2025年高考数学重难点突破训练：立体几何中的截面、交线问题【七大题型】（含答案及解析）

重难点19立体几何中的截面、交线问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1截面作图】...........................................................................2

【题型2截面图形的形状判断】................................................................4

【题型3截面图形的周长或面积问题】..........................................................5

【题型4球的截面问题】.......................................................................6

【题型5截面切割几何体的体积、表面积问题】..................................................6

【题型6交线长度、轨迹问题】.................................................................7

【题型7截面的范围与最值问题】..............................................................8

►命题规律

1、立体几何中的截面、交线问题

“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素,

给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面

积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

►方法技巧总结

【知识点1立体几何中的截面问题】

1.作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找

交线的过程.

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直

线的平行线找到几何体与截面的交线.

2.球的截面

(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：d=.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为尺，以。，为圆心的截面的半径

为r,。。'=4则在必△00C中，^OC2=O'C2+OO'2,^R2=r2+d2.

【知识点2立体几何中的截面、交线问题的解题策略】

1.立体几何截面问题的求解方法

(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.

(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关

线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.

2.截面、交线问题的解题策略

(1)作截面应遵循的三个原则：

①在同一平面上的两点可引直线；

②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

(2)作交线的方法有如下两种：

①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

►举一反三

【题型1截面作图】

【例1】(2024•河南新乡三模)在如图所示的几何体中，DE\\AC,2C1平面BCD,AC=2DE=4,

BC=2,DC=1,/.BCD=60°.

(2)过点。作一平行于平面ABE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面&BE之间的几何

体的体积.

【变式1-1］（2024高一下•广东佛山・竞赛）如图，在正方体/BCD-4$iCi必中，鼻尸分别为棱/8、51的

中点.

（1）请在正方体的表面完整作出过点E、F、Di的截面.（只需写出作图过程，不用证明）

（2）请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.

【变式1-2］（2023•贵州・模拟预测）矩形N8C。中，4B==1（如图1）,将△口4c沿NC折到△小

2C的位置，点在平面N8C上的射影E在48边上，连结（如图2）.

（1）证明：4D11BC；

（2）过的平面与8c平行，作出该平面截三棱锥D1-4BC所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱锥所得

两部分的体积分别为ViM2Ml＜匕，求费.

【变式1-3］（23-24高一下•河北廊坊•阶段练习）如图正方体力BCD-a/iCiDi的棱长为2,E是线段4公的

中点，平面a过点。1、C、E.

（1）画出平面a截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；

⑵求（1）中截面多边形的面积；

（3）平面a截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值.

【题型2截面图形的形状判断】

【例2】（2024•四川达州•二模）如图，在正方体48CD-48心。1中，E为4B中点，P为线段的以上一动点,

过O,E,P的平面截正方体的截面图形不可能是（）

A.三角形B.矩形C.梯形D.菱形

【变式2-1］（2024•河南•模拟预测）在正方体48CD-4避1的£）1中，M,N分别为的小的中点，过

M,N,%三点的平面截正方体48CD-所得的截面形状为（）

A.六边形B,五边形C.四边形D.三角形

【变式2-2］（2024•全国•模拟预测）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底

面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）

(1)(2)(3)(4)(5)

A.(2)(5)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(5)

【变式2-3］（2024•江西•模拟预测）已知在长方体ABCD-Ai/CiDi中，AB=BB］=2BC,点、P,Q,T分

别在棱BBi，CCi和2B上，且&P=3BP,CQ=3C1Q,BT=3AT,则平面PQT截长方体所得的截面形状为

（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【题型3截面图形的周长或面积问题】

【例3】（2024•云南曲靖•模拟预测）正方体A8CD-&当的小外接球的体积为4例，E、F、G分别为棱4公

、4/1、的中点，则平面EFG截球的截面面积为（）

A.YB.yC.yD.J

【变式3-1］（2024•全国•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体4BCD-41B1C1D1中，£为棱8c的中点，

