热点09 尺规作图（7大题型+满分技巧+限时分层检测）（解析版）

热点09尺规作图中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。考向一：尺规作图的痕迹【题型1线段中垂线的尺规作图痕迹】满分技巧1、线段垂直平分线的画图痕迹：2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等1．（2023•凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】利用基本作图得MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A＝40°，则计算出∠ABC＝∠C＝70°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故选：B．2．（2023•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（）A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD＝AB C．DE＝BC D．S△ADE：S四边形DBCE＝1：4【分析】根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，∴DA＝DC，AE＝EC，∴∠A＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC，∴AD＝DB，∴CD＝AB，故选项B正确，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，故选项C正确，据三角形中位线的性质得到DE∥BC，进而证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到面积比S△ADE：S△ABC＝1：4；故选：D．3．（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（）A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC【分析】根据作图可知：EF垂直平分BD，根据线段垂直平分线的性质得到BO＝DO，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；无法证明DE＝CD，故D错误．【解答】解：根据作图可知：EF垂直平分BD，∴BO＝DO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；无法证明DE＝CD，故D错误；故选：D．4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°【分析】根据线段的垂线平分线的性质及三角形的外角定理求解．【解答】解：由作图得：MN垂直平分BC，∴CD＝BD，∴∠CBD＝∠C＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝80°，故选：C．5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为13．【分析】连接CE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接CE，由作图知，直线MN是线段BC的垂直平分线，∴CE＝BE，∵∠A＝90°，AE＝5，AC＝12，∴BE＝CE＝＝＝13，故答案为：13．6．（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为56°．【分析】由作图可知CD垂直平分线段AB，推出CA＝CB，再利用等腰三角形的三线合一的性质以及平行线的性质求解．【解答】解：由作图可知CD垂直平分线段AB，∴CA＝CB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD，∵a∥b，∴∠ADC＝∠BCD＝34°，∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣68°）＝56°．故答案为：56°．【题型2角平分线的尺规作图痕迹】满分技巧1、角平分线的画法：2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等1．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．【解答】解：根据题中所给的作图步骤可知，AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（SAS），所以BG＝CG，故A选项不符合题意．当AG⊥BC时，∠AGB＝∠AGC＝90°，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（ASA），所以BG＝CG，故B选项不符合题意．当∠DGB＝∠EGC时，因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，所以△ADG≌△AEG（SAS），所以∠AGD＝∠AGE，又∠DGB＝∠EGC，所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，即∠AGB＝∠AGC．又∠AGB+∠AGC＝90°，所以∠AGB＝∠AGC＝90°，则方法同（2）可得出BG＝CG，故C选项不符合题意．故选：D．2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（）A． B． C． D．【分析】由角平分线的性质定理推出CD＝MD，由勾股定理求出AC的长，由△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，得到AC•BC＝AC•CD+AB•MD，因此4×3＝4CD+5CD，即可求出CD的长，得到DB的长．【解答】解：作DM⊥AB于M，由题意知AD平分∠BAC，∵DC⊥AC，∴CD＝DM，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，∴AC•BC＝AC•CD+AB•MD，∴4×3＝4CD+5CD，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝3﹣＝．故选：D．3．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．故选：A．4．（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（）A． B． C． D．4【分析】如图，设BP交CD与点J，过点J作JK⊥BD于点K．首先利用相似三角形的性质证明CN•BM＝12，再想办法求出BM，可得结论．【解答】解：如图，设BP交CD与点J，交CN与点T．