高等数学（第二版）上册课件：换元积分法

换元积分法4.2.2第二类换元法4.2.1第一类换元法（凑微分法）4.2.1

第一类换元法（凑微分法）例4.2.1

求分析无法直接利用积分公式，因此可以将作为整体，凑出积分变量，再进行计算.解令，则由此可见,计算的关键步骤是把它变成,然后通过变量代换就可化为易计算的积分.

而如果又是另一个变量的函数是一般地，如果的一个原函数，则且可微，那么根据复合函数的微分法，有由此得

于是有如下定理：定理4.2

则有换元公式注：如果积分不能直接利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式能表示为可导，是具有原函数

设的形式，较易计算，那么可令且代入后有这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法.由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分因子因此第一类换元法也称为凑微分法.解

分析

被积函数

是

与构成的复合函数，因此作变量代换.例4.2.2

求

例4.2.3

求解

被积函数可看成

与构成的复合函数，虽没有这个因子，但我们可以凑出这个因子：如果令便有

，把它化为

一般地，对于积分总可以作变量代换

例4.2.4

求解

令,则在方法比较熟悉后，不定积分的换元法就可以删繁就简，略去设中间变量和换元的步骤，而直接凑成基本积分公式的形式．，即分析

可将

作为

例4.2.5

求分析

将作为，将其凑成微分部分.解：

例4.2.6

求

分析

凑微分，利用积分公式

计算.解

类似的方法可以计算

如下：解类似地可得

例

4.2.7

求和

分析

将正切函数转化成正余弦，再凑微分.解类似地可得

例4.2.8

求

和

分析

此题可以转化为正余弦，也可直接变形凑微分计算，采用第二种方法较为简单.

例4.2.9

求分析

含有

的函数求积分，通常利用求解.解

例4.2.10

求分析

原式变形，利用

求解.解解类似地可得

例4.2.11

求下列不定积分.(1)(2)(1)分析

通常三角函数平方的积分需要先降次再积分.(2)分析

正割的4次方，充分利用凑出微分求解.解

目前为止，我们已经掌握所有三角函数以及三角函数平方的积分了.(1)

(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

凑微分是利用第一类换元法求解积分的主要技巧，熟记常见凑微分的形式往往会提高解题速度和能力。一般地，有如下几种常见的凑微分形式：4.2.2第二类换元法

第一类换元法是通过变量代换

，将积分化为积分．第二类换元法是通过变量代换，将积分化为积分

上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边的不定积分要存在，即被积函数在求出后一个积分后,再以反函数代回去,这样换元积分公式可表示为:的有原函数；其次,的反函数要存在.我们有下面的定理．定理4.3

设函数

连续,单调、可导，并且，则有换元公式证明

设的原函数为，记,利用复合函数的求导法则及反函数的导数公式可得：即

是

的原函数，所以有：证明完毕．第二类换元法通常适用于以下几个类型：1.被积函数含有2.被积函数含有3.被积函数含有下面逐个举例说明．分析

为使被积函数有理化，利用三角公式解

令

，,则它是的单调可导函数，具有反函数且

例4.2.12

求因而t分析

利用公式，可以去掉根号.解

令，如图，则于是

其中

例4.2.13

求

例4.2.14

求分析

同上题，利用解令

，则

，，于是，

例4.2.15

求分析

为使被积函数有理化，利用三角恒等式解

被积函数的定义域为

，令可求得被积函数在内的不定积分，这时,故其中

，当

时，可令类似地可得到相同形式的结果．

例4.2.16

求

分析

同上题，利用三角恒等式解被积函数定义域为，令，此时，故原式=利用直角三角形，回代：原式=当时，此时原式=因此，

综上可以看出，第二类换元法一般是利用三角代换将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式，从而解决根号下含有二次函数型的积分．现总结如下：1.若被积函数中含有时，可作代换或2.含有

时，可作代换3.含有

时，可作代换

变量回代时，利用直角三角形可以快速解出所求量,因此不失为一种切实有效的方法.

除以上三角换元之外，很多时候还需用到其他换元的方法，比如常见的有倒代换和根式换元等等.下面举一两个例子加以说明.例4.2.17

求解因此当时，有综合起来，得当时，,有,则令例4.2.18求分析

被积函数含有根号，但根号下是一元函数，无法使用三角换元.为了消去根号，因此可考虑用根式换元.解

令，,将回代得：原式=由此题可知，当被积函数中含有无理式或者

(a,b,c,d为实数)时，我们常作代换或

在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中常数a＞0).通常这21个式子可以被当作公式使用．(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)例4.2.19求下列不定积分．（1）（2）

(1)分析

分母是二次函数，能因式分解，将其拆开裂项，再分别积分.解

(2)分析

分母是二次函数，但不能因式分解，此时需要配方，再用积分公式.解利用公式(18)，可得思考