前71项和，&2=+/=a“cos近

(1)求。3和｛斯｝的通项公式;

(2)设数列岛J的前n项和为T”证明：

【题型6子数列问题】

【例6】(2024•河南商丘•模拟预测)当ii2,ikGN*,且八<<…<。时，我们把吃,阳，…，气

叫做数列｛an｝的子数列.已知｛斯｝为正项等比数列，且其公比为q(q41).

(1)直接给出k与k的大小关系.

(2)是否存在这样的H，2后满足：兄功用成等比数列，且子数列%以切%也成等比数列？若存在，请写出一组

“-2一3的值;否则，请说明理由.

卜k

(3)若S=%+七？---4m,mCN*),证明：当的=1,qN2时，^2—l<S<am+1.

【变式6-1](2024•北京西城・二模)已知数列4aLg,…,册，从/中选取第。项、第七项、…、第0项

<ik构成数列B:啊,%，…，啊,B称为力的k项子列.记数列B的所有项的和为7(B).当kN2时，若B满足:

对任意se｛l,2,…,k-l｝,is+1-is=l,则称B具有性质P.规定：4的任意一项都是力的1项子列，且具有性

质P.

(1)当n=4时，比较4的具有性质P的子列个数与不具有性质P的子列个数的大小，并说明理由；

(2)已知数列4:1,2,3,…,n(n>2).

(i)给定正整数kW今对4的k项子列B,求所有T(B)的算术平均值；

(ii)若A有ni个不同的具有性质P的子列当,4,…,Bw满足：V1<i<j<m,均与当都有公共项，且公共

项构成4的具有性质P的子列，求机的最大值.

【变式6-2](23-24高二下•安徽•阶段练习)从N*中选取k(k23)个不同的数，按照任意顺序排列，组成数

列｛an｝,称数列｛即｝为N*的子数列，当1W2@/三"寸，把％-七的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构

成数列｛g｝,称数列伯„｝为可*的子二代数列.

(1)若N*的子数列｛an｝(l是首项为2,公比为2的等比数列，求N*的子二代数列｛^｝的前8项

和；

(2)若N*的子数列｛斯｝是递增数列，且子二代数列｛时｝共有k-1项，求证：｛an｝是等差数列；

(3)若k=100,求N*的子二代数列｛入｝的项数的最大值.

【变式6-3](23-24高三上•北京•开学考试)给定正整数后，m,其中如果有限数列｛厮｝同时满

足下列两个条件，则称｛而为(乂㈤-数列.记(乂㈤-数列的项数的最小值为G(/CM).

条件①：｛an｝的每一项都属于集合｛1，2,3,…,k｝；

条件②：从集合口23,…,心中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是｛即｝的子数列.

注：从｛即｝中选取第1项、第均项....第&项(其中九<»2<•••<乙)形成的新数列…，气称为｛斯｝的

一个子数列.

⑴分别判断下面两个数列是否为(3,3)-数列，并说明理由:

数歹风:1,2,3,1,2,3,1,2,3；

数歹!]42：1,2,32,1,3,1；

(2)求证：G(k,2)=2k-1；

⑶求G(4,4)的值.

【题型7数列与函数的交汇问题】

【例7】(2024•青海•模拟预测)已知定义在R上的函数/(%)满足/(x+y)=/(x)/(y)—2/(久)—2/(y)+6,

/(I)=4,则f(1)+f(2)+…+f(99)=()

A.2"+198B.2"+196C.2100+198D.2100+196

【变式7-1](2024・辽宁•二模)设等差数列｛an｝的前〃项和为5„，点(XSQOeN*)在函数/(%)=4尤2

+Bx+C(AB,CeR)的图象上，贝U()

A.C°=lB.若4=0,贝归noCN*,使5„最大

C.若4>0,则mn°eN*,使5„最大D.若力<0,则m^eN*,使S.最大

【变式7-2](2024•上海•模拟预测)已知/(久)=*2+k，数列｛an｝的前几项和为Sn,点(n,Sn)(neN*)均在

函数y=/(%)的图象上.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若9")=昌，令bn=gQ^J(>eN*),求数列｛%｝的前2024项和72024.

【变式7-3](2024•广东•一模)已知数列｛a九｝的前〃项和为右,〃为正整数，且3(S九一)i)=4(a九一2).

