JA-74995《高等数学（经济类）第5版》-刘金林(教案大纲)韩效杰

《高等数学》课程教学大纲英文名称：AdvancedMathematics课程类别：公共必修课学分：8学时：128，其中第一学期64，第二学期64后续课程：线性代数，概率论与数理统计一、课程简介高等数学课程是高等教育中一门重要的基础课，它是为培养经济管理类相关专业高质量专门人才的需要而设置的。高等数学是以处理微分和积分这一对矛盾为主要内容的一门学科，它的基础部分为极限理论。在自然科学、社会科学领域，作为描述连续量的基础课程，自欧洲文艺复兴时期以来，高等数学课程发挥着重要作用。通过学习，希望学生掌握本课程的基本理论与方法，在体验从有限走向无穷的过程中，提升分析和解决问题的能力，并为后继课程学习打下必要的数学基础。二、教学目标（一）总体目标高等数学（主要是微积分）是反映客观世界的科学，是对客观世界定性把握和定量描述，进而逐渐抽象概括形成方法和理论，具有广泛应用的学科。高等数学课程教学以能力培养为切入点，充分体现课程的基础性、应用性和发展性。以适应社会需要为目标，以培养能力为主线设计学生的知识、能力、素质结构和培养方案。本课程的总目标是要通过在大学阶段对高等数学的学习，使经济管理类及部分理工类专业的学生能够获得后续专业课所需的数学知识，具备适应未来工作及进一步发展所必需的基本的数学思想方法和必要的应用技能；使学生形成辩证唯物主义世界观，学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决学习、生活、工作中遇到的实际问题，从而进一步增进对数学的理解和兴趣；使学生具有一定的创新精神和提出问题分析问题解决问题的能力，从而促进生活、事业的全面充分的发展；使学生既具有独立思考又具有团体协作精神；使学生能敏感地把握现实社会现象的本质，适应社会的变革发展。（二）课程目标课程目标1(思政教育)：通过教师的言传身教，学生能积极践行社会主义核心价值观；具有高尚的科学观，实事求是，尊重客观规律。体会微积分的数学思想方法，感受构造法解决问题的创造性思维，理解无限的数学思想，形成无限与有限相统一的辩证唯物主义观点；通过微积分发展历程使学生了解到数学文化的多样性与马克思主义哲学观对现代数学发展的重要意义；完善认识世界的方法，有较强的求知欲，崇尚科学思维，有较强的毅力；通过知识的融合与深化，使学生增强学以致用的能力与意识，热爱生活，有团结协作精神。课程目标2(知识与技能)：（1）了解微积分的发展史，认识微积分的重要性、抽象性、实用性，进而认识科学发展的一般规律。（2）理解极限的概念，掌握极限的运算法则，能够熟练计算一般函数的极限。（3）理解微分的概念，掌握微分的运算法则，能够熟练计算一般函数的微分。（4）理解积分的概念，掌握积分的运算法则，能够熟练计算一般函数的积分。（5）了解微分方程的概念，熟练掌握一些简单的一阶、二阶微分方程的解法。（6）理解多元函数的极限、偏导数、微分的概念，会计算二重积分。（7）了解无穷级数的概念，掌握幂级数的概念、性质。课程目标3(数学思想与能力运用)：（1）通过对本课程的学习，使学生在掌握必要的基础知识的同时，具有一定的数学建模思想，并将这种思想贯穿于整个提出问题分析问题解决问题的过程。（2）通过对极限概念的学习，使学生建立无限的思想观，并使学生能用“分割求和取极限”的思想方法求无穷数列和、图形面积等问题。（3）通过对微分的学习，使学生能够建立实际问题的模型，理解最值方面的问题，并能分析、推证、解释跟最值有关的一些现实现象。（4）通过对积分的学习，使学生能够利用“微元法”的思想方法，解决一些诸如求面积、求体积等问题。（6）通过对本课程的学习，使学生具有一定的自学能力和将数学思想扩展到其它领域的能力。三、教学内容和学时分配表1课程教学安排表章节教学单元名称讲课学时章节教学单元名称讲课学时第1章函数4第7章微分方程16第2章极限与连续16第8章多元函数微积分学24第3章导数与微分14第9章无穷级数12第4章微分中值定理及导数的应用16第5章不定积分14第6章定积分及其应用12合计128第一章函数教学要求：通过学习掌握关于函数的基本概念与基本特性，会求函数的定义域，会求函数的反函数及一些函数的复合函数，会分析复合函数的复合层次。牢记基本初等函数的定义、性质及其图像。了解简单的经济函数，能分析并建立一些实际问题中变量间的函数关系。教学内容：（1）实数与实数的绝对值，常用的实数集（2）函数的概念及表示法，分段函数，函数定义域的求法（3）函数的基本特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性（4）反函数、复合函数，基本初等函数、初等函数（5）简单的经济函数：总成本函数、总收入函数和总利润函数，需求函数与供给函数重点难点：重点是函数的基本特性，复合函数与反函数，初等函数，简单的经济函数；难点是实数的绝对值，函数的基本特性，复合函数与反函数。