2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步单元素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE单元素养评价(三)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于 ()A.-QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE或QUOTE D.0【解析】选C.由a∥b知1×2=m2,解得m=QUOTE或m=-QUOTE.2.若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有 ()A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0C.2a-b=3 D.a-2b=0【解析】选C.=(1,a-3),=(2,b-3),∥⇒b-3=2a-6,2a-b=3.3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于 ()A.(-2,7) B.(-6,21)C.(2,-7) D.(6,-21)【解析】选B.=2=2(-)=2(-3,2)=(-6,4),=3=3(+)=3(-2,7)=(-6,21).4.(2024·西昌高一检测)已知a,b是不共线的向量,=λa+μb,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三点共线,则λ、μ满意()A.λ=μ-3 B.λ=μ+3C.λ=μ+2 D.λ=μ-2【解析】选B.由A,B,C三点共线,得=t+(1-t)=(1+t)a+(t-2)b,因为a,b是不共线的向量,所以λ=t+1,μ=t-2,所以λ=μ+3.5.若P是直线P1P2上的一点,且=λ,则当-1<λ<0时,点P的位置()A.在线段P1P2上B.在线段P1P2的延长线上C.在线段P2P1的延长线上D.不能确定【解析】选C.依据题意易知,点P不行能与P1,P2重合,当P在线段P1P2上时,λ>0;当P在线段P1P2的延长线上时,λ<-1;当P在线段P2P1的延长线上时,-1<λ<0.6.如图在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则 ()A.=QUOTE(a+b+c+d)B.=QUOTE(a-b+c-d)C.=QUOTE(c+d-a-b)D.=QUOTE(a+b-c-d)【解析】选C.连接OE,OF.因为=-=QUOTE(+)-QUOTE(+)=QUOTE(c+d)-QUOTE(a+b),所以=QUOTE(c+d-a-b).7.(2024·唐山高一检测)过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若++=0恒成立,则点M是△ABC的()A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心【解析】选B.因为过△ABC内一点M任作一条直线l,可将此直线特别为过点A,则=0,有+=0.如图:则有直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心.8.(2024·沈阳高一检测)过△ABC的重心任作始终线分别交边AB,AC于点D,E.若=x,=y,xy≠0,则4x+y的最小值为 ()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选B.设重心为O,因为重心分中线的比为2∶1,则有+=3,+=QUOTE+QUOTE,则=QUOTE+QUOTE,又因为O,D,E三点共线,所以QUOTE+QUOTE=1,又x>0,y>0,则4x+y=QUOTE(4x+y)=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=3,取等号时2x=y=1,即4x+y的最小值为3.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列命题不正确的是 ()A.单位向量都相等B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量C.|a+b|=|a-b|,则a⊥bD.若a与b是单位向量,则|a|=|b|【解析】选AB.单位向量仅仅长度相等而已,方向或许不同;当b=0时,a与c可以为随意向量;|a+b|=|a-b|,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直.10.下列命题中正确的是 ()A.-= B.+=0C.0·=0 D.++=【解析】选AD.起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,-=;,是一对相反向量,它们的和应当为零向量,+=0;0·=0;++=.11.假如e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的全部向量B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0【解析】选BC.由平面对量基本定理可知,A,D是正确的.对于B,由平面对量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的随意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当两个向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有多数个,或当λ1e1+μ1e2为非零向量,而λ2e1+μ2e2为零向量(λ2=μ2=0),此时λ不存在.12.(2024·济南高一检测)如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图1)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是()A.-6 B.1 C.5 D.9【解析】选BC.如图所示:设=a,=b,求x+y的最大值,只需考虑图中以O为起点,6个顶点为终点的向量即可,探讨如下:(1)因为=a,所以(x,y)=(1,0);(2)因为=b,所以(x,y)=(0,1);(3)因为=+=a+2b,所以(x,y)=(1,2);(4)因为=+=+=2-=2a+3b,所以(x,y)=(2,3);(5)因为=+=a+b,所以(x,y)=(1,1);(6)因为=+=a+3b,所以(x,y)=(1,3).所以x+y的最大值为2+3=5.依据其对称性,可知x+y的最小值为-5.故x+y的取值范围是[-5,5],故选项B,C均符合题意.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.若=(2,8),=(-7,2),则QUOTE=________.

【解析】=-=(-9,-6),所以QUOTE=(-3,-2).答案:(-3,-2)14.已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标是________.

【解析】因为F=(8,0),所以终点坐标为(8,0)+(1,1)=(9,1).答案:(9,1)15.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.

【解析】a+b=(m+1,3),由|a+b|2=|a|2+|b|2,得(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.答案:-216.(2024·郑州高一检测)已知点P是△ABC所在平面内的一点,设F为AB的中点,若=QUOTE+QUOTE,且=λ,则λ=________,QUOTE=________.

【解析】如图,F为AB的中点,设D为AF的中点,E为AC的中点,因为=QUOTE+QUOTE,所以可得=QUOTE+QUOTE,整理得++2=0.又+=2,所以=-,所以S△APC=S△APF,又S△APF=QUOTES△APB,所以QUOTE=QUOTE.答案:-1QUOTE四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)在平行四边形ABCD中,=a,=b.(1)如图①,假如E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.(2)如图②,假如O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.【解析】(1)=+=+QUOTE=-QUOTE=-QUOTEa+b.=+=-QUOTE=a-QUOTEb.(2)=-=b-a.因为O是BD的中点,G是DO的中点,所以=QUOTE=QUOTE(b-a),所以=+=a+QUOTE(b-a)=QUOTEa+QUOTEb.18.(12分)(2024·成都高一检测)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.(1)推断a,b是否共线.(2)若a∥c,求x的值.【解析】(1)若a与b共线,由题知a为非零向量,则设b=λa,即6m-4n=λQUOTE,所以QUOTE得到λ=2且λ=-2,所以λ不存在,即a与b不共线.(2)因为a∥c,则设c=ra,即m+xn=3rm+2rn,即QUOTE,解得x=QUOTE.19.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将用和表示.(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满意的条件.【解析】(1)m=8时,=(8,3),设=λ1+λ2,所以(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),所以QUOTE解得QUOTE所以=-3+QUOTE.(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有与不共线,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),则有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.20.(12分)用向量法证明:三角形的三条中线交于一点.【证明】如图,D,E,F分别是△ABC三边上的中点,设=a,=b,AD∩BE=G.设=λ,=μ.则=+=(b-a)+μ=(b-a)+μ=b-a+μQUOTE=QUOTE(μ-2)a+(1-μ)b,又=λ=λ(+)=λQUOTE=-λa+QUOTEλb,所以QUOTE解得QUOTE则=+=a+QUOTE=a+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb,=QUOTEa+QUOTEb,所以=QUOTE,所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点.21.(12分)在风速为75(QUOTE-QUOTE)km/h的西风中,飞机以150km/h的航行速度向西北方向飞行,求没有风时飞机的航行速度和方向.【解析】如图所示,设v=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,则vb=va-v.所以vb,va,v构成了一个三角形,||=|va|,||=|v|,||=|vb|.作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°,设||=150,||=75(QUOTE-QUOTE),则||=||=||=75QUOTE,所以||=75QUOTE.从而||=150QUOTE,∠CAD=30°,所以|vb|=150QUOTE,所以无风时飞机的航行速度为150QUOTEkm/h,方向为北偏西60°.22.(12分)设直线l:mx+y+2=0与线段AB有公共点P,其中A(-2,3),B(3,2),试用向量的方法求实数m的取值范围.【