2024-2025学年高中数学单元素养评价第三章概率含解析新人教A版必修3

PAGE单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是()A.甲、乙二人竞赛，甲胜的概率为QUOTE，则竞赛5场，甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人肯定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%【解析】选D.概率只是说明事务发生的可能性大小，其发生具有随机性.2.12个同类产品中含有2个次品，现从中随意抽取3个，必定事务是 ()A.3个都是正品 B.至少有一个是次品C.3个都是次品 D.至少有一个是正品【解析】选D.A，B都是随机事务，因为只有2个次品，所以“抽出的3个全是次品”是不行能事务，“至少有一个是正品”是必定事务.3.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的依次是随意的，则第一个打电话给甲的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.给三人打电话的不同依次有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P=QUOTE=QUOTE.4.在区间[-2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由几何概型的概率计算公式可知x∈[0，1]的概率P=QUOTE=QUOTE.5.奥林匹克会旗中心有5个相互套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事务“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A.对立事务B.不行能事务C.互斥但不对立事务D.既不互斥又不对立事务【解析】选C.甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事务是互斥事务；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事务不是必定事务，故这两个事务不是对立事务.6.将区间[0，1]内的匀称随机数x1转化为区间[-2，2]内的匀称随机数x，须要实施的变换为()A.x=2x1 B.x=4x1C.x=2x1-2 D.x=4x1-2【解析】选D.由题意可知x=(2+2)x1-2=4x1-2.7.从一批羽毛球中任取一个，假如其质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是 ()A.0.62 B.0.38 C.0.70 D.0.68【解析】选B.记“取到质量小于4.8g”为事务A，“取到质量不小于4.85g”为事务B，“取到质量在[4.8，4.85)范围内”为事务C.易知事务A，B，C互斥，且A∪B∪C为必定事务.所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1，即P(C)=1-0.3-0.32=0.38.8.某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不当心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为QUOTE，则河宽为()A.100m B.80m C.50m D.40m【解析】选A.设河宽为xm，则1-QUOTE=QUOTE，所以x=100.9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.1-QUOTE D.1-QUOTE【解析】选C.直角三角形的斜边长为QUOTE=13，设内切圆的半径为r，则5-r+12-r=13，解得r=2.所以内切圆的面积为πr2=4π，所以豆子落在内切圆外部的概率P=1-QUOTE=1-QUOTE.10.小敏打开计算机时，遗忘了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，其次位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够胜利开机的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为Ω={(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，所以事务总数有15种.因为正确的开机密码只有1种，所以P=QUOTE.11.若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.事务“甲或乙被录用”的对立事务是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本领件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种状况，依据古典概型和对立事务的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P=1-QUOTE=QUOTE.12.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发觉，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由题意，设BC=2，则以点B为圆心的扇形面积为QUOTE×QUOTE×22=QUOTE，等边△ABC的面积为QUOTE×22×sinQUOTE=QUOTE，其中一个弓形的面积为QUOTE-QUOTE，所以勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即QUOTE+2×QUOTE=2π-2QUOTE，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率为1-QUOTE=QUOTE.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，假如随机地摸出一个球，记A={摸出黑球}，B={摸出白球}，C={摸出绿球}，D={摸出红球}，则P(A)，P(B)，P(C∪D)的值依次为____________.

【解析】由古典概型的算法可得P(A)=QUOTE=QUOTE，P(B)=QUOTE，P(C∪D)=P(C)+P(D)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE，QUOTE，QUOTE14.在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2+2ax+QUOTE=0有两个相异实根的概率为______.

【解析】方程有两个相异实根的条件是Δ=(2a)2-4×1×QUOTE=4a2-2>0，解得|a|>QUOTE，又a∈(0，1)，所以QUOTE<a<1，区间QUOTE的长度为1-QUOTE，而区间(0，1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE15.从某校高二年级的全部学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172.依据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5～170.5cm之间的概率为______.(用分数表示)

【解析】样本中有8人身高在155.5～170.5cm之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5～170.5cm之间的概率为QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE16.甲乙两人玩猜数字嬉戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a-b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现随意找两人玩这个嬉戏，则二人“心有灵犀”的概率为______.

【解析】此题可化为随意从0～9中取两数(可重复)共有10×10=100种取法.若|a-b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取1～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8=24种，所以P=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为确定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为QUOTE=0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为QUOTE=0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525-5-75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为QUOTE=15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300-70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为QUOTE=10.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.18.(12分)设集合M={1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本领件.(1)“a+b=5”这一事务包含哪几个基本领件？“a<3且b>1”呢？(2)“ab=4”这一事务包含哪几个基本领件？“a=b”呢？(3)“直线ax+by=0的斜率k>-1”这一事务包含哪几个基本领件？【解析】这个试验的基本领件构成集合Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.(1)“a+b=5”包含以下4个基本领件：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).“a<3且b>1”包含以下6个基本领件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).(2)“ab=4”这一事务包含以下3个基本领件：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“a=b”这一事务包含以下4个基本领件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).(3)直线ax+by=0的斜率k=-QUOTE>-1，所以a<b，所以包含以下6个基本领件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4).19.(12分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级状况如表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出全部可能的结果.(2)设M为事务“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事务M发生的概率.【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种.因此，事务M发生的概率P(M)=QUOTE=QUOTE.20.(12分)国家平安机关的监听录音记录了两名间谍的谈话，发觉在30min长的磁带上，从起先30s处起，有10s长的一段谈话内容包含两名间谍犯罪的信息.后来发觉，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了.该工作人员声称他完全是无意中按错了键，才使从今处起往后的全部内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率有多少？【解析】包含两名间谍谈话录音的部分在30～40s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉；当按错键的时刻在0～30s之间时，全部被擦掉.即在0～40s之间的时间段内任一时刻按错键时，含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉，而在0～30min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的.所以按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从起先到谈话内容结束的时间段的长度有关，符合几何概型的条件.设事务A表示“按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉”，事务A发生就是在0～QUOTEmin的时间段内按错键.所以μA=QUOTEmin，μΩ=30min，P(A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.21.(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；(2)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率.【解析】先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，包含的基本领件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个.(1)因为直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切，所以QUOTE=1，整理得：a2+b2=25.由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，所以满意条件的状况只有a=3，b=4，或a=4，