数学学案：两个基本计数原理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1两个基本计数原理学习目标重点、难点1．能说出分类计数原理和分步计数原理；2．会用分类计数原理或分步计数原理分析和解决一些简单的实际问题。重点：两个基本计数原理的理解．难点：区分两个基本计数原理，正确地选用两个计数原理解决实际问题。1．分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……,在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．预习交流1应用分类计数原理的原则是什么？提示：做一件事有n类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事．2．分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．预习交流2应用分步计数原理的原则是什么？提示：做一件事要分n个步骤完成,只有所有步骤完成时,才完成这件事,也就是说,每一步骤中每种方法均不能完成这件事．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、分类计数原理问题从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班,轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．解：根据运输工具可分四类:第1类是乘坐火车，有3种不同的走法；第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法;第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法；第4类是乘坐轮船,有2种不同的走法；根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15。设有5幅不同的油画，2幅不同的国画,7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法．答案：14解析：根据分类计数原理,不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种．如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)．二、分步计数原理问题有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个,白色小球5个，黄色小球4个,现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？思路分析:要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时,才完成这件事，故应用分步计数原理．解：分三步完成：第1步是取红球，有6种不同的取法；第2步是取白球，有5种不同的取法;第3步是取黄球，有4种不同的取法;根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120。现有高一学生9人，高二学生12人,高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组,为便于管理，每年级各选一名组长,有__________种不同的选法．答案：756解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可,即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)．1．两个书橱,一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种．答案:12解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种．2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种．答案：16解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种．3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人,共有__________种不同的选法．答案：255解析：分三类:第1类是从高一和高二各取1人，有9×12＝108种选法；第2类是从高一和高三各取1人，有9×7＝63种选法；第3类是从高二和高三各取1人，有12×7＝84种选法；由分类计数原理，不同的选法有N＝108＋63＋84＝255种．4．某体育彩票规定，从01~36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元，某人想选定吉利号18，然后从01~17中选3个连续的号，从19～29中选2个连续的号，从30～36中选1个号组成一注,若这个人要把这种号全买下来至少要花多少钱？解：分三步选号：第1步从01～17中选3个连续的号共有15种选法；第2步从19～29中选2个连续的号共有10种选法;第3步从30～36中选1个号共有7种选法；因此由分步计数原理知共有N＝15×10×7＝1050(注），故要花1050×2＝2100(元）．5．有四位同学参加三项不同的竞赛．（1）每位同学必须只参加一项比赛，有多少种竞赛方案？(2)每项竞赛只允许一位同学参加，有多少种竞赛方案？解：(1）同学可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于同学无条件限制,所以每位同学均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位同学参加竞赛的项目全确定下来．因此分四步，所以根据分步计数原理，共有N＝3×3×3×3＝34＝81种不同的方案．(2)竞赛项目可挑选同学，而同学无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同的同学