思政元素：通过对函数概念的演变的介绍，让学生体会到数学思维的魅力，引发学生借助数学语言描述和解决问题的兴趣。第二章极限与连续教学要求：教学中应该关注学生理解数列和函数极限的概念与性质；理解极限存在准则并能利用其计算某些极限；熟练运用极限四则运算法则和两个重要极限计算极限；理解无穷小、无穷大的概念，知道无穷小阶的比较及其与极限的关系。掌握函数连续性的有关概念，了解函数间断点的概念和类型的判定，会判断简单的分段函数的连续性。知道闭区间上连续函数的性质并能利用其解决一些相关的问题。教学内容：（1）数列的极限，函数的极限，极限的性质与运算法则（2）无穷小量与无穷大量的概念与性质，无穷小量的比较（3）极限存在准则与两个重要极限（4）函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，函数的间断点及其分类重点难点：本章重点是极限，极限的性质与运算法则，两个重要极限，函数的连续性；难点是极限的概念，极限准则（夹逼定理和单调有界原理）。思政元素：我国古代朴素的极限思想，激发学生的文化自信与民族自豪感。从辩证思维的角度阐述从有限到无限、量变到质变的规律。通过对连续性思想和离散性思想的介绍让学生进一步感受连续性对于描述客观世界的重要价值，加深对辩证唯物主义的理解。第三章导数与微分教学要求：理解导数的概念及其几何意义，掌握可导性与连续性之间的关系；牢固掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；了解高阶导数概念，会求简单函数的n阶导数；会求隐函数的导数及通过取对数求一些函数的导数，会求由参数方程所确定的函数的一、二阶导数。理解微分的概念，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。教学内容：（1）导数的定义，导数的几何意义，函数的可导性与连续性的关系（2）基本导数公式与函数的求导法则（3）高阶导数（4）隐函数的导数，对数求导法，由参数方程所确定函数的导数（5）微分的概念和几何意义，微分基本公式与运算法则，微分在近似计算中的应用重点难点：本章重点导数概念，求导法则，微分；难点是导数概念，求导法则，微分。思政元素：通过回溯导数和微分思想的历史发展，让学生充分认识数学对于社会的作用，能初步认识到微分思想对于近似计算以及局部逼近技术、微观的重要性。第四章微分中值定理与导数的应用教学要求：理解并会用罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理；熟练掌握用洛必达（L’Hospital）法则求不定式极限的方法；理解函数的极值概念及用导数判断函数的单调性和求极值的方法；熟练掌握利用导数求函数的单调区间、极值、最值的方法；掌握利用导数判断函数图形的凹凸性的方法，会求解简单的最大和最小值等应用问题。会求边际成本、边际收入等，并了解其经济意义，知道弹性的概念，会求需求弹性。教学内容：（1）微分中值定理，泰勒公式（2）洛必达(L’Hospital)法则（3）函数单调性、极值、最大值与最小值（4）曲线的凹凸性与拐点、渐近线、函数图形的描绘（5）导数概念在经济学中的应用：边际与弹性重点难点：本章重点是，中值定理，洛必达法则，函数单调性判别法、极值与最值，曲线的凹凸性、拐点与渐近线，函数作图，导数概念在经济学中的应用；难点是复合函数求导法则，中值定理及其应用。思政元素：微分中值定理是联系函数与导函数性质的桥梁、培养学生创造性思维。第五章不定积分教学要求：正确理解原函数和不定积分的概念，牢记基本积分公式，熟练掌握计算不定积分的基本方法（换元积分和分部积分），会求简单的有理分式函数的不定积分。了解不定积分在经济问题中的简单应用。教学内容：（1）原函数与不定积分的概念，不定积分的性质（2）换元积分法、分部积分法（3）有理函数的积分重点难点：本章重点是不定积分的概念与性质，求不定积分方法；难点是求不定积分方法，思政元素：不定积分计算有利于学生思维的敏捷性、灵活性、广阔性、批判性、深刻性和独创性的培养，可以训练学生变换、类比的思考方法和不守常规、敢于探索的精神。[部分专业可根据专业需要，对教学内容作适当调节]第六章定积分及其应用教学要求：领会定积分的概念、性质及微积分基本定理；理解变上限积分是被积函数的一个原函数。熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式、定积分的换元积分法和分部积分法，并能利用定积分解决一些实际应用问题；了解广义积分的概念并掌握其计算方法。会求平面图形的面积和简单旋转体的体积，会利用定积分求解某些简单的经济应用问题。教学内容：（1）定积分的概念与性质（2）积分上限函数及其导数、微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)（3）定积分的换元法和分部积分法（4）反常积分：无穷限积分、瑕积分（5）定积分的应用：平面图形的面积，立体的体积，经济应用重点难点：本章重点是定积分的概念、性质、计算方法，微积分基本定理，定积分的应用，广义积分；难点是换元积分法，定积分的应用问题。