2024年中考数学复习第19讲 直角三角形（练习）（解析版）

第19讲直角三角形

录

题型过关练

题型01

利用直角三角形的性质求解

型

题02

根据已知条件判定直角三角形

型

题03

与直角三角形有关的面积计算

型

题04

利用勾股定理求线段长

型

题05

利用勾股定理求面积

型

题06

已知两点坐标求两点距离

型

题07

判断勾股数问题

型

题08

勾股定理与网格问题

型

题09

勾股定理与无理数

型

题10

以直角三角形三边为边长的图形面积

型

题11

利用勾股定理证明线段的平方关系

型

题12

勾股定理的证明方法

型

题13

以弦图为背景的计算题

型

题14

利用勾股定理构造图形解决问题

型

题15

利用勾股定理解决实际问题

型

题16

型勾股定理与规律探究问题

题17

型在网格中判定直角三角形

题18

型

题19利用勾股定理逆定理求解

利用勾股定理解决实际生活问题

真题实战练

题型01利用直角三角形的性质求解

I.（2023•广东梅州•统考一模）如图,已知III4B,CD12于点D,若4C=40。，则乙1的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】根据直角三角形的性质求出ZCE。，再根据平行线的性质解答即可.

【详解】解：在RtACDE中,“DE=90。,LDCE=40%

r

则,CED=90°-40°=50°,

•・Ylh4B,

Azi=Z.CED=50°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键.

2.（2023•广东中山•校考一模）如图，在Rta/IBC中，Z,ABC=90%4C=60。，点。为边4c的中点，BD=2,

则8。的长为（）

A.V3B.2V3C.2D.4

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理可得N4=30。，由直角三角形斜山上的中线的性质得出AC=28D=4,再利用

含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：・・・NA8G90。，ZC=60°,

/.NA=30。,

丁点。为边AC的中点，BD=2

：,AC=2BD=4,

：.BC=-AC=2,

2

故选:c.

【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质

等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

3.12021・河南信阳•统考一模）如图，在菱形48CD中，对角线AC、8D相交于点。，“为BC中点，AC=6,BD=

8.则线段。”的长为：（）

A.-B.-C.3D.5

52

【答案】B

【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有AO=OC=3,8。=。。=4,又因为“为

BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答.

【详解】解：:四边形A8CO是菱形

：.AC1BD,AO=OC=3,BO=OD=4

•••△8OC是直角三角形

：.BO2+OC2=BC2

•・•〃为8c中点

・・・**

故最后答案为

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的

性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键.

4.（2022・广东广州・统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC。的顶点A,B分别在3轴的正半轴

和I轴的正半轴上，当8在x轴的正半轴上运动时，4随之在），轴的正半轴上运动，矩形4BC7）的形状保持

不变.若NOA8=30。时，点A的纵坐标为20，点C的纵坐标为1,则点。到点O的最大距离是（）

A.2A/5B.2&+2C.2&+4D.273+4

【答案】B

【分析】由R/ZXAOB中的条件可得48=4,由△AOBsaBf'C,可得BC=2,再AB上取一点E,利用勾股定

理求出OE,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出0£由三角形两边之后大于第三边可求出。。最

大值.

【详解】解：取A4中点£连接。瓜OE、OD,过C作CFJ_此与点F,

在R/4A0B中，AO=2V3,NO4B=30。，

・••止4,OE=-AB=2=AE,

2

由矩形的性质，可得A。=BC,NDA8;NA8G90。，

/.△AOBsgFC,

•••C的纵坐标为I,

：.BC=2=AD；

在中，DE=2x/2,

当。、D、E三点共线时，OO=QE+OE最大，

此时0。=2/+2；

故选：B.

【点睛】本题考查相似二角形的性质，直角二角形的性质，二角形二边关系，根据性质求出相应线段，根

据两边之和大于第三边求出最大值是解题的关键.

题型02根据已知条件判定直角三角形

5.(2022・重庆・重庆市松树桥中学校校考模拟预测)已知A/WC的三条边分别是Q、氏c,则下列条件中不

能判断△力8c是直角三角形的是()

A.a:b:c=3:4:5B.Z.C=z/14-Z.F

C.Z.A:Z.B:LC=1:5:6D.Z.A:Z.B:Z.C=3:4:5

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理判定A正确，利用三角形内角和定理判定B和C正确、D错误.