过点J作JK⊥BD于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，∵CN⊥BT，∴∠CTB＝∠CDN＝90°，∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°，∴∠CBT＝∠DCN，∴△BTC∽△CDN，∴＝，∴BM•CN＝CD•CB＝3×4＝12，∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，∴＝＝5，由作图可知BP平分∠CBD，∵JK⊥BD，JC⊥BC，∴JK＝JC，∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，∴×3×4＝×5×JK+×4×JC，∴JC＝KJ＝，∴BJ＝＝＝，∵cos∠CBJ＝＝，∴＝，∴BT＝，∵CN•BT＝12，∴CN＝．故选：A．5．（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（）A．6 B．8 C．9 D．10【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，推出BC＝AD＝9，再证明CH＝CB，可得结论．【解答】解：由作图可知BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH，∵AB＝AG＝4，∴∠ABG＝∠AGB，∴∠AGB＝∠CBH，∴AD∥CB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝AG+DG＝4+5＝9，∵AB∥CH，∴∠ABG＝∠CHB，∴∠CBH＝∠CHB，∴CH＝CB＝9．故选：C．6．（2023•内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（）A．1：2 B．1： C．2：5 D．3：8【分析】先根据三角函数求出AB：AC的值，再根据三角形的面积公式求出BE：CE的值，再根据三角形的面积公式求解．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴AB：AC＝sinC＝1：2，由题意得：AP平分∠BAC，∴AB：AC＝BE：CE＝1：2，∴S△BDE：S△CDE＝1：2，故选：A．7．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为．【分析】证明△ABE是等边三角形，推出BO⊥AE，AO＝OE，可得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，∵BA＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE，∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF＝＝，∴＝，故答案为：．8．（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为6．【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到MB＝MC，因此∠B＝∠BCM，由角平分线定义推出∠ACM＝∠B，又∠CAM＝∠CAB，推△ACM∽△ABC，得到AC：AB＝AM：AC，代入有关数据，即可求出AC的长．【解答】解：由题中作图可知：CM平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM，∵MN⊥BC，BN＝CN，∴MB＝MC，∴∠B＝∠BCM，∴∠ACM＝∠B，∵∠CAM＝∠CAB，∴△ACM∽△ABC，∴AC：AB＝AM：AC，∵AM＝4，BM＝5，∴AB＝AM+BM＝9，∴AC：9＝4：AC，∴AC＝6．故答案为：6．9．（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为30°．【分析】先利用基本作图得到∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAD＝180°﹣∠B＝60°，从而得到∠EAD＝30°．【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，∴∠EAD＝∠BAD＝30°．故答案为：30．10．（2023•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H，则线段DH的长是．【分析】过H作HQ⊥AC于Q，再根据勾股定理列方程求解．【解答】解：设DH＝x，过H作HQ⊥AC于Q，在矩形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∴AC＝10，由作图得：AG平分∠CAD，∴∠CAG＝∠DAG，∵∠D＝∠AQH＝90°，AH＝AH，∴△ADH≌△AQH（AAS），∴DH＝HQ＝x，AQ＝QD＝8，∴CQ＝AC﹣QA＝2，在Rt△CHQ中，有CQ2+QH2＝CH2，即：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，故答案为：．考向二：尺规作图画图【题型3作一条线段的垂直平分线】满分技巧线段垂直平分线的画图步骤：分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点；过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。1．（2023•陕西）如图．已知锐角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】先作∠ABC的平分线BD，再作BC的垂直平分线l，直线l交BD于P点，则P点满足条件．【解答】解：如图，点P即为所求．2．（2023•连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．【分析】（1）过B作AB的垂线即为过点B的⊙O的切线；（2）由AB＝AC，AB∥CE，可得∠BCF＝∠ACB，而点D在以AB为直径的圆上，BF为⊙O的切线，可得∠BDC＝∠BFC，即可证明△BCD≌△BCF，从而BD＝BF．【解答】（1）解：如图：过B作BF⊥AB，交CE于F，直线BF即为所求直线；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CE，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠BCF＝∠ACB，∵点D在以AB为直径的圆上，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵BF为⊙O的切线，∴∠ABF＝90°，∵AB∥CE，∴∠BFC+∠ABF＝180°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC，在△BCD和△BCF中，，∴△BCD≌△BCF（AAS），∴BD＝BF．