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文档简介

六安市重点中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的图象可能是()A. B. C. D.2.已知向量,,则与的夹角为()A. B. C. D.3.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下:嘉宾评分嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是()A. B. C. D.4.本次模拟考试结束后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表,若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在最后,则不同的排表方法共有()A.72种 B.144种 C.288种 D.360种5.如图,平面四边形中,,,,,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.6.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},则A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}7.如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.8.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.9.复数的虚部为()A.—1 B.—3 C.1 D.210.已知命题,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围为()A. B. C. D.11.若不相等的非零实数,,成等差数列,且,,成等比数列,则()A. B. C.2 D.12.已知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列满足,且,则______.14.已知集合,,则__________.15.已知,则展开式中的系数为__16.不等式对于定义域内的任意恒成立,则的取值范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,在三棱锥中,,,,点为中点.(1)求证:平面平面;(2)若点为中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.(12分)如图,三棱柱中,侧面为菱形,.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:(1)求的值;(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)20.(12分)如图,四棱锥中,侧面为等腰直角三角形,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.21.(12分)已知集合,集合.(1)求集合;(2)若,求实数的取值范围.22.(10分)已知曲线:和:(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程;(2)设与,轴交于,两点,且线段的中点为.若射线与,交于,两点,求,两点间的距离.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.2、B【解析】

由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.【详解】解:由题意得,设与的夹角为,,由于向量夹角范围为:,∴.故选:B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.3、C【解析】

计算出、,进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知,,由频率分布直方图可知,,则,由于场外有数万名观众,所以,.故选:B.【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.4、B【解析】

利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文,英语,化学,生物4种,且化学排在生物前面,有种排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个,有种排法,所以不同的排表方法共有种.选.【点睛】本题考查排列的应用,不相邻采用插空法求解,准确分步是关键,是基础题5、C【解析】

由题意可得面,可知,因为,则面,于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点,进而算出,外接球半径为1,得出结果.【详解】解:由,翻折后得到,又,则面,可知.又因为,则面,于是,因此三棱锥外接球球心是的中点.计算可知,则外接球半径为1,从而外接球表面积为.故选:C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,属于中档题.6、A【解析】

解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故选:A.【点睛】此题考查求集合的并集,关键在于准确求解不等式,根据描述法表示的集合,准确写出集合中的元素.7、C【解析】

根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.8、D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.9、B【解析】

对复数进行化简计算,得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算,虚部的概念,属于简单题.10、D【解析】

求出命题不等式的解为,是的必要不充分条件,得是的子集,建立不等式求解.【详解】解:命题,即:,是的必要不充分条件,,,解得.实数的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围,其思路方法:(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验.11、A【解析】

由题意,可得,,消去得,可得,继而得到,代入即得解【详解】由,,成等差数列,所以,又,,成等比数列,所以,消去得,所以,解得或,因为,,是不相等的非零实数,所以,此时,所以.故选:A【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.12、C【解析】

将函数解析式化简,并求得,根据当时可得的值域;由函数在上单调递减可得的值域,结合存在性成立问题满足的集合关系,即可求得的取值范围.【详解】依题意,则,当时,,故函数在上单调递增,当时,;而函数在上单调递减,故,则只需,故,解得,故实数的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用,恒成立与存在性成立问题的综合应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

数列满足知,数列以3为公比的等比数列,再由已知结合等比数列的性质求得的值即可.【详解】,数列是以3为公比的等比数列,又,,.故答案为:.【点睛】本题考查了等比数列定义,考查了对数的运算性质,考查了等比数列的通项公式,是中档题.14、【解析】

直接根据集合和集合求交集即可.【详解】解:,,所以.故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.15、1.【解析】

由题意求定积分得到的值,再根据乘方的意义,排列组合数的计算公式,求出展开式中的系数.【详解】∵已知,则,

它表示4个因式的乘积.

故其中有2个因式取,一个因式取,剩下的一个因式取1,可得的项.

故展开式中的系数.

故答案为:1.【点睛】本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题.16、【解析】

根据题意,分离参数,转化为只对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,利用放缩法,得出,化简后得出,即可得出的取值范围.【详解】解:已知对于定义域内的任意恒成立,即对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,,,当时取等号,由可知,,当时取等号,,当有解时,令,则,在上单调递增,又,,使得,,则,所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和最值,解决恒成立问题求参数值,涉及分离参数法和放缩法,考查转化能力和计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析.(2)【解析】

(1)通过证明平面,证得,证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】(1)因为,所以平面,因为平面,所以.因为,点为中点,所以.因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)以点为坐标原点,直线分别为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面与平面所成锐二面角为,则.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.18、(1)见解析(2)【解析】

(1)根据菱形性质可知,结合可得,进而可证明,即,即可由线面垂直的判定定理证明平面;(2)结合(1)可证明两两互相垂直.即以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,即可求得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设,连接,如下图所示:∵侧面为菱形,∴,且为及的中点,又,则为直角三角形,,又,,即,而为平面内的两条相交直线,平面.(2)平面,平面,,即,从而两两互相垂直.以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图的空间直角坐标系,为等边三角形,,,,设平面的法向量为,则,即,∴可取,设平面的法向量为,则.同理可取,由图示可知二面角为锐二面角,∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定方法,利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值,注意建系时先证明三条两两垂直的直线,属于中档题.19、(1)(2)填表见解析;不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】

(1)利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程,解方程求得的值.(2)根据表格数据填写列联表,计算出的值,由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】(1)由题意,解得.(2)由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下:擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100,对照表格可知,,不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高,考查列联表独立性检验,属于基础题.20、(1)见解析(2)【解析】

(1)根据平面,利用线面垂直的定义可得,再由,根据线面垂直的判定定理即可证出.(2)取的中点,连接,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量,利用空间向量法即可求解.【详解】因为平

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