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函数的连续与间断

1.7.1函数连续性概念1.7.2连续函数的运算法则与初等函数的连续性1.7.3函数的间断点1.7.4闭区间上连续函数的性质

自然界中许多变量都是连续变化的，如气温的变化，作物的生长，放射性物质存量的减少等等，

这些现象反映到数学上就是函数的连续性．从直观上看，连续函数的图像是连续不断的，在某点连续，则在该点的极限值和函数值相等.1.7.1函数连续性概念定义1.12由此我们得到函数连续的定义连续.故我们得到函数连续的另一个定义：定义1.12’连续点.连续.如果则称例1.7.1证明定义1.13处右连续；处左连续.且故例1.7.2解定理1.15即有所以，在点处连续..

定义1.14连续，连续区间，连续，的连续点全体所构成的区间称为函数的例1.7.3证明因为例1.7.4解所以有

1.7.2连续函数的运算法则与初等函数的连续性

法则1(连续函数的四则运算)

法则2(复合函数的连续性)

例1.7.5解求函数的连续区间,例1.7.6解又因为极限存在，法则3(反函数的连续性)

由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的.由连续函数的定义及运算法则，可得出：

初等函数在其定义区间内是连续的.例1.7.7解

讨论函数在点处的连续性．由于而.如图1.7.3函数的间断点

.定义1.15间断，间断点或不连续点.

.可去间断点.函数的间断点可分为以下几种类型：跳跃间断点.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点第二类间断点.例1.7.8解

讨论函数

在的连续性.例1.7.9解

例1.7.10解.1.7.4闭区间上连续函数的性质

定理1.15（最大值和最小值定理)

如图在闭区间上连续，它有最高点P和最低点Q，P与Q的纵坐标正是函数的最大值和最小值．

如果函数在开区间内连续，或者函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上不一定有最大值或最小值．例如，函数在开区间内既无最大值又无最小值.定理1.16（介值定理)

.推论（零点存在定理)

例1.7.11证明令又证明方程在内至少有一个根.例1.7.12证明证明方程至少有一个小于1的正根．又因为第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在小

结1.函数连续的概念2.初等函数在其定义区间内是连续的.

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