2024-2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定素养作业提技能含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章8.68.6.3第1课时A组·素养自测一、选择题1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(C)A．有1个 B．有2个C．有多数个 D．不存在[解析]经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有多数个，故选C．2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于(CA．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)[解析]如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.设A1A＝a，则AO＝eq\f(\r(2),2)a，所以tan∠A1OA＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).3．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[解析]可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立.4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中肯定与CE垂直的是(A．AC B．BDC．A1D1 D．A1[解析]在正方体中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1∴CE⊂平面AA1C1C，∴BD5．(多选)在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(ABD)A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD[解析]对于A选项，AB⊥PA，AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；对于B选项，由BC⊥AB，BC⊥PA，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；对于D选项，CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.二、填空题6．假如规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是__平行__.[解析]由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性.7．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，相互垂直的面有__3__对.[解析]∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.8．在三棱锥S－ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，则二面角S－AC－B的大小为__90°__.[解析]因为AC⊥平面SBC，SC，BC⊂平面SBC，∴AC⊥SC，AC⊥BC，∴二面角S－AC－B的平面角为∠SCB.又SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB为直角三角形，∴∠SCB＝90°.三、解答题9．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点.(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA.[解析](1)取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝eq\f(1,2)CE＝DB，DF＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MNCF.∵BDCF，∴MNBD，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.10．(2024·河北衡水中学高一联考)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1．(1)证明：平面PAB⊥平面PBC.(2)求四棱锥P－ABCD的体积.[解析](1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝eq\r(3).因为PC＝2，BC＝1，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB.因为PB∩AB＝B，PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.(2)在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示.由(1)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PE.因为AB∩BC＝B，所以PE⊥平面ABCD.因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝eq\f(\r(3),2).因为四边形ABCD是直角梯形，所以四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).B组·素养提升一、选择题1．下列命题中正确的是(C)A．若平面α和β分别过两条相互垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的多数条直线，则α⊥β[解析]当平面α和β分别过两条相互垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.2．(2024·大连海湾高级中学高一检测)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个结论中正确的是(D)A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥n，m⊥β，则n∥βD．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β[解析]A中，m⊥n可得α与β相交，故A错；B中，m∥α，m⊥n，可得n⊥α或n⊂α，故B错；C中，m⊥n，m⊥β，则n∥β或n⊂β，故C错；D中，m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β，故D正确.3．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为(D)A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°[解析]如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(A)A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面[解析]由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴选A．二、填空题5．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2eq\r(3)，则二面角P－AB－C的大小为__60°__.[解析]取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角.在△PAB中，PM＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满意__BM⊥PC(其他合理即可)__时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的条件即可)[解析]∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形ABCD为菱形.∵AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线.∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM.∴平面PCD⊥平面BDM.三、解答题7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1[解析]由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1在Rt△B1C1M中，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，同理BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B从而BM⊥B1M又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M8．(2024·全国卷Ⅰ文，19)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离.[解析](1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故ME