2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直教学用书教案新人教A版必修第二册_第1页
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文档简介

PAGE8.6空间直线、平面的垂直8.素养目标·定方向素养目标学法指导1.驾驭线线垂直的定义,了解常见线线垂直的形式.(数学抽象)2.会求异面直线所成的角.(数学运算)对比平面中线线位置关系,利用基本模型相识异面直线间的垂直关系及其所成的角.必备学问·探新知学问点1异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线__a′__与__b′__所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)空间两条直线所成角α的取值范围:__0°≤α≤90°__.学问点2空间两直线垂直假如两条异面直线所成的角是__直角__,那么我们就说这两条异面直线相互垂直.直线a与直线b相互垂直,记作__a⊥b__.[学问解读]对异面直线所成的角的相识理解的留意点(1)随意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,依据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a′,b′所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.(2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算.(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.关键实力·攻重难题型探究题型一异面直线所成的角典例1如图1,P是平面ABC外的一点,PA=4,BC=2eq\r(5),D,E分别为PC,AB的中点,且DE=3.则异面直线PA与BC所成的角的大小为__90°__.[分析]eq\x(\a\al(平移PA,BC至,一个三角形中))→eq\x(\a\al(找出PA和BC,所成的角))→eq\x(\a\al(求出,此角))[解析]如图2,取AC的中点F,连接DF,EF,在△PAC中,∵D是PC的中点,F是AC的中点,∴DF∥PA.同理可得EF∥BC.∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).在△DEF中,DE=3,又DF=eq\f(1,2)PA=2,EF=eq\f(1,2)BC=eq\r(5),∴DE2=DF2+EF2,∴∠DFE=90°,即异面直线PA与BC所成的角为90°.[归纳提升]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作:依据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;(2)证:证明作出的角就是要求的角;(3)计算:求角的值,常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时留意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.【对点练习】❶在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=eq\r(3),则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(C)A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)[解析]如图,连接BD1交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM.易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1AB=BC=1,AA1=eq\r(3),AD1=eq\r(AD2+DD\o\al(2,1))=2,DM=eq\r(AD2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)=eq\f(\r(5),2),DB1=eq\r(AB2+AD2+DD\o\al(2,1))=eq\r(5),所以OM=eq\f(1,2)AD1=1.OD=eq\f(1,2)DB1=eq\f(\r(5),2).于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD=eq\f(12+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))=eq\f(\r(5),5),即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).题型二直线与直线垂直的证明典例2在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,求证:AC⊥BC1.[证明]如图,连接A1B,设A1C1=a,B1C1=b,AA1=h,因为三棱柱ABC-A1B1所以∠BB1C1=∠A1AB所以BCeq\o\al(2,1)=b2+h2,AB2=a2+b2,A1B2=a2+b2+h2,所以A1B2=A1Ceq\o\al(2,1)+BCeq\o\al(2,1),则A1C1⊥BC1,即∠A1C1B又因为AC∥A1C1,所以∠A1C1B就是直线AC与BC所以AC⊥BC1.[归纳提升](1)要证明两异面直线垂直,可依据两条异面直线垂直的定义,证明这两条异面直线所成的角为90°.(2)在证明两条异面直线垂直时,和求两条异面直线所成的角类似,一般也是通过平移法找到与之平行的直线.【对点练习】❷如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:AC⊥B1D[证明]如图,连接BD,交AC于O,设BB1的中点为E,连接OE,则OE∥DB1,所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE,CE,易证AE=CE,又O是AC的中点,所以AC⊥OE,所以AC⊥B1D.易错警示忽视异面直线所成的角的范围致误典例3(2024·湖南省永州市期末)如图1,已知空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点,且直线BC与MN所成的角为30°,求BC与AD所成的角.[错解]如图2,连接BD,并取其中点E,连接EN,EM,则EN∥BC,ME∥AD,故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角,∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角.由AD=BC,知ME=EN,∴∠EMN=∠ENM=30°,∴∠MEN=180°-30°-30°=120°,即BC与AD所成的角为120°.[错因分析]解本题时易忽视异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°,从而由∠MEN=120°干脆得出BC与AD所成的角为120°这一错解.事实上,在未推断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前,不能断定它就是两条异面直线所成的角,假如∠MEN为钝角,那么它的补角才是异面直线所成的角.[正解]以上解答同错解;∵异面直角所成角θ∈(0,90°],∴BC与AD所成的角为60°.[误区警示]求异面直线所成的角θ的

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