用过点公,E,G的平面截正方体，则截面周长为（）

C.2V2+2V5D.3V2+2V3

【变式3-2］（2024•江苏南通•二模）在棱长为2的正方体48CD-4道1的。1中，P,Q,R分别为棱BC,CD,

CM的中点，平面PQR截正方体4BCD-外接球所得的截面面积为（）

A.（TTB.|lTC.yTTD.空Tt

【变式3-3］（2024•内蒙古呼和浩特•一模）己知正方体48。。-4/1（7山1的棱长为4,“为棱OC的中点，N为

侧面8Q的中心，过点M的平面a垂直于DN,则平面a截正方体4的所得的截面面积为（）

A.4(V5+V2)B.2V3

C.5V3D.4>/6

【题型4球的截面问题】

【例4】（2024•四川资阳・二模）已知球。的体积为饕，点N到球心。的距离为3,则过点/的平面a被

球。所截的截面面积的最小值是（）

A.9ITB.12nC.16irD.20n

【变式4-1］（2024・四川自贡•三模）已知球O半径为4,圆。1与圆。2为球体的两个截面圆，它们的公共弦

长为4若|。。1|=3,|。。2|=遍，则两截面圆的圆心距|。1。2|=（）

A.V3B.竽C.3+V3D.2V3

【变式4-2］（2024•陕西榆林•一模）已知H是球。的直径48上一点，AH-.HB=1-.2,1平面a,H为垂足,

a截球。所得截面的面积为n,M为a上的一点，且=斗，过点M作球。的截面，则所得的截面面积最小的

圆的半径为（）

孚军半年

2442

【变式4-3］（2024•广东广州•模拟预测）如图所示，某同学制作了一个工艺品.该工艺品可以看成是一个球

被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）.若其中一截面圆的周长

为4it,则球的体积为（）

AB80西71c160V^TID200v

*3333

【题型5截面切割几何体的体积、表面积问题】

【例5】（2024•安徽蚌埠•模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为4cm和6cm,AAltB以为圆

台的两条母线，截面48811与下底面所成的夹角大小为60。，且。01劣弧力1瓦的弧长为等cm,则三棱台

4B。-&B1O1的体积为（）

A.ycm3B.10V3cm3C.19cm3D.20V3cm3

【变式5・1】（2024•上海普陀・二模）若一个圆锥的体积为雪，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到

的截面三角形的顶角为9则该圆锥的侧面积为（）

A.V2TTB.2TTC.2V2irD.4伍

【变式5-2］（2024•河南开封•二模）已知经过圆锥S。的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥

SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是

)

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【变式5-3］（2024•江西赣州•一模）在棱长为1的正方体力BCD-4再停1。1中，E为棱4D的中点，过比且

平行于平面4BE的平面截正方体所得截面面积为（）

A.乎B.|C.V6D.2V6

【题型6交线长度、轨迹问题】

【例6】（2025•广东广州•模拟预测）在正六棱柱4BCDEF-公当的小电乙中，AAi=2AB=6,。为棱4必

的中点，以。为球心，6为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（）

A.（3+V3）nB.（6+V3）nC.（3+2遮）nD.（6+2何rt

【变式6-1］（2023•河南•模拟预测）如图，在三棱锥4-8CD中，AB/C/D两两垂直，且

AB=AC=AD=3,以4为球心，逐为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为（）

D

B

A.2V3nB.V3nC.学D.亨

【变式6-2］（2024•全国•模拟预测）已知正四棱锥P-4BCD的体积为殍，底面4BCD的四个顶点在经过球

心的截面圆上，顶点P在球。的球面上，点E为底面4BCD上一动点，PE与P。所成角为也则点E的轨迹长度

为（）

A.V2nB.4伍C.亨D.孚it

【变式6-3］（2024・河南•二模）已知四面体力BCD的各个面均为全等的等腰三角形，且C4=CB=248=4.

设E为空间内一点，且4B,C,D,E五点在同一个球面上，若45=2K，则点E的轨迹长度为（）

A.HB.2irC.3KD.4n

【题型7截面的范围与最值问题】

【例7】（2024•江苏南京•模拟预测）已知SOi=2,底面半径。遇=4的圆锥内接于球。，则经过S和。〃中

点的平面截球。所得截面面积的最小值为（）

A.为25B.2引5C.2为5D.5ir

ZJ4

【变式7-1］（2024•重庆渝中•模拟预测）在三棱锥P—ABC中，AC=BC=PC=2,且2C，BC,PC1平面

ABC,过点P作截面分别交力C,BC于点E,F,且二面角P-EF-C的平面角为60。，则所得截面PEF的面积最小值

为（）

A.-B.-C.-D.1

【变式7-2］（2024・四川•模拟预测）设正方体4BCD-&B1C1D1的棱长为1,与直线4C垂直的平面a截该

正方体所得的截面多边形为M,则M的面积的最大值为（）

A.1V3B.|V3C.亨D.V3

【变式7-3］（2024・四川•一模）设正方体2BCD-4/停1。1的棱长为1,与直线4传垂直的平面a截该正方

体所得的截面多边形为则下列结论正确的是（）.