思政元素：从几何的角度，认识“分割”、“近似代替”、“求和”、“取极限”这一定积分概念定义过程中的数学思想,利用辩证法思想认识宏观与微观、积分与微分之间的本质联系。从“元素法”（局部、微观）入手，将实际问题转化为定积分（宏观），如计算平面区域的面积，用截面面积计算平行截面面积已知的立体的体积，计算旋转体的体积等，有助于我们提高我们应用定积分解决实际问题的能力。第七章微分方程初步教学要求：正确理解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念。熟练地识别和解各类一阶微分方程（可分离变量、齐次、线性），了解高阶微分方程的基本概念和基本性质，能够熟练地识别和解可降阶的三种特殊类型的二阶微分方程。掌握线性微分方程解的结构，能够熟练掌握二阶常系数齐次、非齐次线性微分方程的解法，了解微分方程在经济学中的应用。教学内容：（1）微分方程的基本概念（2）一阶微分方程（3）可降阶的高阶微分方程（4）高阶线性微分方程解的性质与解的结构（5）微分方程在经济学中的应用重点难点：本章重点是一阶微分方程，二阶微分方程解法；难点是识别微分方程的类型，二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求法。思政元素：微分方程是数学理论联系实际的一个重要桥梁，该章可以让学生深刻感受到数学的重要性。一些具体的微分方程模型也对学生有重要的教育意义，如人口模型的不断优化激发学生的创新精神和刻苦钻研精神，传染病模型的不断优化，抗疫的优良成果体现出中国制度优势，有助于增强同学的自信心、自豪感，培养同学的爱国主义精神。第八章多元函数微积分学教学要求：正确理解二元函数的定义，会求一些简单二元函数的定义域，了解二重极限与连续的定义。理解偏导数的定义及其几何意义，掌握一阶与二阶偏导数的求法，知道高阶偏导数与求导次序无关的条件。理解全微分的定义与一阶全微分形式不变性。熟练掌握多元复合函数的求导方法。正确理解多元函数的极值与最大、最小值的概念及其之间的关系，知道二元函数极值的判定方法，了解条件极值的概念，知道它与无条件极值的关系，并能够运用拉格朗日乘数法解简单的条件极值问题。理解二重积分的定义，熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标系和极坐标系下的二重积分）。教学内容：（1）空间直角坐标系，空间曲面与方程（2）多元函数的基本概念、多元函数的极限与连续性（3）偏导数，高阶偏导数，全微分（4）多元复合函数与隐函数微分法则（5）多元函数的极值及最大值、最小值，条件极值的拉格朗日乘数法（6）二重积分的概念和性质，二重积分的计算重点难点：本章重点是偏导数与全微分，多元函数求导法、极值与最值，二重积分；难点是多元复合函数求导法、条件极值，二重积分。思政元素：通过对直线与平面，一维到二维、一元函数与多元函数的定义、极限、连续性概念及性质的比较，深刻领会世界的多样性与类似性，激发学生认识世界的主动性。通过二元函数连续性、可微性、偏导存在、偏导函数连续性等之间的联系，给出相应的证明或反例，培养学生反思精神和严谨的思维。二重积分将定积分推广至平面点集上的积分，而其计算又必须转换为一元定积分来计算，这充分说明万物总是相互作用、相互影响的辩证思想。第九章无穷级数教学要求：通过教学让学生理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道级数收敛的必要条件和级数的主要性质。熟悉几何级数和级数的敛散性，掌握正项级数和交错级数的审敛准则，知道绝对收敛和条件收敛的关系。知道函数项级数收敛域及和函数的概念，理解幂级数的收敛半径与收敛区间的定义，掌握收敛半径的求法，知道幂级数在其收敛域中的一些性质，牢记的幂级数展开式，能够用间接展开法将一些比较简单的初等函数展开为幂级数。教学内容：（1）常数项级数的概念与性质（2）正项级数、交错级数的审敛法（3）绝对收敛与条件收敛，任意项级数敛散性的判别（4）函数项级数的概念，幂级数及其收敛性、幂级数的运算（5）函数展开成幂级数及其应用重点难点：本章重点是级数敛散性的判别，幂级数的收敛半径与收敛区间，初等函数展开为幂级数；难点是级数敛散性的判别，函数展开为幂级数。思政元素：数项级数最能反映出学生对有限到无限的直观认识水平、理解掌握程度，基于“有限”、“无限”意义下的极限运算，将级数与数列相互转化，类比级数与反常积分性质与判别法，深刻理解判别法就是将级数与几何级数、p-级数相比较的本质内涵。理解幂级数本质就是用多项式函数逼近函数，可以让学生理解从特殊到一般、由特殊研究一般的数学思想方法。[部分专业可根据专业需要，对教学内容作适当调节]四、教学方法1．启发式课堂讲授法：以启发式课堂讲授为主，注重对基本概念和基础理论的讲解，基本计算的理论背