高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（第4课时）直线与椭圆的位置关系（三）课件 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学课件

第4课时直线与椭圆的位置关系(三)第一章2.2.2

椭圆的几何性质题型探究TIXINGTANJIU题型一定点问题可得a2＝2b2，(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.解由x－my－t＝0得x＝my＋t，把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为以MN为直径的圆过点A，所以AM⊥AN，＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，反思感悟求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向.二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点(0，b)，若直线方程为y＝k(x－a)，则直线恒过点(a,0).(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图所示，椭圆C的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？并说明理由.题型二定值问题例2

已知椭圆C：

＝1过A(2,0)，B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；解由题意得a＝2，b＝1，(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.证明设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，又A(2,0)，B(0,1)，从而四边形ABNM的面积为定值.反思感悟(1)求定值问题的常用方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cos60°)，由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2，(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值.证明当直线l的斜率存在时，设斜率为k，显然k≠0，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.Δ＝56k2＋32k>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，综上，k1＋k2为定值.(1)求椭圆E的方程；题型三存在性问题解当直线l与x轴垂直时不满足条件.故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，反思感悟解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难