A.“必为三角形B.“可以是四边形

C.M的周长没有最大值D."的面积存在最大值

►过关测试

一、单选题

1.（2024・河北•模拟预测）过圆锥P。高的中点。作平行于底面的截面，则截面分圆锥P。上部分圆锥与下部

分圆台体积比为（）

A.-B.-c.gD.-

2.（2024•全国•模拟预测）已知正方体ABC。-Ai/CiDi中，点E是线段上靠近/的三等分点，点F是线

段。1G上靠近"的三等分点，则平面/£?截正方体力BCD-&B1C1D1形成的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）已知正三棱锥A-BCD的外接球是球0,正三棱锥底边BC=3,侧棱4B=2

四，点E在线段BD上，且BE=DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的最大值是（）

97T

A.2nB.TC.3TTD.4n

4.（2024•广东江门•模拟预测）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一

个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时

间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚.时钟问世之后，沙

漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠.经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡

灯便是一个15分钟的计时器.它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的

灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖.就这样，宁静的夜晚，听着沙

粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样

的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为10cm,沙漏的高（下底面圆心的距离）为8cm,通过圆锥的顶点作沙漏

截面，则截面面积最大为（）

A.40cm2B.41cm2C.42cm2D.43cm2

5.（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在正方体48CD—4止停1。1中，E,尸分别为棱4B/D的中点，过

三点作该正方体的截面，则（）

A.该截面是四边形

B.&C_L平面QEF

C.平面4当。1〃平面CiEF

D.该截面与棱BBi的交点是棱BBi的一个三等分点

6.（2024•河南•模拟预测）如图，已知直三棱柱48。一4再停1的体积为4,ACVBC,AC=BC=CJ,D为

当C1的中点，£为线段NC上的动点（含端点），则平面截直三棱柱4BC-4道I。所得的截面面积的

C（4目D•罔

7.（2024・全国•模拟预测）在正方体4BCD-4iBiCiDi中，E,厂分别为棱力1巳，。小的中点，过直线所

的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为s,最大值为S,贝哈=（）

A.苧B.|C.等D.1

8.（2024•山东枣庄•一模）在侧棱长为2的正三棱锥2-BCD中，点E为线段BC上一点，RAD1AE,贝I」以4

为球心，鱼为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（）

A.9B.V2itC.哗1D.3伍

42

二、多选题

9.（2024・全国•模拟预测）在三棱锥P-4BC中，△4BC与△PAC是全等的等腰直角三角形，平面P4C，平

面4BC/C=2,D为线段4C的中点.过点。作平面截该三棱锥的外接球所得的截面面积可能是（）

A.nB.2irC.4nD.5ir

10.（2024•浙江杭州•模拟预测）已知正四面体P-2BC,过点P的平面将四面体的体积平分，则下列命题正

确的是（）

A.截面一定是锐角三角形B.截面可以是等边三角形

C.截面可能为直角三角形D.截面为等腰三角形的有6个

11.（2024•湖北荆州•三模）如图，正八面体E-4BCD-尸棱长为2.下列说法正确的是（）

A.BE〃平面ADF

B.当尸为棱EC的中点时，正八面体表面从尸点到尸点的最短距离为V7

C.若点尸为棱口上的动点，则三棱锥F-4DP的体积为定值9

D.以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为竺争

三、填空题

12.（2024•陕西咸阳・模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体4BCD中，M,N分别为棱力D,BC的中点，。

为线段MN的中点，球。的表面与线段4。相切于点M,则球。被正四面体A8CD表面截得的截面周长为.

C

13.（2024・山东日照•一模）已知正四棱锥S—4BCD的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直

于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形"，则”的边数至多为,"的面积的最大值为.

s

E

//---------\一一一

/八\7

Z/zz\/\/

AB

14.（2024•陕西安康•模拟预测）在棱长为1的正方体4BCD-4iBiCiDi中，过面对角线在外的平面记为a,

以下四个命题：

①存在平面a,使BiCla;

②若平面a与平面BBiQC的交线为Z,则存在直线1,使1〃8。；

③若平面a截正方体所得的截面为三角形，则该截面三角形面积的最大值为乎;

4

④若平面a过点Bi，点P在线段BQ上运动，则点P到平面ADiBi的距离为日.

