黑龙江省大庆外国语学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 含解析

2024-2025学年度第一学期大庆外国语学校期中考试高三数学试题出题人：杨美金校对人：张晶注意事项1.考试时间120分钟，满分150分2.答题前，考生务必先将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上，并准确填涂.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号.非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=（）A.B.C.D.2.已知，则（）A.B.C.D.3.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A.1B.C.D.4.给出下列四个命题，其中正确命题为（）A.“”的否定是“”B.在上单调递减C.若为的导函数的一个零点，则为函数的一个极值点D.若是奇函数，则5.已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（）A.2B.C.4D.6.已知双曲线两个焦点为分别为，过点的直线与该双曲线的右支交于两点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为（）A.B.C.D.7.已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（）A.B.C.D.8.将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.若随机变量，且，则B.一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为15C.在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画模型的拟合效果，若值越小，则模型的拟合效果越好D.设随机事件，，已知事件发生的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为，在事件不发生的条件下事件发生的概率为，则事件发生的概率为10.在三棱锥中，已知，点M，N分别是AD，BC的中点，则（）A.B.异面直线AN，CM所成的角的余弦值是C.三棱锥的体积为D.三棱锥的外接球的表面积为11.已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交直线于上的点，则（）A.的离心率为2B.的渐近线方程为C.到的渐近线的距离为D.内切圆圆心的横坐标为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中的常数项为___________.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为___________.14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第___________项.四､解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生､女生各100名.（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男､女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.参考公式及数据：.α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816.记的内角的对边分别为已知，且，（1）求的面积；（2）若，求A.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，分别是的中点，（1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，直线是曲线的切线，求的最小值；（3）若方程有两个实数根.证明：19.已知数列的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为.（1）若数列，且，，求数列和集合T；（2）若是递增的等差数列，求证：；（3）请你判断是否存在最大值，并说明理由参考答案：题号12345678910答案CBCBBDCCADABD题号11答案ABD1.C【详解】解：，故.2.B【详解】因为，所以，所以.3.C【详解】因为，且，所以，即，所以，所以向量在向量上的投影向量为.4.B【详解】对于A，易知“”的否定是“”，所以A错误；对于B，由幂函数性质可知在上单调递减，可得B正确；对于C，若，则；显然是的一个零点，但在上单调递增，没有极值点，所以C错误；对于D，若是奇函数，不妨取，不满足，即D错误；5.B【详解】①，为奇函数，为偶函数，②，①+②得①-②得，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为，6.D【详解】试题分析：设，由已知，.由双曲线的定义得：，又由得，，又，选D.7.C【详解】如下图，四棱锥中，连接交分别于点，连接，因底面为平行四边形，则是中点，也是中点，而点是中点，于是得点是重心，从而得，因平面平面，平面平面，因此得，于是得，所以.8.C【详解】由已知得函数，由图象过点以及点在图象上的位置，知，由在上恰有一个最大值和一个最小值，，.9.AD【详解】A选项，因为，且，所以，故A正确；B选项，数据共有9个数，，所以第70百分位数是第7个数16，故B错误；C选项，在一元线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越差，故C错误；D选项，，所以，又因为，则，所以，故D正确.10.ABD【详解】三棱锥中，已知，三棱锥补形为长方体，如图所示，则有解得，以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，点分别是的中点，则有，，，所以选项正确；，，所以异面直线所成的角的余弦值是选项正确；三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，体积都为，三棱锥的体积等于长方体体积减去这四个三棱锥体积，为，C选项错误；长方体的外接球的半径为，这个外接球也是三棱锥的外接球，其表面积为，D选项正确.11.ABD【详解】由题意，可知，所以.又由题意，知，所以，所以，故的方程为，所以的离心率为，渐近线方程为，故A，B正确；焦点到渐近线的距离为，所以C错误；设的内切圆与轴相切于点，则由双曲线定义得，所以，即内切圆圆心的横坐标为，所以D正确，12.60【详解】展开式的通项为.令，得，则的常数项为.13.【详解】因为为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以V的面积.14.2017【详解】依题意有：，所以：，15.【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为，女生有报考军事类院校意向的概率为.（2），所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.16.【详解】（1）在中，由余弦定理及，得，整理得，而，所以的面积.（2）由（1）及正弦定理得，即，于是，即，整理得，即，因此，即，由，得，解得或，所以或.17.【详解】（1）取的中点，连接，因为分别是的中点所以且且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为四边形是正方形，所以，又因为，所以平面，所以平面又因为平面，所以平面平面（2）取的中点，连接，因为，所以，平面平面，所以平面，所以两两垂直，以为原点，向量的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，设是平面的法向量，则，取，则，所以，设是平面的法向量，则，即，取，则，所以，，由图可知，二面角的为锐二面角，所以二面角的余弦值为.18.【详解】（1）因为，所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增；当时，由，解得，函数在上单调递增，由，解得，函数在上单调递减；综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当时，，设切点为，则切线斜率，切线方程为，，所以，令，则，由，可得，由，可得，在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为；（3）由，可得，令，则，由，可得，由，可得，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，不妨设，则，故，令，所以，要证，只要证，只要证，令，则，设，则，由，可得，由，可得，在上单调递减，在上单调递增，，则存在，使得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，在上恒成立，所以.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.【分析】（1）根据新定义列举出集合的元素即可求；根据题意可知，求出，即可求解；（2）设公差为，则，即可分析得.（3）利用的定义结合特例可判断存在最大值.【详解】（1）由，且，得均不相等，则都是集合中的元素，而，于