高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理二限时练新人教A版必修5

1.1.1正弦定理(二)一、选择题1．在△ABC中，若a＝3，cosA＝eq\f(1,2)，则△ABC外接圆的半径为()A．6B．2eq\r(3)C．3D.eq\r(3)2．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4 B．7∶5∶3C．3∶5∶7 D．4∶5∶63．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形肯定是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形4．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(eq\r(3)＋1)∶2，则最大角为()A．45° B．60°C．75° D．90°5．在△ABC中，eq\f(a,cosB)＝eq\f(b,cosA)，则△ABC肯定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，C＝150°，BC＝1，则AB等于()A．2B.eq\f(\r(10),3)C.eq\f(\r(10),2)D．4二、填空题7．在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，则a＝________.8．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则B＝______.9．在△ABC中，cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(4,5)，BC＝4，则AB＝________.10．已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________．三、解答题11．在△ABC中，求证：eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA).12.在△ABC中，已知c＝10，eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，求a、b及△ABC的内切圆半径．13．在△ABC中，bsinB＝csinC且sin2A＝sin2B＋sin2C，试推断三角形的形态．答案精析1．D2.B3.A4．C[设C为最大角，则A为最小角，∴A＋C＝120°，∴eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin(120°－A),sinA)＝eq\f(sin120°cosA－cos120°sinA,sinA)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)，∴eq\f(cosA,sinA)＝1.∴tanA＝1，又∵A为锐角，∴A＝45°，C＝75°.]5．D6.C7.18.45°9.510.011．证明因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，所以左边＝eq\f(2RsinA－2RsinCcosB,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sin(B＋C)－sinCcosB,sin(A＋C)－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC,sinAcosC)＝eq\f(sinB,sinA)＝右边．所以等式成立．12．解由正弦定理知eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(b,a)，∴eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA).即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.又∵a≠b且A，B∈(0，π)，∴2A＝π－2B，即A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC是直角三角形且C＝eq\f(π,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝102，,\f(b,a)＝\f(4,3)，))得a＝6，b＝8.故内切圆的半径为r＝eq\f(a＋b－c,2)＝eq\f(6＋8－10,2)＝2.13．解