【详解】解：A、设0=3匕b=4k,c=5k,

V(3/c)2+(4/c)2=(5/c)2，

即a?4-b2=C2,

・••三角形是直角三角形，

正确；

B、VZA+ZB+ZC=180°,

NONA+N4,

/.2ZC=180°,

BPZC=90°,

正确；

C、设NAr。，ZB=5x°,ZC=6x°,

乂三角形内角和定理得x+5x+64180,

解得6尸90.

故正确；

D、设NA=3H,ZB=4x°,ZC=5x°,

又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180,

5户75,

故不是直角三角形，

错误；

故本题选择D.

【点睛】本题考查宜角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、证明最大角是直角.

6.（2022.云南昆明.统考二模）己知实数-），，2满足（X-5）2+百=^+忆-13|=0,则以x,y,z的值

为边长的三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断

【答案】B

【分析】根据平方式、算式平方根和绝对值的非负性求出x、y、z,再根据勾股定理的逆定理判断即可.

【详解】解：•••实数x,y,z满足（工一5）2+五二^+|2-13|=0,

工户5,y=12,z=13,

V52+122=132,・・・X2+）?=Z2

工以x,y,z的值为边长的三角形是直角三角形，

故选B.

【点睛】本题考查平方式、算式平方根和绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握非负性是解答的

关键.

7.（2022・安徽合肥・合肥38中校考一模）已知lAABC的三边长分别为小b,c,选择下列条件中的一个，能

判断A4BC是直角三角形的是（）

®ZA=ZB-ZC；②/=（b+c）（b-c）：③NA：ZC=3：4：5；@a：b：c=3：4：5

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可.

【详解】①・・・NA=N4-ZC,

/.NA+NC=N8,

*/NA+/3+NC=180°,

AZB=90°,

工是直角三角形，

故①是直角三角形；

②；/=（b+c）（b・c）,

/.a2=b2-c2,

cr+（r=b2,

故②是直角三角形；

③7/A：NB：NC=3：4：5,

ZZ+ZB+ZC=I8O°,

AZC=75°,

故③不是直角三角形；

④b：c=3：4：5,

.\32+42=52,

J,.a2+b2=c2,

故④是直角三角形；

是直角三角形的三角形有3个①②④

故选：C.

【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要

利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算.

题型03与直角三角形有关的面积计算

8.（2023•广东佛山・统考二模）如图，在△ABC中，乙4=30。，/.ACB=90°,BC=4,以点A为圆心，4c长

为半径画弧，交4B于点C,则图中阴影部分的面积是（）

A.8^/3—47rB.8V3-2TTC.16V3-87TD.16V3-4/r

【答案】A

【分析】根据直角三角形的性质得到AC=4百，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：•・•在中，LA=30°,^ACB=90°,8c=4,

：.AB=2BC=8,AC=V82-42=4百，

**•阴影部分的面积=S&ACB-S扇形"D=gx4x4\/3-却"；：；®=8百-4TT,

故选：A.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含31r角的直角二角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

9.（2023•山东泰安・统考一模）如图，RtZkZBC中，乙4=30。,乙48c=90。，将Rt△4BC绕点8逆时针方向

旋转得到△48C—此时恰好点。在HC」:，48交AC于点E,则△A8E与△A8C的面积之比为（）

【答案】D

【分析】由旋转的性质得出BC=8C',乙4c8=WB=60°,则△BCC'是等边三角形,ACBC=60°,

得出乙8区4=90。，设CE=a,则BE=V5a,AE=3a,求出会二:,可求出答案.

AC4

【详解】VZJ4=30°,2G4BC=90°,

：.LACB=60°,

由旋转得：BC=BC,^ACB=LA'CB=60°,

・・・A8CC'是等边三角形，

：.LCBC=60°,

：.LABA'=60°,

：.LBEA=90°,Z-CBE=^A=30°,

设CE=a,则BC=2a,AC=2BC=4a,

:.由勾股定理得BE=V3a,AE=AC-CE=3a,

.AE3

••=一,

AC4

•・・zM8E与△力8c同高,

.•・△48£与4力BC的面积之比为2.

4

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋

转的性质是解题的关键.

