数学学案：例题与探究空间中的垂直关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1如图1-2-3-1,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心,求证:B1图1—2-3-1思路分析：要证B1O⊥平面PAC，根据直线和平面垂直的判定定理，只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线.证明:在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设其棱长为2a因为B1B⊥平面AC,且AC平面AC，所以B1B⊥AC。又O是正方形ABCD的中心，所以AC⊥BD。所以AC⊥平面B1BO。而B1O平面B1BO，所以B1O⊥AC.又PO2+OB12=3a2+6a2=9a2,PD12+B1D12=a2+8a2=9a2,PB12=PD12+B1D12，所以PO2+OB12=PB12.所以B1O⊥PO.又PO∩AC=O,所以B1O⊥平面PAC.绿色通道：正方体是最常见的几何体，正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系，它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一.本题抓住了特殊几何体—-正方体及特殊点P的位置关系,运用勾股定理的逆定理,通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直。黑色陷阱：证明直线与平面垂直时一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直,如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的,得到错误的结论.变式训练1如图1-2-3—2，平面α内有一个半圆,直径为AB，过A作SA⊥平面α，在半圆上任取一点M,连结SM、SB,且N、H分别是A在SM、SB上的射影.图1—2-3-2（1）求证：NH⊥SB;(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？（3）这个图形中有多少个直角三角形?思路分析：解题时以空间的眼光观察图形，正确地发现线面的位置关系.(1)证明：连结AM、BM。∵AB为已知半圆直径，∴AM⊥BM.∵SA⊥平面α，MBα,∴SA⊥MB。∵AM∩SA=A,∴MB⊥面SAM.∵AN面SAM,∴BM⊥AN.∵AN⊥SM,∴AN⊥面SMB.∵AH⊥SB于H,则NH为AH在面SMB内的射影,∴NH⊥SB.(2）解：由(1）知,SA⊥面AMB,BM⊥面SAM,AN⊥面SMB.∵SB⊥AH且SB⊥HN，∴SB⊥平面ANH。∴图中共有4个线面垂直关系。（3）解：∵SA⊥平面AMB，∴△SAB、△SAM均为直角三角形。∵BM⊥平面SAM,∴△BMA、△BMS均为直角三角形。∵AN⊥平面SMB,∴△ANS、△ANM、△ANH均为直角三角形.∵SB⊥平面AHN，∴△SHA、△BHA、△SHN均为直角三角形.综上所述,图中共有10个直角三角形.例2如图1-2—3—3，立体图形P—ABCD的侧面PAD是正三角形,且垂直于底面，底面ABCD是矩形，E是PD的中点。求证:平面ACE⊥平面PCD.图1—2-3—3思路分析：要证平面ACE⊥平面PCD,只需在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面,即只需在该平面内找一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线即可.证明：∵△PAD为正三角形,E为PD的中点，∴AE⊥PD.又∵平面PAD⊥平面AC,平面PAD与平面ABCD交于AD,DC⊥AD,∴CD⊥平面PAD。∴CD⊥AE.∴AE⊥平面PCD。又∵AE平面ACE,∴平面ACE⊥平面PCD。绿色通道：要证平面ACE⊥平面PCD，关键是利用平面与平面垂直的性质定理得CD⊥AE，再利用正三角形的性质及直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理。变式训练2如图1—2-3—4，在立体图形A—BCD中，各个面均是正三角形,G、F、M分别是BC、AB、AC的中点,过FG的平面与平面ACD相交于EH，求证:平面BMD⊥平面FGHE。图1-2—3-4证明：因为△ABC是正三角形,M为AC的中点,所以MB⊥AC,同理,MD⊥AC。所以AC⊥平面BDM.又F、G为AB、CB中点,所以FG∥AC.所以FG⊥平面BDM，FG平面FGHE.所以平面BDM⊥平面FGHE。例3过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC,如图1-2—3-5，∠BSC=90°，∠ASC=∠ASB=60°，若截取SA=SB=SC=a,（1）求证：平面ABC⊥平面BSC;(2)求S到平面ABC的距离。图1—2-3-5思路分析:要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理,需在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明:∵SA=SB=SC=a，又∠ASC=∠ASB=60°，∴△ASB和△ASC都是等边三角形。∴AB=AC=a。取BC的中点为H，连结AH，∴AH⊥BC。在Rt△BSC中，BS=CS=a,∴SH⊥BC,BC=a。∴AH2=AC2—CH2=a2—(a)2=.∴SH2=.在△SHA中，AH2=，SH2=，SA2=a2。∴SA2=SH2+HA2。∴AH⊥SH。∴AH⊥平面SBC。∵AH平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.或∵SA=AC=AB，∴顶点A在平面BSC内的射影H为△BSC的外心。又△BSC为直角三角形，∴H在斜边BC上。又△BSC为等腰直角三角形,∴H为BC的中点。∴AH⊥平面BSC。∵AH平面ABC,∴平面ABC⊥平面BSC。（2)解：由前所证,SH⊥AH，SH⊥BC，∴SH⊥平面ABC.∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH=.∴点S到平面ABC的距离为。绿色通道：把有些条件集中起来，一般可以得到一些线,再进行相应理解就可以得到相应的几何体，在几何体中研究线面之间的关系有很多简便的方法，也可以充分利用这些几何体的性质。变式训练3在直三棱柱A1B1C1—ABC中，BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件___________时，有AB1⊥BC思路分析:要证明AB1⊥BC1，主要利用线面垂直的定义来寻找AB1所在某一平面与直线BC1垂直，又由于由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，由此确定所找的平面就是平面ACB1图1—2-3-6解：连结B1C，由BC=CC1,可得BC1⊥B1因此要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC.因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要A1C1⊥B（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1答案:A1C1⊥B1变式训练4平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧,已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是:①1；②2；③3；④4。以上结论正确的为___________。（写出所有正确结论的编号）思路解析：本题考查点到平面的距离及对图形不同情况的分类讨论思想.B、D到平面α的距离为1、2，则DB的中点到平面α的距离为,所以C到平面α的距离为3；B、C到平面α的距离为1、2，D到平面α的距离为x,则x+1=2或x+2=1，即x=1，所以D到平面α的距离为1；C、D到平面α的距离为1、2,同理可得B到平面α的距离为1.答案：①③问题探究问题证明线面垂直、面面垂直都有哪些方法可以使用?导思:证明线面垂直可以根据线线垂直及线面垂直的定义和判定定理进行判定，也可以利用等价转化的思路，把空间问题转化为平面问题,利用平面几何知识进行证明.面面垂直是在线面垂直的基础上进行定义的，因此可以根据线面垂直证明面面垂直，进一步可以转化为线线垂直，反过来，面面垂直也可以转化为线面垂直、线线垂直,体现了整体与局部之间的关系.探究：证明线面垂直的方法:（1)利用线面垂直的定义：a与α内的任何直线垂直a⊥α;（2)利用判定定理:(3）利用结论:a∥b,a⊥αb⊥α；（4）利用面面平行的性质：α∥β,a⊥αa⊥β；（5)利用面面垂直的性质:α⊥β，α∩β=l，aα，a⊥la⊥β。在证明两平面垂直时,一般方法是先从现