(1)求证数歹U｛册-1｝是等比数列，并求数列｛册｝的通项公式；

(2)若点P(an—1,空)在函数y=10g4久的图象上，且数列｛%｝满足Cn=(一1严+1悬求数列｛%｝的前n项和

Tn-

【题型8数列与导数的交汇问题】

【例8】(2024•全国•模拟预测)设整数p>l,久>-1且久70,函数/'(久)=(1+久)P-px-1.

(1)证明:/(x)>0；

(2)设x>O证明：ln(l+x)<x；

111

(3)设neN*,证明：l+25+3E+--+疝<27iTn(n+l).

【变式8-1](2024•广东东莞•三模)已知常数meR,设/(x)=lnx+£,

(1)若m=l,求函数y=/O)在(1,1)处的切线方程；

(2)是否存在0<巧<冷<%3，且“132,久3依次成等比数列，使得/(久D、/(%2)>人4)依次成等差数列？请说

明理由.

(3)求证：当爪<。时，对任意乂1,久2e(0,+oo),%!<%2>都有

【变式8-2](2024•山西•一模)已知a>0,且a力1,函数/(久)=a*+ln(l+%)-1.

(1)记an=/(n)Tn(n+1)+7?,5)!为数列｛an｝的前n项和.证明：当。=£时，S64<2024；

(2)若a=：,证明：%/(%)>0；

(3)若/(久)有3个零点，求实数a的取值范围.

【变式8-3](2024•安徽蚌埠•模拟预测)已知函数/(无)=ln(x+l),g(x)=嬴，其中a21.

(1)若a=l,证明：x>0时，f(x)<2g(：+i)；

(2)若函数/(x)=/(x)-g(x)在其定义域内单调递增，求实数a的值;

M〔e九3

(3)已知数列｛&J的通项公式为an=；^而，求证：an>an+i>G.

【题型9数列与概率统计的交汇问题】

【例9】(2024•黑龙江•二模)某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为从第二题开始，若

甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；；若前一题答对，则此题答对的概率为《记甲同学回答第九题时答

错的概率为Pn,当律22时，恒成立，则M的最小值为()

A也B—C-D-

八，132a132J66U.66

【变式9-1](2024•山东荷泽・一模)若数列｛即｝的通项公式为即=(一1严-力，记在数列｛an｝的前几+2(neN*)

项中任取两数都是正数的概率为Pn，则()

2

A.=-B.Pg<PioC.Pj,0<PllD.P11<P12

【变式9-2](2024•广东广州•模拟预测)甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体

骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将球

保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4,则乙将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传

给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始

时，球在甲手中.

(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；

(2)投掷n(neN*)次骰子后，记球在乙手中的概率为p”求数列｛pn｝的通项公式；

14

(3)设an=(_2)"p“.p"+j求证：+a2+■■■+an<

【变式9-3](2024•全国•模拟预测)甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3

张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，

去与对方交换，重复几次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片今张，恰有2张银色纪念卡片的概率为pn,恰

有1张银色纪念卡片的概率为qn.

⑴求P2,</2的值.

(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率p.

(3)记an=2pn+qn.

(i)证明数歹U｛an-1｝为等比数列，并求出｛册｝的通项公式.

(ii)求马的分布列及数学期望.(用九表示)

【题型10数列与平面几何的交汇问题】

【例10】(23-24高三下•全国•阶段练习)已知等比数列｛斯｝的公比为q，前n项和为Sn,an>0,2a2+a3=

。4，S5=4。4—1.

(1)求册.

(2)在平面直角坐标系式。了中，设点=1,2,3…)，直线(2立狂1的斜率为小，且历=1,求数列｛既｝

的通项公式.

【变式10-1](2024•四川达州•二模)已知抛物线「铲=2PMp>0),直线=k(x—p)与「交于48两点,

线段43中点=2.

（I）求抛物线r的方程；

（2）直线I与x轴交于点C,。为原点，设△BOC,△COM,△M04的面积分另ij为SABOC,SMOM,S^MO4,若S溷OC,

SZXCOM’S^MOA成等差数列,求k.

