高等数学（第二版）下册课件：多元函数的概念

多元函数的概念

.6.2.1平面区域6.2.2多元函数的定义6.2.3多元函数的极限6.2.4多元函数的连续性

6.2.1平面区域1.平面点集我们把建立了坐标系的平面称为坐标平面.坐标平面上具有某种性质的点的集合,称为平面点集,记作：二元有序实数组的全体

表示坐标平面.例如,平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是：

2．邻域

定义

6.4

设是平面上的一个点，是某一正几何解释：是平面上以点为圆心，为半径的圆的内部点的全体．

数

，与点距离小于的点的全体称为点的邻域，记为，即=如果不需要强调邻域的半径，一般用表示点的某个邻域，表示点的去心邻域.去心邻域：点的去心邻域下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.设是平面上的任意点集，是平面上的任意一点.则称

为外点；内点：如果存在点

的某一邻域，使得

，则外点：如果存在点的

某一邻域，使得，称

为

的内点；边界点：如果点

的任一邻域内既含有属于

的点，也含有不属于

的点,则称

为

的边界点；

的边界点的全体称为的边界，记为；聚点：如果对于任意给定的，点的去心邻域内总有中的点，则称是的聚点.例如,设平面点集

的内点必属于，的外点必不属于的边界点和聚点可能属于，也可能不属于.满足的一切点都是的内点；满足的一切点都是的边界点，但不属于满足的一切点也是的边界点，属于；点集以及它的边界上的一切点都是的聚点.3.区域先来定义一些重要的平面点集.开集：如果点集的所有点都是的内点，则称为开集.闭集：如果点集的边界，则称为闭集.例如,集合是开集;而集合既非开集，也非闭集.集合是闭集；连通集：如果点集内任意两点，都可用折线联结起来，且该折线上的点都属于，则称为连通集.开区域：连通的开集称为开区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.有界区域与无界区域：对于区域

，如果存在正数，使得，那么称区域

为有界区域；否则称为无界区域．D为有界闭区域;为无界开区域．例如,是开集，但非区域．

6.2.2多元函数的定义例6.2.1具有关系：圆柱体的体积和它的底面半径，高之间值时，的值就随之确定.这里,当

，

在集合内取一定例6.2.2

温度之间具有关系：一定量的理想气体的压强、体积和绝对取定一对值

时，的值就随之确定.其中为常数,当在集合内二元函数的定义定义6.5或值域，记作.数集

称为函数的设是平面上的一个点集,称映射为定义在上的二元函数，通常记为：其中点集称为该二元函数函数的定义域，称为自变量,称为因变量．二元函数定义域与一元函数定义域的求法类似.二元函数的定义域对于二元函数

,使这个表达式有意义的自变量的取值范围,就是函数的定义域.如果函数的自变量具有某种实际意义,应根据实际意义确定其定义域.二元函数几何意义曲面.对于二元函数,,其定义域是平面

上的一个区域，点集称为二元函数的图形.一般的，二元函数的图形是一个例如，函数

表示一个平面；而函数的图形是旋转抛物面.例6.2.3求函数的定义域.解定义域需满足

所以是函数的定义域，且为有界闭区域.例6.2.4求函数

的定义域.分析：表达式中含有根号和分母,函数有意义当且仅当

根号里面的表达式大于0.解定义域需满足

，所以为函数定义域，是无界开区域．6.2.3多元函数的极限定义6.6设函数

在点的某一去心邻域内有定义,如果当点（属于这个邻域）以任意方式于一个确定的常数

，则称

是函数当

时的极限,记作：趋于点对应的函数值

无限趋近时,或也记作或例6.2.5求.分析利用重要极限解=1×2=2例6.2.6讨论函数在点分析

处有无极限.当点沿轴趋于点

时，当点沿轴趋于点

时，因此，函数在点

处无极限.当点沿直线

趋于点

时,四.多元函数的连续性定义6.7

设函数

在区域

内有定义，且

，若则称函数

在点

处连续.如果函数

在

的每一点处都连续，那么称函数

在

上连续.等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的．例如一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.

都是多元初等函数.与一元函数类似，多元初等函数是指可用一个式子表示的函数．这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初二元函数的连续性概念可相应地推广到元函数．例6.2.7

求分析函数

是初等函数，点（1，2）在其定义解域内,极限值等于其函数值.例6.2.8

求解

分析分子分母极限都为0，首先进行分子有理化二元函数的性质两值之间的任何值至少一次.连续函数，在

上至少取得它的最大值和最小值各一次.性质2（有界性定理）在有界闭区域

上的二元连续函数在

上一定有界.性质3（介值定理）在有界闭区域

上的二元连续函数，若在

上取得两个不同的函数值，则它在

上取得介于这性质1