【题型4作一个角的角平分线】满分技巧一个角的角平分线的画图步骤：1、以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于一点；2、分别以两个交点为圆心，相同适当长（大于两交点长的一半）为半径画圆弧，相交于一点；3、连结角的顶点与两弧交点并延长，则该射线即为所求作的角平分线。1．（2023•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．【分析】（1）如图，先作∠ABC的平分线交AC于点D，再作DO⊥AC交AB于O点，则以O点为圆心，OB为半径的圆满足条件；（2）⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，根据切线的性质得到OD⊥AC，再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA＝2r，接着求出r＝，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O与△ABC重叠部分的面积＝S扇形EOF+S△OBE进行计算．【解答】解：（1）如图，先作∠ABC的平分线交AC于点D，再过D点作AC的垂线交AB于O点，然后以O点为圆心，OB为半径作⊙O，则⊙O为所作；（2）⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，∵AC为⊙O的切线，∴OD⊥AC，OD＝r，∵∠C＝90°．∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴OA＝2r，∵AB＝4，∴2r+r＝4，解得r＝，∵OB＝OE，∠OBE＝60°，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠EOF＝120°，∴⊙O与△ABC重叠部分的面积＝S扇形EOF+S△OBE＝+×（）2＝π+．2．（2023•无锡）如图，△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5．（1）尺规作图：作菱形ADEF，使D、E、F分别在AB、BC、AC上；（2）题（1）中所作的菱形ADEF的周长为．【分析】（1）先作∠BAC的平分线AE，再作∠BED＝∠C交AB于D点，作∠CEF＝∠B交AC于F点，则四边形ADEF满足条件；（2）设菱形的边长为x，则AF＝EF＝x，CF＝6﹣x，再证明△CFE∽△CAB，根据相似三角形的性质得到＝，即＝，利用比例性质求出x，从而得到菱形的周长．【解答】解：（1）如图，菱形ADEF为所作；（2）设菱形的边长为x，则AF＝EF＝x，CF＝6﹣x，∵四边形ADEF为菱形，∴EF∥AD，∴△CFE∽△CAB，∴＝，即＝，解得x＝，即菱形的边长为，∴菱形的周长＝4×＝．故答案为：．3．（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是3﹣π．【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON⊥PA于N点，然后以O点为圆心，OM为半径作圆，则⊙O满足条件；（2）先利用切线的性质得到OM⊥PB，ON⊥PN，根据切线长定理得到∠MPO＝∠NPO＝30°，则∠MON＝120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM＝，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON进行计算．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）∵PM和PN为⊙O的切线，∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，∴OM＝PM＝×3＝，∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON＝2××3×﹣＝3﹣π．故答案为：3﹣π．4．（2023•常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心．①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接PQ，则PQ与BE的关系是PQ∥BE，PQ＝BE．【分析】（1）利用SSS即可证明△ABC≌△DEF；（2）①根据三角形的内心定义和角平分线的画法即可解决问题；②根据三角形的内心定义证明四边形PQEB是平行四边形，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：①如图，点Q即为所求；②PQ与BE的关系是：PQ∥BE，PQ＝BE，理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，∴BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，∴∠PBE＝∠ABC，∠QEF＝∠DEF，∴∠PBE＝∠QEF，∴PB∥QE，∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∴△ABG≌△DEH（ASA），∴BG＝EH，∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，∴BP＝EQ，∴四边形PQEB是平行四边形，∴PQ∥BE，PQ＝BE．故答案为：PQ∥BE，PQ＝BE．【题型5作一个三角形一边上的高线】满分技巧一个三角形一边上的高线的画图步骤：1、以边所对的顶点为圆心，顶点挨着的较短边为半径画弧，交边与两点（其中一点为边的端点）；2、作两交点间线段的垂直平分线，以虚线形式画，必过边所对的顶点；3、将垂直平分线中顶点到边的部分画成实线，表上字母，则该线段即为所求作的三角形的高线。1．（2023•广东）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°．（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．【分析】（1）由基本作图即可解决问题；（2）由锐角的余弦求出AE的长，即可得到BE的长．【解答】解：（1）如图E即为所求作的点；（2）∵cos∠DAB＝，∴AE＝AD•cos30°＝4×＝2，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2．2．（2023•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：△ABC．求作：点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高上．【分析】作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点为P点．【解答】解：如图，点P为所作．3．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．【分析】以C为圆心DE长为半径画弧交BC于F，连接CF，根据已知条件依次写出相应的解答过程即可．