其中真命题的序号为.

四、解答题

15.（2024・陕西榆林•三模）如图是一个半圆柱，DC/B分别是上、下底面圆的直径，。为4B的中点，且

4B=4D=2,E是半圆而上任一点（不与重合）.

（1）证明：平面DEAJ.平面CEB,并在图中画出平面。瓦4与平面CEB的交线（不用证明）；

（2）若点E满足。£=孚眄空间中一点P满足5?=2而，求三棱锥。—EOP的体积.

16.(2024•广西河池•模拟预测)已知四棱锥P—48C。中，底面A8CD为直角梯形，平面48CD,AD\\

BC,ABLAD,PA=AD^4,BA=BC=2,M为P4中点，过C,D,"的平面截四棱锥P—28CD所得的截

面为a.

(1)若a与棱PB交于点3画出截面a,保留作图痕迹(不用说明理由)，并证明言=3.

⑵求多面体4BCDMF的体积.

17.(2024•江西萍乡•三模)如图，在直角梯形28CD中，AB〃CD,乙DAB=90°,AD=DC、1B=1.以48所

在直线为轴，将4BCD向上旋转得到4BEF,使平面4BEF，平面4BCD

(1)证明：DF〃平面BCE；

(2)若P为线段48上一点，且BP=2AP,截面PEC将多面体EF-2BCD分成左右两部分的体积分别为七〃2,

18.(2024•内蒙古赤峰•一模)已知正方体4BCD—棱长为2.

(1)求证：A1C1B1D1.

(2)若平面a//平面2当。1，且平面a与正方体的棱相交,当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形(不

必说出画法和理由)，并求出截面面积的最大值.

⑶已知平面a//平面43必，设平面a与正方体的棱力B、交于点E、F、G,当截面EFG的面积最

大时，求点尸到平面EGC的距离.

19.(23-24高三上•河北•期末)如图①，在△28C中，BC=4/8=VlWcosB=等,分别为8C/C的中

点，以DE为折痕，将△DCE折起，使点C到达点心的位置，且8g=2,如图②.

①②

(1)设平面4DC1C平面BEC1=2,证明：11平面4BC1；

(2)P是棱的。的中点，过P,B,E三点作该四棱锥的截面，与的4交于点Q,求余;

(3)P是棱CiD上一点(不含端点)，过P,B,E三点作该四棱锥的截面与平面BECi所成的锐二面角的正切值为

李，求该截面将四棱锥分成上、下两部分的体积之比.

重难点19立体几何中的截面、交线问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1截面作图】...........................................................................2

【题型2截面图形的形状判断】.................................................................7

【题型3截面图形的周长或面积问题】.........................................................12

【题型4球的截面问题】......................................................................16

【题型5截面切割几何体的体积、表面积问题】.................................................18

【题型6交线长度、轨迹问题】...............................................................21

【题型7截面的范围与最值问题】.............................................................25

►命题规律

1、立体几何中的截面、交线问题

“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素,

给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面

积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

►方法技巧总结

【知识点1立体几何中的截面问题】

1.作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找

交线的过程.

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直

线的平行线找到几何体与截面的交线.

2.球的截面

(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：d=.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为尺，以。，为圆心的截面的半径

为r,。。'=4则在必△00C中，^OC2=O'C2+OO'2,^R2=r2+d2.

【知识点2立体几何中的截面、交线问题的解题策略】

1.立体几何截面问题的求解方法

(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.

(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关

线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.

2.截面、交线问题的解题策略

(1)作截面应遵循的三个原则：

①在同一平面上的两点可引直线；

②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

(2)作交线的方法有如下两种：

①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

►举一反三

【题型1截面作图】

【例1】(2024•河南新乡三模)在如图所示的几何体中，DE\\AC,2C1平面BCD,AC=2DE=4,

BC=2,DC=1,/.BCD=60°.

(2)过点。作一平行于平面ABE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面2BE之间的几何

体的体积.

【解题思路】分析(1)由余弦定理结合勾股定理可证明BD1CD,利用线面垂直的性质可证明AC1BD,由

线面垂直的判定定理可得BD1平面4CDE；(2)取4C的中点F,BC的中点M,连接。截面DFM

即为所求，由(1)可知，BD1平面4CDE,FCL平面CDM,由“分割法”利用棱锥的体积公式可得结果.

