2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE8.6空间直线、平面的垂直8.素养目标·定方向素养目标学法指导1．驾驭线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式.(数学抽象)2．会求异面直线所成的角.(数学运算)对比平面中线线位置关系，利用基本模型相识异面直线间的垂直关系及其所成的角.必备学问·探新知学问点1异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线__a′__与__b′__所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)空间两条直线所成角α的取值范围：__0°≤α≤90°__.学问点2空间两直线垂直假如两条异面直线所成的角是__直角__，那么我们就说这两条异面直线相互垂直.直线a与直线b相互垂直，记作__a⊥b__.[学问解读]对异面直线所成的角的相识理解的留意点(1)随意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，依据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关.(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算.(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.关键实力·攻重难题型探究题型一异面直线所成的角典例1如图1，P是平面ABC外的一点，PA＝4，BC＝2eq\r(5)，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3．则异面直线PA与BC所成的角的大小为__90°__.[分析]eq\x(\a\al(平移PA，BC至,一个三角形中))→eq\x(\a\al(找出PA和BC,所成的角))→eq\x(\a\al(求出,此角))[解析]如图2，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.同理可得EF∥BC.∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).在△DEF中，DE＝3，又DF＝eq\f(1,2)PA＝2，EF＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(5)，∴DE2＝DF2＋EF2，∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.[归纳提升]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：依据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时留意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.【对点练习】❶在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),2)[解析]如图，连接BD1交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以OM＝eq\f(1,2)AD1＝1．OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2).于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).题型二直线与直线垂直的证明典例2在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1．[证明]如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC－A1B1所以∠BB1C1＝∠A1AB所以BCeq\o\al(2,1)＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，A1B2＝a2＋b2＋h2，所以A1B2＝A1Ceq\o\al(2,1)＋BCeq\o\al(2,1)，则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC所以AC⊥BC1．[归纳提升](1)要证明两异面直线垂直，可依据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线.【对点练习】❷如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D[证明]如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE，CE，易证AE＝CE，又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.易错警示忽视异面直线所成的角的范围致误典例3(2024·湖南省永州市期末)如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.[错解]如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角.由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为120°.[错因分析]解本题时易忽视异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°干脆得出BC与AD所成的角为120°这一错解.事实上，在未推断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，假如∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.[正解]以上解答同错解；∵异面直角所成角θ∈(0,90°]，∴BC与AD所成的角为60°.[误区警示]求异面直线所成的角θ的