10.（2022・山东济南•模拟预测）如图，在Rt^ABC中，=90。，ZC=30°,以点A为圆心，任

意长为半径作弧，分别交边AB,4c于点P,Q：再分别以点P,Q为圆心，以大于：PQ的长

为半径作弧，两弧交于点E，作射线AE交BC于点F.设AABF,AABC的面积分别为S1，S?,

则金的值为（）

S2

A.-B.-C.-7=D.-

23代4

【答案】B

【分析】根据作图过程可知：AF^ABAC的平分线，设BF=x，在Rt^ABC中，/_B=90°,"=30°,

则在Rt^ABF中，FA=2x,分别表示出Si.S2,即可求解.

【详解】解：根据作图过程可知：是NB4C的平分线，

：.LBAF=LCAF=-£.BAC,

2

'：LB=90°,乙C=30°,

：.LBAC=60°

：.2.BAF-^.CAF--^.BAC-30°,

2

：.ACAF=zc=30°

：.FA=FC

设BF=x,则在Rt△ABF中，FA=2x

:.FC=FA=2x,BC=BF+FC=x+2x=3x,

13x

・.・&=9・AB/至S2.BJAB=”B'

・S1二28二1

飞~AB3

故选B.

【点睛】本题考查了先平分线的作图，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性

质是解题的关键.

11.(2022•浙江金华•统考一模)把一副「角尺如图所示拼在一起，其中AC边长是2逐，则△ACO的面枳是

()

A.4A/2B.6C.4V3D.6或

【答案】C

【分析】根据勾股定理得到BC=VAC?+482=4g,根据直角三角形的性质得到。。二弓AC=4,过人作

人石_LCO交。。的延长线于E,根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：VZCAB=90°,ZACB=ZABC=45°,AC=2限,

:,AC=AB=2瓜

:・BC=ylAC2+AB2=4V3,

VZBCD=90°,NCBD=30。,

：.CD=—BC=4,

3

过A作AELCD交DC的延长线于E,

••・NEC8=90。，

:.N4CE=45。，

:.AE2+CE2=AC2,

：,AE=—AC=2y/3

2f

:.AACD的面积=1CD*A£=gx4x26=4技

故选:c.

【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

题型04利用勾股定理求线段长

12.（2021•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示,

若水面宽48=48cm,则水的最大深度为（）

A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm

【答案】C

【分析】过点O作。。_L4B于。，交。。于E,连接04,根据垂径定理即可求得A。的长，又由。。的直

径为52cm,求得QA的长，然后根据勾股定理，即可求得。。的长，进而求得水的最大深度OE的长.

【详解】解：过点。作于。，交。O于E,连接04,

由垂径定理得：AD=^AB==24cm,

•••。0的直径为52c771,

0A=OE=26cm,

在中，由勾股定理得：0D=70Az一一。2="262-242=10C7TI,

:.DE=0E—。。=26—10=16cm,

工水的最大深度为16sn,

故选：C.

【点睛】本题主要考看了垂径定理的知识.此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三

角形，利用勾股定理解决.

13.（2022・云南昆明,官渡六中校考一模）在448c中，"EC=90。，若AC=100,sin力=则48的长是（）

A.出B.蚪C.60D.80

35

【答案】D

【分析】根据二角函数的定义得到“。和AC的比值，求出〃C,然后利用勾股定理即可求解.

【详解】解：VZA5C=90°,sinZA=^=^AC=100,

ABC=100x3^5=60,

:.4c2-8C2=80,

故选D.

【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.

14.（2023•辽宁沈阳•模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择

两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形0ABC.若OC=5BC=1,乙AOB=30°,

贝1」0力的值为（）

图2

C.\f2D.1

【答案】A

【分析】根据勾股定理和含30。角的直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：•:乙OBC=9。。,OC=y[5,BC=1,

:.OB=y/OC2-BC2=J（布）2-I2=2

•••N力=90°,乙AOB=30°,

.•.4B=RB=1,

•••OA=yJOB2-AB2=V22-l2=用,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30。角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解

题的关键.

题型05利用勾股定理求面积

15.（2022・四川内江•四川省内江市第六中学校考一模）若直角三角形的两边长分别是方程/-7%+12=0

的两根，则该直角三角形的面积是（）

A.6B.12C.12或乎D.6或手

【答案】D

【分析】根据题意，先将方程/-7%+12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜

边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可.

【详解】解方程/一7%+12=0得%=3,x2=4

当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为：X3X4=6；

当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为二孕=夕，面枳为gx夕X3=孚；

则该直角三角形的面积是6或呼，

故选:D.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练

掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键.

