高等数学（第二版）下册课件：多元复合函数和隐函数求导法则

多元复合函数和隐函数的求导法则

§6.5.1多元复合函数的求导法则§6.5.2

全微分形式不变性§6.5.3

隐函数求导法则预备知识：一元复合函数的求导法则：由方程确定的隐函数

的导数的求法：在方程两端同时对求导,将视作中间变量.6.5.1

多元复合函数的求导法则

(1)一元函数与多元函数复合的情形可导,且函数在对应点具有连续偏导数，

我们将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数，按照多元复合函数不同的复合情形，主要分以下三种情形讨论.

都在点处定理

6.5

如果函数

及则复合函数在点可导

,

且有证明

在点于函数处可微,于是这里

,当得上式除以.

时,,时,当,.相应地获得增量此时函数,

又由的对应增量为设

有增量

及

,

则函数所以

即从形式上看是全微分，此时,两端除以得到的,常将称为全导数．.

中间变量多于两个的情形.其复合关系如下图所示.用类似的方法,可以把定理6.5的结论推广到复合函数的相关联，

与自变量

定理6.5中函数通过中间变量

则有全导数公式.

而成的函数满足该定理类似的条件，

复合

，例如，由，，具有对及对的偏导数,函数

在对应点处具有连续偏导数,则复合函数

在点处的两个偏导数存在,且有公式（2）多元函数与多元函数复合的情形定理6.6如果函数及在点;.事实上,定理中求时,将看作常量,因此及仍可看做一元函数而应用定理6.5.但由于复合函数及和都是的二元函数,所以将定理6.5结论中的改为,将换成.即可.同理可求定理6.6中函数的复合关系如下图所示：

与定理6.5类似,定理6.6也可推广到复合函数的中间变量于多两个的情形.类似的条件,则有全导数公式

例如,设由，，

满足定理6.6;.

，复合而成的复合函数；.（3）其他情形

定理6.7

如果函数可微,

在点的偏导数存在，且有公式在点处具有对及对的偏导数，则复合函数事实上,该情形可看作情形2中当由公式(6.5)和(6.6)可得结论.此处需注意与的区别：是把函数看成常数,对求偏导数;中的是把中的看成常数,对求偏导数．前者是复合后对的偏导数,后者是复合前对的偏导数．的特殊情形,因此解数

.例6.5.1

设函数,而，，求全导分析画出函数的复合关系图,利用情形3的结论.解例6.5.2

设函数，而，，求.解例6.5.3

设函数，而求和.，例6.5.4

设抽象函数，其中的偏导数连续,求.解记，，则其中，.例6.5.5

设复合函数

,其中

对

解

具有二阶连续偏导数,

求

.其中，，，，.的复合关系图完全相同.本例中需要注意的是，和与函数6.5.2全微分形式不变性设函数

具有连续的偏导数,则全微分

若函数

,

有连续的偏导数,则复合函数

的全微分为可见,无论

是自变量

的函数还是中间变量

的函数,它的全微分形式是一样的,这个性质叫全微分形式不变性．例6.5.6利用全微分形式不变性求微分

,解

因为

又因为所以其中,.所以若先求

再代入公式

,则结果完全一样．6.5.3隐函数求导法则

现在介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法则

来推导隐函数的求导公式．在一元函数微分学中,我们介绍了求由方程

所确定的隐函数的导数的方法．

隐函数存在定理1

设函数满足条件：(2)(3)则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数它满足条件,并有导数公式(1)在点的某一邻域内具有连续偏导数,(6.7)代入,所确定的函数将方程求导即得得恒等式等式两端对就导数公式(6.7)作如下推导由于连续,且于是得求偏导数时，将函数中的视为常数，对求偏导数求偏导数时，将函数中的视为常数，对求偏导数.从而存在的一个邻域,在这个邻域内如果的二阶偏导数也都连续可以将等式

的两端分别对求导右端看做的复合函数得到.例6.5.7验证方程在点的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数,当时,

二阶导数在处的导数值．解设函数则,显然偏导数连续,并求这个函数的一阶与且因此方程在点的邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的隐函数当时,有导数二阶导数为隐函数存在定理还可以推广到多元函数．可以确定一个一元隐函数，可以确定一个二元隐函数．一个二元方程那么一个三元方程

隐函数存在定理2

设函数

满足：(1)在点

的某一邻域内具有连续偏导数;(2)(3)

，它满足条件

，并有则方程在点的某一邻域

.

(6.8),内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数这个定理我们不证，与隐函数存在定理1类似，仅就公式（6.8）作如下推导.由于将上式两端分别对和求导，得于是得点的一个邻域，在这个邻域内，

，.,.因为连续且，所以存在

例6.5.8已知方程，求，，，.

分析构造函数，验证该函数是否满足隐函数存在定理2中的条件，利用公式（6.8）求出，，求得的分别对和求偏导，可得，.方法1，在求一阶偏导数时，可将看作关于，的二元函数，在方程两边分别对，求导.方法2，解（方法1）设，则于是,式两端对求偏导数，得,,,式