数学学案：抛物线的标准方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修2-1第二章2。4.1抛物线的标准方程1．掌握抛物线的定义,理解焦点，准线方程的几何意义．2．能够根据已知条件写出抛物线的标准方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的________的点的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，________叫做抛物线的准线．抛物线定义中的定点F不在定直线l上,否则点的轨迹不是抛物线，而是过点F与l垂直的一条直线．2．抛物线的标准方程方程y2＝±2px，x2＝±2py（p＞0)叫做抛物线的______方程．(1）抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．(2）抛物线y2＝－2px(p＞0）的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．（3）抛物线x2＝2py（p＞0)的焦点坐标是________,它的准线方程是________,它的开口方向______．（4)抛物线x2＝－2py(p＞0)的焦点坐标是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f（p，2）)），它的准线方程是y＝eq\f（p,2）,它的开口方向______．抛物线y2＝2px，y2＝－2px,x2＝2py，x2＝－2py(p＞0）的焦点在一次项字母所对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的符号确定,当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；系数为负时,开口向坐标轴的负方向．【做一做】若抛物线的焦点为(1，0），则抛物线的标准方程为（）A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．无法确定1．抛物线的图象是双曲线的一支吗？剖析：虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”，但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支．当抛物线上的点趋向于无穷远时,曲线上点的切线接近于和对称轴平行;而双曲线上的点趋向于无穷远时，曲线上的点的切线接近于与渐近线平行；抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线方程与双曲线方程有很大差别．2．如何确定抛物线的标准方程?剖析：确定焦点在哪个坐标轴上或平行于坐标轴的哪条直线上,开口方向，焦参数p.过焦点作准线的垂线段,垂线段的中点为抛物线的顶点．题型一抛物线的标准方程【例1】已知抛物线C过点(2，－4）,求抛物线的标准方程．分析：已知抛物线过一个点,应分焦点在x轴上和焦点在y轴上来讨论．反思：题目没有明确焦点在x轴上还是在y轴上，所以可以不考虑开口方向，设抛物线方程为y2＝ax或x2＝ay，将点(2，－4）代入求出a。题型二抛物线定义的应用【例2】过抛物线y＝4x2的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1),B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝5，求线段AB的长．分析:先把方程化为标准方程，即x2＝eq\f(1,4)y，再由抛物线的定义得到答案．反思：过焦点的直线被抛物线截得的线段叫焦点弦，焦点与抛物线上的点的连线叫焦半径．抛物线y2＝2px(p＞0）上的点M(x0，y0)，过该点的焦半径为x0＋eq\f（p,2).题型三根据抛物线的方程求焦点坐标和准线【例3】已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程：(1)y2＝8x；(2)x＝ay2（a≠0）．分析：将方程化为标准形式，求p,结合图形，从而求得焦点坐标与准线方程．1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是（)A．eq\f(|a|,4)B．eq\f(|a|，2）C．|a｜D．－eq\f（a,2)2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．eq\f(17,16)B．eq\f(15，16)C．－eq\f(15,16)D．－eq\f（17,16）3．(2010·福建高考，理2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝04．抛物线y2＝2x上的两点A,B到焦点的距离之和是5,则线段AB中点到y轴的距离是__________．5．已知点P(1,－2)在抛物线y2＝2px上，求点P到抛物线焦点的距离．答案：基础知识·梳理1．距离相等定点F定直线l2．标准(1）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（p,2)，0）)x＝－eq\f(p,2）向右(2)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（p,2），0））x＝eq\f（p，2)向左（3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（p，2)))y＝－eq\f（p，2)向上(4)向下【做一做】C∵焦点（1，0）在x轴的正半轴上，∴抛物线的标准方程为y2＝4x.故选C。典型例题·领悟【例1】解：当焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2＝ax,将（2,－4)代入得a＝8,故所求方程为y2＝8x；同理，当焦点在y轴上时，求得抛物线方程为x2＝－y.所以满足条件的抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y。【例2】解：将抛物线方程化为x2＝eq\f（1，4）y，设焦点为F，|AF｜＝y1＋eq\f（p，2），|BF｜＝y2＋eq\f（p,2）,p＝eq\f（1,8）,|AB｜＝|AF｜＋|BF|＝y1＋eq\f（p，2）＋y2＋eq\f(p,2)＝y1＋y2＋p＝eq\f（41，8）。【例3】解：（1)因为2p＝8，所以p＝4，开口向右，焦点坐标为(2,0），准线方程为x＝－2.（2）因为原抛物线的方程可化为y2＝eq\f(1,a)x，所以2p＝eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\f（1,a））),所以eq\f(p,2)＝eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f(1，4a))）。当a＞0时,焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，4a),0)），准线方程为x＝－eq\f（1,4a）；当a＜0时，焦点坐标仍为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，4a)，0）)，准线方程仍为x＝－eq\f(1,4a).随堂练习·巩固1．B由已知焦点到准线的距离为p＝eq\f(｜a|,2)。2．C准线方程为y＝eq\f（1，16),由定义知eq\f（1，16）－yM＝1⇒yM＝－eq\f(15,16）.3．D∵抛物线y2＝4x的焦点为(1，0）,∴满足题意的圆的方程为（x－1）2＋y2＝1，整理得x2＋y2－2x＝0,故选D。4．2由抛物线定义可知，A，B到准线x＝－eq\f(1，2）的距离之和是5，从而线段AB中点到