16.（2023•河南南阳•统考三模）如图，在正方形4BCD中，48=4cm,在等腰直角三角形EFG中，HEG=90°,

FF=10cm.边与FG在同一直线上.CF=8cm.若正方形45CD以2cm/s的速度沿直线向右运动，经过.

s,此三角形和正方形重置部分的面积是4cm2.

E

D

C

【答案】（4+e）或（6+4近）

【分析】分两种情况讨论，当CD交£广于点〃和力B交EG于点H时.，利用等腰直角三角形的性质以及三角形

的面积公式即可求解.

【详解】解：•・•在等腰直角三角形EFG中，

LEFG=45°,

当CD交EF于点H时,

:•乙HFC=乙FHC=45°,

.••设b=CH=x,

由题意得=4,

解得％=2^2,即CF=CH=2&,

，点C移动的距离为8+2企，

所用时间为巴乎=4+或（s）；

当交EG于点”时，

:.乙HGB=乙BHG=45°,

同理，得BG=BH=2\[2,

：,CG=4-BG=4-2V2,

•・•在等腰直角三角形EFG中，AFEG=90°,EF=10cm,

:.FGMEEF=\。鼻,

，点C移动的距离为8+10V2+4-2a=12+8VL

所用时间为殁底=6+4或(s)；

故答案为：(4+甸或(6+4&).

【点睛】本题主要考查了平移的性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰直角

三角形的性质.

17.(2。23・广东潮州•统考模拟预测)如图，△出汨是等腰直角三角形，AC经过点儿过点次作!MlAC,过

点。作DCIIB4若4。=10,CD=8,求△BOE的面积.

【分析】由等腰直角三角形的性质得出BE=OE,乙BED=9。。,证明△4E8三△CDE(AAS),由全等三角形

的性质得出CO=4。求出CE的长，由三角形面积公式可得出答案.

【详解】解：•••△BE。是等腰直角三角形，

：.BE=DE,ABED=90°,

：.LAEB+Z.CED=90。，

,：BALAC,

・・.乙4=90。，

：.LAEB+ABE=90°,

：.LABE=MED,

\'DC\\BA,

：,LC=180。一乙4=90°=乙4,

・入AEB三△COE(AAS),

：.CD=AE,

*：AC=10,CD=8,

：,CE=AC-AE=2,

在DUE中，由勾股定理得：DE3=EC24-CD2=68,

,•S&BDE=2^^二%.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明△HE8三△6?/)£是

解题的关键.

题型06已知两点坐标求两点距离

18.(2022・广东中山♦校联考一模)在平面直角坐标系中，点(3：-2)到原点的距离是—.

【答案】V13

【分析】根据两点的距离公式计算求解即可.

【详解】解：由题意知点(3,-2)到原点的距离为J(3-0尸+(—2—0尸=同

故答案为：713.

【点睛】本题考查了用勾股定理求解两点的距离公式.解题的关键在于熟练掌握距离公式：4H1，%)、

8(%2，乃)两点间的距离公式为4B=yj(x1-x2y+(y1-y2y.

19.(2022.宁夏银川・银川市第三中学校考模拟预测)阅读下列一段文字，然后回答卜.列问题.已知在平面

内两点P/(XI，9)、Pl(X2，＞2)，其两点间的距离—无2/+(力—%/，同时，当两点所在的

直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为民■刈或仇-_y/|.

(1)已知A(2,4)、8(-3,-8),试求4、8两点间的距离；

⑵已知4、8在平行于)，轴的直线上，点A的纵坐标为4,点B的纵坐标为-1,试求4、8两点间的距离;

(3)已知一个三角形各顶点坐标为D(I,6)、E(-2,2)、F(4.2),你能判定此三角形的形状吗？说明理

由.

【答案】(1)A8=13

(2)AB=5

(3)ADEV是等腰三角形，理由见解析

【分析】(1)直接套公式^(基一、)2+(力一丫?)?即可求解;

(2)根据题干中“当两点所在的直线平行于坐标轴或垂直于坐标轴对，两点间距离公式可简化为必-回或值・

刈”即可求解;

(3)套公式-Qi+(力一ya)?求出三角形三边的长度即可求解♦

【详解】(1)解：由题意可知4、I两点间的距离为J(2+3)2+(4+8)2=13,

故a、B两点间的距离为13.

(2)解：由题意可知，直线平行y轴，

3两点之间的距离为4.(・1)=5.