【解答过程】（1）证明：在ZBCD中，BD2=22+1-2x1x2cos60°=3.

所以BC2=B£>2+DC2,所以/BCD为直角三角形，BD1CD.

又因为4C_L平面BCD,所以AC1BO.

而力CflCD=C,所以BD1平面4CDE.

（2）取AC的中点F,8c的中点M,连接平面DFM即为所求.

理由如下：

因为DE||aC,DE=AF,所以四边形4EDF为平行四边形，所以DFIIAE,从而DFII平面ABE,

同理可证FMII平面48E.

因为FMCDF=F,所以平面DFM||平面4BE.

由（1）可知，BD1平面4CDE,FC1平面CDM.

因为UB-ACDE=gx（2+：）1xV3=V3,

VF-CDM=|X（^y-sin600）x2=吗

所以，所求几何体的体积了=四-哼=般.

66

【变式1-1］（2024高一下•广东佛山・竞赛）如图，在正方体4BCD-&B1C1D1中，E、F分别为棱4B、Cg的

（1）请在正方体的表面完整作出过点E、F、Di的截面.（只需写出作图过程，不用证明）

（2）请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.

【解题思路】（1）根据截面定义作图即可；

（2）利用图形分割即可求出体积之比.

【解答过程】（1）连接小尸并延长交CD于/,连接/E并延长交BC于"，DA于J,连接/必交441于G,

(2)连接DE,£»iE,EC,EF,如图,

设正方体的棱长为1,

则？E-4DD1G=布UE-CDD#=F-EHC=去，于是，2=笳'

因此截面上下两部分的体积之比为

【变式1-2］（2023・贵州•模拟预测）矩形中，=1（如图1）,将△047沿/C折到△小

AC的位置，点在平面48c上的射影E在N8边上，连结小B（如图2）.

（1）证明：4D11BC；

（2）过0止的平面与8C平行，作出该平面截三棱锥外-力BC所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱锥所得

两部分的体积分别为2Ml＜匕，求费.

【解题思路】（1）利用线面垂直的性质定理证明线线垂直；

（2）根据三角形的等面积法求出DiE的长度，再根据勾股定理求出4E长度，进而确定AE=,即可确定

所求截面，利用锥体体积公式求解.

【解答过程】（1）因为平面4BC,BCu平面4BC,所以DiELBC,

且由翻折关系可知BC1AB,

且。亚C=EQiE/Bu平面

所以BC1平面小4B,

又因为u平面D14B,所以ZCilBC.

（2）由（1）可知，BC1平面D14B,

又因为叫u平面所以BDilBC.

且BC=4。=1,。传=DC=AB=於,

所以。止=73-1=V2,

2

且014=1,AB=遍,所以4B2=DrA+DiB2,所以41%B,

所以x%E=扣Mx解得。止=。嘘==苧，

所以4E=JD遇2一。1E2=孚,所以4E=/B,

所以取4c的三等分点为尸，且49=累配

连接EF,DiF,

则有BC||EF,BCC平面DiE凡EFu平面。止£

所以8C||平面。所以所作截面为平面。亚£

因为△力EF,△4BC的相似比为1:3,

所以#=3,所以守=5，

3&4BCS*、EFCBO

斫以匕.=巨也”=织好=工

展史FECBXDIESEFCB8'

【变式1-3](23-24高一下•河北廊坊•阶段练习)如图正方体48CD-的棱长为2,E是线段的

中点，平面a过点。1、C、E.

(1)画出平面a截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；

⑵求(1)中截面多边形的面积；

(3)平面a截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值.

【解题思路】(1)取2B的中点F,连接EF、4止、CF,利用平行线的传递性可证得EF〃％C,可知

E、F、C、以四点共面，再由于E、C、小三点不共线，可得出面EFCDi即为平面截正方体所得的截面；

(2)分析可知，四边形C%EF为等腰梯形，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积;

(3)利用台体的体积公式可求得三棱台AEF-DDiC的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结

果.

【解答过程】(1)如图，取4B的中点尸，连接EF、々B、CF.

因为E是A41的中点，所以

在正方体4BCD-41B1C1D1中，A^DJ/BC,A1D1=BC,

所以四边形&BC/是平行四边形，所以AiB〃£)iC,所以EF〃/C,

所以E、F、C、小四点共面.