【解答】解：根据题意作图如下：由题知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD，故答案为：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．考向三：网格问题中的作图设计【题型5利用网格找符合题意的点】满分技巧1、找中点：则找矩形对角线交点；2、找三等分点：则转化为水平或竖直边的平行相似的相似比；1．（2023•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．（1）在图①中，△ABC的面积为；（2）在图②中，△ABC的面积为5；（3）在图③中，△ABC是面积为的钝角三角形．【分析】（1）先根据三角形的面积求出AB边上的高，再作图；（2）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图；（3）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图．【解答】解：如图：（1）如图①：△ABC即为所求；（2）如图②：△ABC即为所求；（3）如图③：△ABC即为所求．2．（2023•江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．【分析】（1）根据锐角三角形的定义及网格线的特点作图；（2）根据网格线的特点及垂线段最短作图．【解答】解：如图：（1）△ABC即为所求（答案不唯一）；（2）点Q即为所求．【题型6利用网格画符合题意的线】满分技巧1、画平行线：利用平行四边形的对边平行且相等画图；2、画垂线：利用正方形的十字架模型画图；1．（2023•深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；②连接OC，交⊙O于点D；③连接BD，与AC交于点E．（1）求证：DB为⊙O的切线；（2）求AE的长度．【分析】（1）根据“经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”，进行证明；（2）根据三角形相似的性质求解．【解答】解：如图：（1）∵AC是圆的切线，∴∠OAC＝90°，∴OC＝5，由题意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△DOB（SAS），∴∠ODB＝∠OAC＝90°，∵OD是圆的半径，∴DB为⊙O的切线；（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAO，∴，即：，解得：CE＝2.5，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．2．（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．【分析】根据网格线的特点及锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的意义作图．【解答】解：如图：图①△ABC即为所求锐角三角形；图②△ABD即为所求直角三角形；图③△ABCF为所求钝角三角形．3．（2023•广安）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的意义作图．【解答】解：如图：（建议用时：30分钟）1．（2023•乐至县）下列说法不正确的是（）A．方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根 B．若△A′B′C′由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等 C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线 D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等【分析】利用根的判别式，全等三角形的性质，基本作图，平行线的性质一一判断即可．【解答】解：A、方程3x2+5x﹣4＝0，Δ＝52﹣4×3×（﹣4）＝73＞0，∴方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故本选项正确，不符合题意；B、若△A′B′C′由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等，正确，本选项不符合题意；C、用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线，正确，本选项不符合题意；D、在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，错误这两个角也可能是互补，本选项符合题意．故选：D．2．（2023•贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG＝CD，进而得到BG的长．【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．∴∠ADG＝∠CDG，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CG＝CD＝3，∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．故选：A．3．（2023•黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（）A．2 B． C．4 D．【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．【解答】解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，∴OB＝OC，DN＝CN，∴ON＝BD，∵AB＝9，AC＝AD＝5，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4，∴ON＝×4＝2．故选：A．4．（2023•河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等【分析】根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明．【解答】解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：C．5．（2023•兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝（）A．35° B．30° C．25° D．20°【分析】根据平行线的性质及等腰三角形的性质求解．【解答】解：由作图得：a∥b，∴∠CON＝∠MNO＝35°，∵OA＝OB，C平分AB，∴OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠CON＝35°，故选：A．6．（2023•通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．