(3)解：△£>£尸是等腰三角形，理由如下：

22

DE=7(-2-I)4-(2-6)=5?

EF=，(4+2)2+(2-2)2=6,

DF=J(4-1。+(2-6)2=5,

:・DE=DF,

・•・△£)£：?是等腰三角形.

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点之间距离的求法，其本质是勾股定理的应用，读懂题意即可求

解.

题型07判断勾股数问题

20.(2023.陕西西安.陕西师大附中校考三模)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，

经隅五”，我国占代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦观

察下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为

1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17：…，若此类勾

股数的勾为10，则其弦是.

【答案】26

【分析】根据规律可得，如果M是符合同样规律的一组勾股数，Q=m(m为偶数且血工4),根据所给

的二组数找规律可得结论.

【详解】根据规律可得，如果。力c是符合同样规律的一组勾股数，a=m(机为偶数且mN4),则另一

条直角边b=管丫-1,弦c=⑨之十1.

则弦为(当)+1=26,

故答案为：26.

【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键.

21.(2022•河北石家庄•校联考三模)已知：整式力二九2+1,B=2n,C=n2-l,整式C>0.

(1)当n二1999时，写出整式4+B的值______(用科学记数法表示结果)；

(2)求整式42一82；

(3)嘉淇发现：当几取正整数时，整式4、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由.

【答案】(1)4x106

⑵(M-1产

(3)王确，理由见解析

【分析】(1)根据题意可得，4+8=(/+1+2几)=(九+1)2,把刀=1999代入计算应用科学记数法表

示方法进行计算即可得出答案；

(2)把A=n2+1,8=2九，代入42—B2中，可得(彦+1尸一(2n)2,应用完全平方公式及因式分解的方

法进行计算即可得出答案；

(3)先计算辟+。2=(2n)2+(九2一1)2,计算可得(M+1)2,应用勾股定理的逆定理即可得出答案.

(详解】(1)解：A+B=(n24-1+2n)=(n+l)2,

当人=1999时，

原式=(1999+l)2

=20002

=4xl06；

故答案为：4X106；

(2)A2-B2=(n2+I)2-(2n)2

=(n2)24-2n2+1-4n2

=(n2)2-2n2+1

=(n2-l)2；

(3)嘉淇的发现正确，理由如下：

vB2+C2=(2n)2+(n2—l)2

=4n2+(n2)2—2n2+1

=(n24-1)2,

:.B2+C2=A2,

二当九取正整数时，整式4、B、。满足一组勾股数.

【点睛】本题主要考杳了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计

算方法进行求解是解决本题的关键.

22.(2019♦安徽马鞍山•校联考二模)若正整数a,b,cCa<b<c)满足。2+/=/,则称(〃，力，c)为一组

“勾股数”.

观察卜列两类“勾股数”：

第一类（。是奇数）:（3,4,5）；（5,12,13）：（7,24,25）；...

第二类（。是偶数）：（6,8,10）；（8,15,17）；（10,24,26）；...

（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；

（2）分别就。为奇数、偶数两种情形，用。表示方和c,并选择其中一种情形证明（a,b,c）是“勾股数”.

【答案】（1）第一组（〃是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（〃是偶数）：12,35,37（答案不唯

一）；（2）当。为奇数时，b=三4c=三2；当。为偶数时，5=-c=?+l；证明见解析.

2244

【分析】（1）根据勾股数的定义因可得到结论；

（2）当〃为奇数时，当〃为偶数时，根据勾股数的定义即可得到结论.

【详解】（1）第一组（。是奇数）：9,40,41（答案不唯一）：

第二组（“是偶数）：12,35,37（答案不唯一）；

（2）当〃为奇数时，b=三二，c=三匚；

22

当。为偶数时，b=三—1,c=：+l；

44

证明：当〃为奇数时，a2+b2=a2+=（哼B=c?,

:.（〃，b,c）是“勾股数”.

当〃为偶数时，a2+b2=a2+（Y_1）=（9+1）=占

・•・（〃，b,c）是“勾股数”

【点睛】本题考查了勾股数，数字的变化类■规律型，读懂表格，从表格中获取有用信息进而发现规律是

解题的关键.

题型08勾股定理与网格问题

23.（2020・山东聊城•统考模拟预测）如图，在4x5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△48C的

顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin乙4cB的值为（）.