因为E、C、久三点不共线，所以E、F、C、小四点共面于平面a,

所以面EFCDi即为平面a截正方体所得的截面.

(2)由(1)可知，截面EFCDi为梯形，EF=yjAE2+AF^=VTT1=V2,

CDi=y/CD2+DDl=V4T4=2vLDiE=密+4亚2=VITl=V5,

同理可得CF=V5,

如图所示：

分别过点E、F在平面CDiEF内作EMICDi，FNICD^垂足分别为点M、N,

贝!|D1E=CF,4EDiM=4FCN,乙EMD1=4FNC=90°,

所以△£■〃/)产△?2(?,则DiM=CN,

因为EF〃CD1，EMiCDi，FN1C6,则四边形EFNM为矩形，

所以，MN=EF=®则OIM=CN=^^=^^^=¥，

所以EM=JE*DI"2=J5G=平,

故梯形C%EF的面积为S=*EF+CD。.EM=Jx3鱼x乎=:

22

(3)多面体AEF—DDiC为三棱台，SAAEF=^AE-AF=^xl=j,SADD1C=^DD1-DC=1x2=2,

该棱台的高为2,所以，该棱台的体积为

W(S/VIEF+S^DDIC+<SAAEF,54皿。),AD=-Q+2+J]X2)X2=]

故剩余部分的体积为8-5=弓.

故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为5.

【题型2截面图形的形状判断】

【例2】（2024・四川达州•二模）如图，在正方体ABCD-2道1的。1中，E为4B中点，P为线段的以上一动点,

过O,E,P的平面截正方体的截面图形不可能是（）

A.三角形B.矩形C.梯形D.菱形

【解题思路】根据点P在Ci、小以及Ci%三个特殊位置时，截面图形的形状，选出正确选项.

【解答过程】B选项，当点P与。1重合时，

取力道1中点H,因为E是AB中点，贝ijEH〃DDi，S.EH=DD1,

连接DE、EH、H%、DR则四边形为平行四边形，

又因为DD110E,所以平行四边形EH小。为矩形，故排除B选项;

C选项，当点P与Ci重合时，

取8当中点G,因为E是2B的中点，所以EG〃DCi，

连接。E、EG、GJCi。，截面四边形EGQD为梯形，故排除C选项;

D选项，当点P为中点时，

因为E是AB中点，所以PBJ/DE且PBi=DE,

连接PBi、B[E、ED、DP,则四边形EBiPD是平行四边形，

又因为BiP=VCiP2+BiCi2=J（竽丫+J萼+Bi《,B]E=JBE^+BB^=J偿丫+BB：=

杵+B瑶,

因为是正方体，所以CiDi=8iCi=AB=BBi，所以8止=8亚，

所以平行四边形EBiPD是菱形，故排除D选项；

不管点P在什么位置，都不可能是三角形.

故选：A.

【变式2-1]（2024•河南•模拟预测）在正方体ABCD-AiBiCi%中,M,N分别为4D,的小的中点，过

M,N,%三点的平面截正方体48CD-4道停1。1所得的截面形状为（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

【解题思路】在上取点Q,且BQ=34Q,取CD中点为P,在。小上取点R,且=3DR通过

△QAMMPCB,可得乙4QM=Z_8PC,进而得出乙4BP=N4QM,QM||BP.通过证明&N||BP,得出名

NIIQM.同理得出NR||BiQ,即可得出正方体的截面图形.

4Di

B1

R

D

【解答过程】

在28上取点Q,且BQ=34Q,取CD中点为P,连接QM,BP,NP,BiQ.

在DD1上取点R,且DiR=3DR,连结NR,MR.

因为券=翳=^^QAM=^PCB,

所以△QAM“Z\PCB,所以N4QM=NBPC.

5LAB||CD,所以N4BP=NBPC,所以〃BP=N4QM,

所以，QMIIBP.

因为MP分别为Ci%CD的中点,所以PNIICCi，且PN=eg.

根据正方体的性质，可知BBi||CCi，且BBi=CCi，

所以，PN||BBr，且PN=BBi，

所以，四边形BPMBi是平行四边形，

所以，Bj_N||BP,所以&NIIQM.

同理可得，NR||BiQ.

所以，五边形QMRNBi即为所求正方体的截面.