【变式10-2】（2024•安徽合肥•二模）已知｛即｝是各项均为正数的等比数列，且的+&2=3,a3-a2=2,

（1）求数列｛an｝,｛6n｝的通项公式；

（2）如图在平面直角坐标系中，点Pi（ai，0）,P2（a2,0）,...Pn（an,0）,Pn+1（an+1,0）,

Ql（a逆1），（?2（。2力2），…，Qn（an，6n），若记△「nQ/n+l的面积为“，求数列｛4｝的前。项和Tn.

【变式10-3】（2024•四川内江•模拟预测）已知椭圆C*+，=l（a>6>0）,点P是椭圆上的动点，尸1，F2是

左、右焦点，G是△PF*2的重心，且G到点M（-go）与点NQ,0）的距离之和为*

（1）求椭圆C的方程；

⑵若直线/过点P（4,0）,与椭圆交于4,8两点.若MP|,|2B|,18Pl成等比数列，求COSNAFZB的值.

【题型11数列中的结构不良题】

【例11】(24-25高二上•全国•课后作业)已知｛a“｝是等差数列，其前〃项和为Sn,a4=-3,再从条件①:

S4=-24；条件②：的=2ci3.这两个条件中选择一个作为已知，求：

⑴数列｛斯｝的通项公式;

(2)Sn的最小值，并求当5„取得最小值时"的值.

【变式11-1】(2024•青海西宁・二模)已知数列｛an｝,.请从下列两个条件中任选一个，补

充在上面的问题中并解答.(注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.)①数列｛即｝的前几项和为%=2an

n(n+l')

-2(neN*)；②数列｛an｝的前n项之积为2n=2k(neN*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)令b"=<2„+log2an,求数列｛bn｝的前n项和7人

【变式11-2](2024•四川德阳•三模)已知｛an｝是等差数列，｛%｝是等比数列，且｛既｝的前n项和为Sn,2al=

历=2,a5-5(a4-a3),在①既=无源-既)，②bn+i=+2这两个条件中任选其中一个，完成下面问题

的解答.

(1)求数列｛册｝和｛g｝的通项公式；

(2)设数歹!j｛$｝的前几项和为Tn,求7v

【变式11-3](23-24高二下•北京怀柔・期末)己知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且(14==18.

(1)求等差数列｛斯｝的通项公式；

(2)若各项均为正数的数列｛g｝其前几项和为7“，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

已知，设Cn=an+bn，求数列｛g｝的通项公式和数列｛0｝的前n项和

n

条件①：Tn=3-1；

条件②：历=2,铲=3；

un

条件③：Vn22且neZ都有球=6„_1•%+1成立，/=2力3=53.

【题型12数列的新定义、新情景问题】

【例12】(2024•河北张家口•二模)如果项数相同的数列｛an｝,也｝满足｛即｝U｛bn｝=｛1,2,3,…,2n｝,且i为奇

数时，出〈如i为偶数时，见>如其中E6｛1,2,3,…用，那么就称｛即｝,出„｝为“互补交叉数列”，记(黑：固:任)

为｛an｝,｛匕｝的“互补交叉数列对”,5„为｛即｝的前n项和.

(1)若｛an｝U｛bn｝=｛123,4,5,6｝,且的=5,写出所有满足条件的“互补交叉数列对"；

(2)当｛an｝,｛砥｝为“互补交叉数列”时，

(i)证明：Sn取最大值时，存在%=2n；

(ii)当n为偶数时，求目的最大值.

【变式12-1](2024•浙江•模拟预测)已知正整数小，设的，a2,a2m,b2,久优是4nl个非负

2m12m

at-/团>0.若对于任意i=1,2,…,2m,^.a2m+i-«i-a=<22»b2m+1-blt都

Zi=l=i=l2m+2

有am+2>bi+bi+1,则称这痴个数构成(S,m)—李生数组.

(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成(8,2)—挛生数组；

(2)求最小的S,使得的,a2,a6,bi，b2,以构成(S,3)—挛生数组；

（3）若m24,且ai，a2,a2m,bltb2,历皿构成（16即）一享生数组，求a9=1,2,…,2m）的最大

值.

参考公式：（i）01+乂2+%3）223（尤1%2+%2刀3+%3乂1），当且仅当久1=X2=刀3时取等；（过）当正偶数九24

时，设n=2k（kGN*）,有万62+久F/久iW（久1+久3+…+乂2上-1）。2+血+…+久2。；当正奇数n>4

时，设几=2k+l（keN*）,有％1工2+%2右+…+X/l<Qi+刀3+…+*2k+l）（刀2+无4+…+*2k）.