【答案】D

【分析】过点A作/1D1BC于点。，在RtA/lCO中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定

义计算即可.

/.s\nz.ACB=臆=g，

故选：D.

【点睛】本题考杳了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键.

24.（2022•陕西西安•交大附中分校校考模拟预测）如图，在9x5的网格中，每个小正方形的边长均为1,点

A,B,C都在格点上，若8。是N4BC的平分线，则BD的长为（）

【答案】A

【分析】利用勾股定理求出力8、BC、"的长，可得△48C为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得40

的值，继续用勾股定理即可求出5D的值.

【详解】解：由题可知，AB=5,BC=V324-42=5,AC=V92+32=3710,

AB=BC,

又•••80平分乙4BC,

...AD=^AC=^-t且801AC、即三角形A8。是直角三角形，

二BD=yjAB2-AD2=卜一（噜）2=祟

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理是解题的关键.

题型09勾股定理与无理数

25.（2020•河南•模拟预测）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原

点为O,在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作AB_LOA,使AB=3（如图）.以O为圆心，OB的长

为半径作弧，交数轴正半轴于点P,则点P所表示的数介于（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】C

【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案.

【详解】由作法过程可知，OA=2,AB=3,

VZOAB=90°,

：，OB=y/OA2+AB2=V22+32=V13,

・・・P点所表示的数就是g,

,:病<V13<代，

A3<yfl3<4,

即点P所表示的数介于3和4之间，

故选C.

【点睛】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的

关键.

26.（2022•广东佛山・西南中学校考三模）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术日：勾股各自乘,

井而开方除之，即弦”.即c=78十，（a为勾,b为股,c为弦），若“勾”为2,“脱'为3,则“弦“最接近的

整数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】首先利用勾股定理求出“弦”，然后利用算术平方根的性质估计其最接近的整数.

【详解】解：依题意“弦”为配百=g,

而3.5=V1225<>/13<^=4,

.木弦”最接近的整数是4.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用勾股定理进行计算，同时也利用了算术平方根的性质估计无理数的大小.

27.（2019•浙江杭州•模拟预测）如图所示，数轴上点4表示的数是-1,。是原点，以4。为边作正方形AOBC,

以4为圆心、力8长为画弧交数轴于片、P2两点，则点Pi表示的数是，点P?表示的数是（结果精

确到0.1,参考数据：V21.41,731.73）.

-3-2-1AOP2123

【答案】-2.40.4

【分析】首先根据题意求得力。=80=1,再利用勾股定理求得力8=V2,然后根据题意可得HP】=AP2=

AB=a,最后根据数轴上点的相对位置求得点所表示的数.

【详解】解：•・•点4表示的数是-1,。是原点，以4。为边作正方形力。8c

••AO=BO=1

=y/AO2+BO2=V2

•・•以A为圆心、AB长为画弧交数轴于P1、P2两点

.\APi=AP2=AB=y/2

，点尸1表示的数是一1一企右-2.4：点P?表示的数是一1+V2«0.4.

故答案是:—2.4；0.4

【点睛】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理，还涉及到了正方形的性质、圆的性质等，能利用勾股定

理求得48=&是解题的关键.

题型10以直角三角形三边为边长的图形面积

28.（2020・浙江•一模）如图来自占希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个

半圆的直径分别为直角三角形力8C的斜边8C,直角边灰色部分面积记为Si，黑色部分面积记为§2,

白色部分面积记为S3,则（）

A.Sr=S2B.S2—S3C.Si=S3D.Sj=S2—S3

【答案】A

【分析】由勾股定理，由整个图形的面枳减去以AC为直径的半圆的面枳，即可得出结论.

【详解】RQA8C中，

,：AB2^AC2=BC2

・・・S2=）G甸2+扛（次）2一1（）。）2+S.ABC

=^n（AB2+AC2-BC2）+S

O6ABC

=S].

故选A.

【点睛】本题考查了勾股定理、圆面积公式以及数学常识；熟练掌握勾股定理是解题的关键.

29.（2019•内蒙占鄂尔多斯•校联考一模）如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、

等腰直角三角形和正方形，上述囚种情况的面积关系满足S|+S2=S3的图形有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【详解】解：(1)Si=—a2>S2=—^2,S3=—c2»\,a2+b2=c2—a2+—b2=—c2,/.Si+S7=S^.