故选：B.

【变式2-2］（2024•全国•模拟预测）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底

面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）

【解题思路】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.

【解答过程】当截面4BCD如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；

B

D

当截面力BCD如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状;

故选：D.

【变式2-3](2024•江西•模拟预测)已知在长方体ABCD—2/iCiDi中，AB=BB]=2BC,点P,Q,T分

别在棱BBi，CCi和2B上，且B』=3BP,CQ=3C1Q,BT=3AT,则平面PQ7截长方体所得的截面形状为

()

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【解题思路】连接QP并延长交CB的延长线于点E,连接ET并延长交4。于点S,

过点S作SR〃EQ交DDi于点R,连接RQ,即可得到截面图形，从而得解.

【解答过程】如图连接QP并延长交CB的延长线于点E,连接ET并延长交4。于点S,

过点S作SR〃EQ交£»小于点R,连接RQ,

则五边形PQRST即为平面PQT截该长方体所得的截面多边形.

其中因为BiP=3BP,CQ=3CiQ,BT=3AT,

所以△EBPFECQ,则雾=胃=1所以

又△SATFEBT,所以尊=篇=5，所以S4=2EB=91D,

CDIDODO

则SD=|AD,

显然S则崔=学，所以以=为。=得31=为。1.

ASDRAECQ,c.c<-<vyiziz

故选：c.

【题型3截面图形的周长或面积问题】

【例3】（2024・云南曲靖・模拟预测）正方体48CD-4当前小外接球的体积为4例，E、F、G分别为棱441

、4/1、4道1的中点，则平面EFG截球的截面面积为（）

A.yB.yC.yD.J

【解题思路】由已知，得到正方体ABCD-aiBiCi小外接球的半径，进而得到正方体的棱长，再由勾股定理

计算出平面EFG截球的截面圆的半径，即可得到截面面积.

设正方体4BCD-4/1C1D1外接球的半径为R,棱长为a,

因为正方体48CD-4/1的。1外接球的体积为4南，

所以-4V玉T,贝|JR=V3,

由3a2=（2遮）,得a=2,

设球心0到平面EFG的距离为h,平面EFG截球的截面圆的半径为r,

设力倒平面EFG的距离为忆

因为E、尸、G分别为棱441、乙4、4道1的中点,

所以△EFG是边长为a的正三角形,

由七1一£尸6=得，"=5s△&FG，4且

贝吟x：x鱼x鱼x^-h'=|x|xlxlxl,

解得〃=率又OZL/C=逐

所以占到平面EFG的距离为〃=*Mi，

则h=。&—Mi=R-^R=竽，

r2-R2—八2=（b）2_偌1）=’

所以平面EFG截球的截面面积为，豆#=|1T.

故选：A.

【变式3-1］（2024•全国•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E为棱5C的中点,

用过点E,Q的平面截正方体，则截面周长为（）

O

AD

A.3V2+2V5B.9C.2a+2亚D.3V2+2V3

【解题思路】作出正方体的截面图形，求出周长即可.

【解答过程】

ByC.

AD

如图，取48的中点G,连接GE,&G,AC.

因为E为3c的中点，所以GE〃47,GE=\AC,

又AA、〃CC\,AA1=CC1,

所以四边形acci&为平行四边形，

所以ac〃4iG，AC=A1C1,

所以41CJ/GE,A1C1=2GE,

所以用过点E,Ci的平面截正方体，所得截面为梯形4C1EG,

其周长为2V^+V5+V2+V5=3V2+2V5.

故选：A.

【变式3-2］（2024•江苏南通•二模）在棱长为2的正方体ABC。-中，P,Q,R分别为棱8C,CD,

CCi的中点，平面PQR截正方体力BCD-a/iCi/外接球所得的截面面积为（）

.5口8n2V15_

A.-nB.犯C.yTTD.—Tt

【解题思路】根据正方体的几何性质确定外接球半径R,设球心为。，求解。到截面PQR的距离OM,从而可

得截面圆的面积.

【解答过程】取正方体的中心为。，连接。P,OQ,OR,

由于正方体的棱长为2,所以正方体的面对角线长为2a，体对角线长为2VJ，

正方体外接球球心为点。，半径R=1x2V3=V3,

又易得。「=。（2=。/?=3*2鱼=或，豆PQ=PR=QR=3x2a=E

所以三棱锥O-PQ