【变式12-2】（2024•安徽芜湖・模拟预测）对于数列｛册｝,｛%｝,如果存在正整数当任意正整数nW沏

时均有历<a1<b2<a2<...<an_i<bn<an,则称｛a“｝为｛6„｝的“沏项递增相伴数列”.若劭可取任意的正

整数，则称｛an｝为｛%｝的“无限递增相伴数列”.

⑴已知6n=2%请写出一个数例］｛%｝的“无限递增相伴数列｛an｝”,并说明理由？

⑵若5｝,｛3｝满足斯+0=6n-2,其中也｝是首项必=1的等差数列，当｛即｝为｛3｝的“无限递增相伴数列”

时，求｛即｝的通项公式：

（3）已知等差数列｛入｝和正整数等比数列｛斯｝满足：an=k2024f（上+i）n-i（n=1,2，…,2024）,其中人是正整

数，求证：存在正整数上使得｛即｝为Wn｝的“2024项递增相伴数列”.

【变式12-3】（2024•新疆•二模）我们把满足下列条件的数列｛斯｝称为爪-小数列：

①数列｛an｝的每一项都是正偶数；

②存在正奇数加，使得数列｛七｝的每一项除以m所得的商都不是正偶数.

（1）若a,b,c是公差为2的等差数列，求证：a,6,c不是3-L数列；

（2）若数列｛图｝满足对任意正整数p,q,恒有bp+q=g+0%%,且外=8,判断数列囹是否是7T数列,

并证明你的结论；

（3）已知各项均为正数的数列｛cn｝共有100项，且对任意lWnWIOO,恒有q+c2+••♦+4=

皆+以~|--1■琮

fc4+fcc3+fcc3+...+fcc3+k2（fc£N*）,若数列｛4｝为111-乙数列，求满足条件的所有两位数左值的和.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•内蒙古包头•三模）设方为等差数列｛七｝的前"项和，若S5=4ai，的>0,则使S">an的"的最

大值为（）

A.11B.12C.20D.21

2.（2024・山东范泽•二模）已知｛总是等差数列，的=3,44=12,在数列｛"｝中比=4力4=20,若也f｝

是等比数列，贝必2024的值为（）

A.6072B.22023

C.22023+6072D.22023—6072

3.（2024・四川•模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等

差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差

构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1,4,8,13,则该数列的第18项为（）

A.188B.208C.229D.251

4.（2024•青海西宁,一■模）等差数列｛an｝中的。2，。2024是函数f（%）=+轨-2024的极值点，则Iog2（iioi3

=（）

A.-B.1C.-1D.——

5.（2024・全国•二模）数列｛即｝的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，Sn是数列｛an｝的前n项和，血

=3,a2—2,a3—a4,S4=7,贝！|（）

e

A.a2k<«2fc+iAN*,且k22

B.当？i25,且N*时，数列｛册｝是递减数列

D.Si°o<9

11

6.（2024・全国•模拟预测）已知n€N*,即=熹，^=（n+1）2_1，数列｛斯｝与数列｛bn｝的公共项按从大到

小的顺序排列组成一个新数列｛4｝,则数列｛4｝的前99项和为（）

A竺B—r—D—

八，197199口.197199

7.（2024•湖北•二模）已知等差数列的前〃项和为S”且5„=泳+小，neN*,若对于任意的ae[0,1],

不等式号<%2-（1+a）x-2a2-a+2恒成立，则实数x可能为（）

A.-2B.0C.1D.2

8.（2024•内蒙古赤峰•三模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法

是：从第一个正三角形（边长为1）巳开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外

作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设尼的周长和面

积分别为4、S",下列结论正确的是（）

▲Pl*PlP3^0P4^

①尸5的边数为3x44;