444444f

)222222222

(2)S=—4a,S4z=—b4>Si=—c♦Va+b=c,—4a+4—b4=—c>Si+S2=S1.

(3)Si=-a2>S2=-b2,S3=-C2»*.*a2+b2=c2,.*.-a2+-b2=-c2,/.Si+82=83.

444444

(4)Si=a2,S2=b2,S3=c2,Va2+b2=c2,.*.81+82=83.

综上，可得：面积关系满足Si+S尸S3图形有4个.

故选D.

30.(2021・江苏无锡•校考二模)如图，町AABC中，NACB=90。，4C=8,BO6,分别以48、AC.BC为边

在A8的同侧作正方形A4北、AC卜G、BC1H,四块阴影部分的面积分别为S/、出、S3、%Wl5/+52+5J+5>

等于__________.

【分析】过D作B尸的垂线交BF于N,连接川，容易证得ZL4cB兰ABND,AACB兰ZL4GE,则有%4c8=SABND,

SAACB=Si；根据DN=G,DN//CLz/VC/=90°,可证得四边形ONG是矩形，即。、/、〃三点共线，根

据AAS可证4MND三4。。氏△EFM川。则有S^MND=S/OCB，S2=SR^Dor可得S3=SRC「则SI+

S2+S3+S4=3SRSA8C，据此求解即可，

【详解】解：如图示，过。作8户的垂线交B尸于N,连接川，

F

F^\M「二

'：AB=AD,Z.ACB=乙BND=9。°,Z.ABC+Z.CAB=Z.ABC+乙NBD=90°

：.LCAB=乙NBD

：.6ACBABND,

**^ACB=S^BND'

同理可证44Q?^AAGE,

•*•S^ACB=S]>

：・DN=BC=CI,AC=BN,

贝I」有"=BN

•・NDNC=乙ICB=90°

：.DN//Ch

•••四边形ONG是平行四边形，

•••/NG=90°,

二四边形DNG是矩形，

乙DIC=90°,

：.D、/、，三点共线，

■:乙MDN+乙NDB=4DBN+乙NDB=90°

：・&MDN=Z-DBN

又YND=CB,乙MND=Z.OCB=90°,

:"MND三AOCB

**•乙DMN=Z.BOC»MN=OC，并有：S4MND=^AOCB^

•••S3=SRSDMN+S梯形DNCO=SRCBOC+S梯形DNCO=SRSBDN=SRSABC

■:乙DMN=^EMF,乙DOI=^BOC,

：,LEMF=乙DOI

•；£DMN=^EMF,/.DOI=Z.BOC,

J.LEMF=乙DOI

•:FC=BN

：.FN=BC=CI

：,FM+MN=CO+01

：,FM=01

•:乙EFM=乙DIO=90°

:MEFM三△D/O

即：S?=SRSDOI

.，•S]+S4=SRI&DBH-SRLDN=SRSABC，

・•.&+S?+S3+S4

=S[+S3+(S2+S4)

=SRSABC+SRIXABC+SRSABC

=3SptAADC

1

=3x-ACBC

乙

1

=3x-x8x6

乙

=72

故答案为：72.

【点睛】本题考查勾股定理的知识，将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用是解题的关键.

31.(2020・新疆•统考二模)图中是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是

直角三角形.若最大的正方形£的边长为3,则正方形4、B、C、。的面积之和为.

【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理得出正方形力、B、C、。的面积之和为正方形E的面积，然后代

入正方形的边长即可求解.

【详解】如图，

:.FJ=MN,1H=JG

由勾股定理得，FJ2+JG2=FG2,PM2+PN2=MN2,Q12+QH2=IH2

：.PM2+PN2=FJ2,QI2+QH2=JG2

•••正方形A的面积为PM2,B的面积为PN2,C的面积为Q/2,D的面积为QH?

・•・正方形A、B、C、D的面积之和为

PM2+PN2+QI2+QH2=FJ2+JG2=FG2=32=9

故答案为：9.

【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.

题型11利用勾股定理证明线段的平方关系

32.（2021・广东深圳•明德学校校考一模）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂

美“四边形ABCD,对角线4C、BD交于点。.若AD=2,BC=4,则/IB?+CD2=.

【答案】20

【分析】由垂美四边形的定义可得ACJ_BD,再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2,从而求解.

【详解】•・•四边形ABCD是垂美四边形，

AAC±BD,

・•・ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AAD2+BC2=AB2+CD2,

VAD=2,BCM,

：.AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20,

故答案为：20.

