高等数学（第三版）课件：偏导数

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偏导数一、偏导数二、高阶偏导数1.偏导数的定义

．在点定义

设函数的某邻域内有定义,,而在取得增量时,函数相应取得如果极限存在,在点处对或增量(称为偏增量):固定的偏导数,记为则称此极限值为函数一、偏导数

类似地,函数在点处对记为

或偏导数定义为:的2.偏导数的求法例1:

求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数.解

把

y看成常数,得把

x看成常数,得例2

求函数的偏导数．解:例3

设,证明:证

因为

所以例4:

已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数.)证:

因为求证:所以=1偏导数的记号是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．例5:求在点(0,0)处的偏导数.解:=0

注意:

二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．3.偏导数的几何意义是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率.

对是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率.对二、高阶偏导数函数它们都是的函数,如果这两个函的偏导数也存在,则称它们的偏导数的二阶偏导数．

数关于是的二个偏导数四个二阶偏导数二阶混合偏导数

类似地,可定义三阶、四阶以至阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而和称为函数的一阶偏导数．例6:

设

z=x3y23xy3

xy+1,解:及

求

定理１如果函数的两个二阶混合偏导在区域内连续,则对任何有数即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序

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