求作：Rt△ABC的外接圆．作法：如图2，（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．下列不属于该尺规作图依据的是（）A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【分析】根据线段的垂直平分线的性质及直角三角形的性质作图判定．【解答】解：由作图得：PQ垂直平分AB，∴O为AB的中点，∴AO＝BO，∵∠C＝90°．∴CO＝AO＝BO，∴⊙O是△ABC的外接圆，故选：D．7．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为．【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，∴△BDE的面积：△BAC的面积＝（）2＝，∴＝，∴＝．故答案为：．8．（2023•荆州）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为1．【分析】由作图知PE垂直平分OC，CO平分∠AOB，根据线段垂直平分线的性质得到OE＝OC＝，∠PEO＝90°，根据角平分线的定义得到∠POE＝∠AOC＝＝30°，根据三角函数的定义得到EP＝OE×tan30°＝，根据角平分线的性质即可得到结论．【解答】解：由作图知PE垂直平分OC，OP平分∠AOB，∴OE＝OC＝，∠PEO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠POE＝∠AOP＝＝30°，∴EP＝OE×tan30°＝，∵PO平分∠AOB，∴点P到OA的距离＝PE＝1．故答案为：1．9．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则＝．【分析】先由作图得出BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，再根据三角形的面积公式求出△EFG和△DEG的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．【解答】解：由作图得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝CD＝4，∴AF＝EF＝2，∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，S△DEG＝x，则S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，∵AD∥BC，∴△EFG∽△BCG，∴＝（）2＝（）2＝，S△BCG＝12.5x，∴＝＝，故答案为：．10．（2023•营口）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝4．【分析】由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，求出CE＝DE＝3，由勾股定理可得出答案．【解答】解：由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，∵CD＝6，∴CE＝DE＝3，∵CA＝5，∴AE＝＝＝4，故答案为：4．11．（2023•威海）如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE＝15°．【分析】根据条件可以得到△ABE是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题．【解答】解：连接AE、BE，∵AE＝BE＝AB，∴△ABE是等边三角形．∴∠EAB＝60°，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，∵AE＝AD，∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，故答案为：15．12．（2023•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的长为；（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．．【分析】（1）利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）AB＝＝．故答案为：；（2）如图，点Q即为所求；方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，∵AC＝CB，∴△ACP≌△BAQ（ASA），∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴△PCQ是等边三角形．故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．13．（2023•眉山）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为．【分析】先判断DG为△BCE的中位线，再根据三角形相似求解．【解答】解：由作图得：MN垂直平分AB，∴AE＝BE＝AB，∵DG∥CE，∴AD是中线，∴GB＝EG＝BE＝AB，∴GD为△BCE的中位线，∴CE＝2GD＝4，∵DG∥CE，∴△AEF∽△AGD，∴，即：，解得：EF＝，∴CF＝EC﹣EF＝4﹣＝，故答案为：．14．（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；（2）证明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出结论．【解答】（1）解：如图所示，即为所求，（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴DE＝BE．15．（2023•襄阳）如图，AC是菱形ABCD的对角线．（1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数．【分析】（1）按照尺规作图的要求作出边AB的垂直平分线即可；（2）由菱形的性质得∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，则∠BAC＝∠BCA＝20°，由线段的垂直平分线的性质得AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAC＝20°，则∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝120°．【解答】（1）作法：1．分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，交于点M、点N，2．作直线MN交AB于点E，交AC于点F，直线MN、点E、点F就是所求的图形．