【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.

33.（2022・山东济南・统考二模）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,=C。，问四边形力是垂美四边形吗？请说

明理由；

（2）性质探究：如图1,垂美四边形/BCD的对角线力C,BD交于点0.猜想：AB2+CD2^AD2+BC2^^

么关系？并证明你的猜想.

（3）解决问题：如图3,分另IJ以的直角边4C和斜边28为边向夕卜作正方形4CFG和正方形480E,

连结CE,BG,GE.已知力C=4,AB=5,求GE的长.

【答案】（1）四边形力8（7。是垂美四边形，理由见解析；（2）AS?十。。2=4。2十8（;2,证明见解析；（3）

GE=V73.

【分析】（1）连接力G80,先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线力C是线段80的垂直平分线，再根据

垂美四边形的定义即可得证；

（2）先根据垂美四边形的定义可得力C18。，再利用勾股定理解答即可；

（3）设CE分别交4B于点M,交BG于点N,连接8E,CG,先证明△GHB会△C4E,得到乙48G=乙/lEC,再

根据角的和差可证=90。，即CE1BG,从而可得四边形CGEB是垂美四边形，然后结合(2)的结论、

利用勾股定理进行计算即可得.

【详解】证明：(1)四边形48CD是垂美四边形，理由如下：

如图，连接力C,BD,

*：AB=/W,

・••点4在线段BD的垂直平分线上，

■:CB=CD,

•••点C在线段8。的垂直平分线上，

工直线4C是线段8。的垂直平分线，即“C1B。，

・•・四边形力BCD是垂美四边形；

(2)+CD2=AD2+BC2,证明如下：

•・•四边形48CD是垂美四边形，

：.AC±BD.

：.LAOD=LAOB=Z.BOC=乙COD=90°,

由勾股定理得：AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2,

AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,

：.AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)如图，设CE分别交于点M,交BG于点N,连接8E,CG,

•••四边形力CFG和四边形48DE都是正方形，

：.LCAG=/.BAE=90。,AG=AC,AB=AE,

：.LCAG+Z-BAC=Z.BAE+乙BAC,^/.GAB=Z.CAE,

AG=AC

在AGAB^AC4E中，Z.GAB=Z.CAE,

AB=AE

：,LGAB三△C/1E(S力S),

：,LABG=Z.AEC,

又「44EC+/4ME=90。，44ME=iBMN,

：,z.ABG+^BMN=90Q,

=90°,即CE18G,

・•・四边形CGE8是垂美四边形，

由(2)得：CG2+BE2=CB2-^-GE2,

•・・48是/?£44。8的斜边，且AC=4,48=5,

AFC2=AB2-AC2=9,AG=AC=4,AE=AB=5,

在R£A4CG中，CG2=AC2+AG2=32,

在RtZk/18E中，BE2=AB2+AE2=50,

，9+GE2=32+5O,

解得G£=g或GE=-g(不符题意，舍去)，

故GE的长为房.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等

知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键.

34.(2022・河北廊坊・统考模拟预测)已知A40B和aMON都是等腰直角三角形，Z.AOB=LM0N=90°.

(1)如图1,连接力M,BN,求证：AAOM"BON：

(2)如图2,将△MON绕点。顺时针旋转，当点N恰好在A3边上时，求证：BN2+AN2=MN2.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”即可证明4

AOM三ABON：

（2）连接4M,根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明AAOM为BON,得对应角相等，对应边相等，

从而可证NM4N=90。，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立；

【详解】（1）证明：'：LAOS=AMON=90°,

：.z.AOB+乙AON=乙MON+Z.AON,

即N/IOM=乙BON,

〈A403和AMON都是等腰直角三角形，

：.0A=OB,OM=ON,

•••△HOM三△30N(SAS)：

(2)证明：连接AM,

：.LAOB-乙AON=乙MON-Z-AON,

即乙40M=z80N,

〈AAOB和AMON都是等腰直角三角形,

.\0A=OB,OM=ON,

：.LAOM三△BON(SAS),

・••乙M40=乙NBO=45°,AM=BN,

J./-MAN=90°,

：.AM2+AN2=MN?,

/.BN2+AN2=MN2；

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点,

构造直角三角形是解决问题的关键.

35.（2022•北京石景山•统考二模）在△ABC中,^ACB=90°,CA=CB