②必=3x；

③｛段｝既不是等差数列，也不是等比数列；

④mN>O,Sn<N

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、多选题

9.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款,

月利率0.3%,分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金

平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款

期数，另一部分是利息，即贷款本金与己还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额

的本息和，利息以复利计算.下列说法正确的是（）

A.等额本金方案，所有的利息和为2340元

B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元

C.等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列

D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案

10.（2024・吉林•模拟预测）已知在公差不为。的等差数列｛的J中，。4=-545是与的等比中项，数列｛入｝

的前n项和为Sn,且0=不；，贝!1（）

—+1

A.an=2n—13B.VnGN*,bn>—1

c.Sn=-4-£D.VneN*,S6<Sn<S5

11.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知数列｛%J，其前〃项和为治，若存在常数M>0,对任意的neN*,恒

有+\un-un-l\++贝！|称也„｝为8-数列.则下列说法正确的是（）

A.若也„｝是以1为首项，式|q|<l）为公比的等比数列，则也„｝为8-数列

B.若｛an｝为B—数列，则｛S,｝也为B—数列

C.若｛S"为B-数列，则｛a„｝也为B-数列

D.若｛an｝,｛g｝均为B—数列，则｛an•bn｝也为B—数列

三、填空题

12.（2024・河北•模拟预测）己知数列｛an｝是公差为d的等差数列，各项不等的数列出„｝是首项为2,公比为

q的等比数列，且珈2=匕，的3=勿，则d-q=.

13.（2024•河南驻马店•二模）定义：对于函数/（X）和数列｛孙｝，若Qn+1—修）广（今）+/（%）=0,则称数列

｛X„｝具有»（久）函数性质”.已知二次函数/（%）图象的最低点为（0,-4）,且f（x+1）=〃>）+2久+1,若数列｛f｝

具有“/（%）函数性质”，且首项为1的数列｛an｝满足an=ln（xn+2）-ln（xn-2）,记｛斯｝的前几项和为Sn，则数

列,•仁―5）卜勺最小值为.

14.（2024•江苏扬州•模拟预测）对于有穷数列｛即｝，从数列｛即｝中选取第八项、第项、…、第〃项

G1<i2<•••<几），顺次排列构成数列｛法｝，其中以=aik,l<k<m,则称新数列｛勾｝为｛斯｝的一个子歹上称｛%｝

各项之和为｛an｝的一个子列和.规定：数列｛an｝的任意一项都是｛斯｝的子列.则数列1,2,4,8,16,32的所有子列

和的和为.

四、解答题

1

15.（2024・湖南•模拟预测）已知数列｛a“｝的前n项和为Sw3Sn+i=Sn+l"2=w，正项等差数列｛g｝满足外

=2,且历,加一1力3成等比数列.

⑴求｛%｝和也｝的通项公式；

3

(2)证明:abl+ab2H---卜abn<—

16.(2024•江苏无锡•二模)已知正项数列｛a九｝的前71项和为外,满足2s九二咸+。九-2.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)设bn=券,%为数列｛g｝的前几项和.若1＜曳詈对任意的几£N*恒成立，求k的取值范围.

17.(2024・四川凉山•三模)如图，点4(ieN*)均在x轴的正半轴上，△。4/1，/\A1A2B2...,△An_rBn

Cn分别是以a~a2,an(neN*)为边长的等边三角形，且顶点eN*)均在函数y=日的图象上.

0aMi卷出的A3x

(1)求ai，a2,CI3的值，并写出｛an｝的通项公式(不用证明)；

(2)求数列的前n项和Tn.

18.(2024•广西南宁•三模)夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同

学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是|,若前一天选择绿豆汤，后一

天继续选择绿豆汤的概率为，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为今如此往复.

(1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率;

(2)记该同学第n天选择绿豆汤的概率为P”证明：上„_卦为等比数列；

(3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数.

19.(2024・河南・三模)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,若存在常数;1(2>0),使得久即2S“+i对任意neN*

都成立，则称数列国„｝具有性质PQ).

(1)若数列｛an｝为等差数列，且S3=—9,S5=—25,求证：数列｛册｝具有性质P(3)；

(2)设数列｛即｝的各项均为正数，且｛即｝具有性质P(4).

①若数列｛an｝是公比为q的等比数列，且4=4,求q的值；

②求2的最小值.

重难点16数列的综合应用【十二大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1等差、等比数列的交汇问题】..........................................................3

【题型2数列中的数学文化问题1...............................................................................................6

【题型3数列的实际应用问题】.................................................................9

【题型4数列中的不等式恒成立、有解问题】...................................................13

【题型5数列中的不等式证明问题】................................