（2）解：连接FB，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣140°）＝20°，∵MN垂直平分AB，点F在MN上，∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAC＝20°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝140°﹣20°＝120°，∴∠CBF的度数是120°．16．（2023•盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．（1）求证：AC＝AD．（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】（1）证明△ABC≌△AED（SAS），即可解决问题；（2）根据等腰三角形的性质和尺规作图方法即可解决问题．【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD；（2）解：如图AF即为所求．17．（2023•金昌）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取＝＝；②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．【分析】根据题中的步骤作图．【解答】解：如图：点G、D、H即为所求．18．（2023•陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作BD的垂直平分线与AD，BC的交点即可．【解答】解：如图所示：E、F即为所求．19．（2023•朝阳）如图1，在▱ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于▱ABCD的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．小明的作法①如图2，连接AC，BD相交于点O．②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H．③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G．④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半吗？请说明理由．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到OA＝OC，AB∥CD，则∠OAF＝∠OCH，再证明△AOF≌△COH得到OF＝OH，同理可得OE＝OG，于是可判断四边形EFGH是平行四边形，然后利用EG⊥FH可判断四边形EFGH是菱形；（2）先证明四边形AFHD为平行四边形得到FH＝AD，再根据菱形的面积公式和平行四边形的面积公式得到菱形EFGH的面积＝平行四边形ABCD的面积的一半．【解答】解：（1）小明所作的四边形EFGH是菱形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAF＝∠OCH，在△AOF和△COH中，，∴△AOF≌△COH（ASA），∴OF＝OH，同理可得OE＝OG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是菱形；（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半．理由如下：∵FH∥AD，AB∥CD，∴四边形AFHD为平行四边形，∴FH＝AD，∵菱形EFGH的面积＝FH•EG，平行四边形ABCD的面积＝AD•EG，∴菱形EFGH的面积＝平行四边形ABCD的面积的一半．20．（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）【分析】（1）先做直角，再截取做三角形；（2）根据平行四边形的性质证明．【解答】解：（1）如图：Rt△ABC即为所求；（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，求证：CE＝AB，证明：延长CE到D，使得DE＝CE，∵CD是AB边上的中线，∴BE＝AE，∴四边形ACBD是平行四边形，∵∠BCA＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴CE＝CD＝AB．21．（2023•巴中）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．（1）求证：四边形BDEF是菱形．（2）若AC＝4，求△AFD的面积．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到D是BC的中点，求得△BED是等边三角形，得到BE＝BD＝DE，由作图知，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠FDB，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠FDB，求得∠EFD＝∠RDF，推出四边形BDEF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，根据菱形的性质得到AG⊥FD，FG＝GD，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝AB，∵E为AB中点．∴，∴BD＝DE，∴△BED是等边三角形，∴BE＝BD＝DE，由作图知，DF平分∠EDB，∴∠EDF＝∠FDB，∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠FDB，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，∵DE＝BD，∴四边形BDEF是菱形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，∵AC＝4，∴＝2，∵四边形BDEF是菱形，∴AG⊥FD，FG＝GD，在Rt△AGD中，∵∠BAD＝30°，∴，∴，∴．（建议用时：30分钟）1．（2023•扶余市四模）如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．【分析】点P到点A、点B的距离相等知点P在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．【解答】解：∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故选：C．2．（2023•镇平县模拟）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】利用基本作图得到OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△A'O'B'≌△AOB，然后根据全等三角形的性质得到∠A'O'B'＝∠AOB．【解答】解：由作图痕迹得OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，所以△C'O'D'≌△COD（SSS），所以∠A'O'B'＝∠AOB．故选：D．3．（2023•衡阳模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（）A．68° B．56° C．45° D．54°【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故选：B．4．（2024•潮州模拟）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，则AP＝BP，进而可得AC+BP+PC＝3+BC＝10，即可得出答案．【解答】解：由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，∴AP＝BP，∵△ACP的周长为10，∴AC+AP+PC＝10，即AC+BP+PC＝3+BC＝10，∴BC＝7．故选：B．5．（2024•广平县模拟）在给定的平行四边形ABCD中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：如图（1），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM是菱形．乙：如图（2），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线GH交BC于点K，连接EK，则四边形ABKE是菱形．下列判断正确的是（）A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错【分析】甲：根据作图过程可得有一组邻边相等的平行四边形是菱形；乙：根据作图过程可得GH是BE的垂直平分线，然后证明△AOE≌△KOB（ASA），可得OA＝OK，判断四边形AEKB是平行四边形，根据AK⊥BE，即可得四边形AEKB是菱形．【解答】解：甲正确，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，根据作图过程可知：AM＝AB，BN＝AB，∴AM＝BN，∴四边形AMNB是平行四边形，∵AM＝AB，∴四边形AMNB是菱形，故甲的说法正确；乙正确，理由如下：如图（2），连接BE交AK于点O，根据作图过程可知：GH是BE的垂直平分线，∴AK⊥BE，OB＝OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠KBO，∵∠EOA＝∠BOK，在△AOE和△KOB中，，∴△AOE≌△KOB（ASA），∴OA＝OK，∵OB＝OE，∴四边形AEKB是平行四边形，∵AK⊥BE，∴四边形AEKB是菱形，故乙的说法正确，故选：C．6．（2024•台安县一模）如图，已知菱形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣4，0），按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点B，与AC交于点D，则点D的坐标为（）A．（，﹣5） B．（﹣5，） C．（1，﹣4﹣） D．（﹣4﹣，1）【分析】连接AB，过点D作DE⊥x轴于点E，根据线段垂直平分线和菱形的性质可得△ABC为等边三角形，进而可得∠DAE＝60°，在Rt△ADE中，利用三角函数求出DE，AE的长，从而可得答案．【解答】解：连接AB，过点D作DE⊥x轴于点E，由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，∴BC＝AB，AD＝，∵四边形AOBC为菱形，A（﹣4，0），∴OA＝AC＝BC＝4，∴AD＝2，BC＝AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠DAE＝60°，在Rt△ADE中，DE＝AD•sin60°＝2×＝，AE＝AD•cos60°＝＝1，∴OE＝OA+AE＝4+1＝5，∴点D的坐标为（﹣5，）．故选：B．7．（2023•临淄区一模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DEA的度数是（）A．35° B．60° C．70° D．85°【分析】由题可得，直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：由题可得，直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，∴AD＝BD，∠DAE＝∠CAE，∴∠B＝∠BAD＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠DAE＝∠CAE＝∠DAC＝35°，∴∠DEA＝∠C+∠CAE＝85°．故选：D．8．（2023•三亚模拟）如图，已知AB∥CD，∠BFC＝126°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为（）A．22° B．26° C．27° D．36°【分析】先根据平行线的性质求出∠DCF，再根据角平分线的性质求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠BFC＝126°，∴∠DCF＝180°﹣∠BFC＝54°，由作图得：BC平分∠FCD，∴∠BCD＝∠DCF＝27°，故选：C．9．（2024•平舆县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，且A（0，2），C（4，0）．点E为OC上一点，连接AE，射线AF⊥AE．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AE，AF于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点G．若OE＝1，则点G的坐标为（）A．（4，） B．（4，1） C．（4，） D．（4，）【分析】延长CB交射线AF于点Q，过点G作GH⊥AF于点H，求出CG，可得结论．【解答】解：延长CB交射线AF于点Q，过点G作GH⊥AF于点H，如解图所示．∵AE⊥AF，四边形ABCO是矩形，∴∠EAF＝∠OAB＝90°，∴∠OAE＝∠BAF，∵GH⊥AF，∴∠GHF＝∠ABQ＝∠AOE＝90°，∵∠AQB＝∠CQH，∴△GHQ∽△ABQ∽△AOE，∴，∴GH＝2HQ，．∴．由作图的步骤，可知AP平分∠EAF，∴∠HAG＝45°．又∵GH⊥AF，∴AH＝HG．设HQ＝x，则AH＝HG＝2x．∴AQ＝AH+HQ＝3x，即．∴．∴．∴．∴．∴点G的坐标为，故选：A．10．（2024•河东区模拟）如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以AB为直径作圆，点M为的中点．（Ⅰ）线段AB的长度等于．（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得∠MAP＝3∠BMP，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；（Ⅱ）取格点T，连接AT，BT，A