数学高考科学复习创新方案-数学第2讲-导数与函数的单调性-课堂学习课件

第2讲导数与函数的单调性第四章导数及其应用1基础知识整合PARTONE单调递增单调递减常数函数定义域用充分必要条件诠释可导函数与该函数单调性的关系(1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件．(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件．1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(

)答案解析由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，观察四个图象可知选D.解析2．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(

)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)解析由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1.故选D.答案解析3．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是(

)A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1,0)∪(0,1)答案解析解析由题意知，f(x)在定义域内是单调递减函数，∴f′(x)＝cosx－a≤0恒成立，即cosx≤a在x∈R上恒成立，∴a≥1.故选D.答案解析5．已知函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是___________________；(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________.解析解析2核心考向突破PARTTWO答案解析考向一利用导数研究函数(不含参)的单调性(2)(2021·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝x(1－lnx)．讨论f(x)的单调性．解(3)(2021·上饶二模)已知函数f(x)＝2exsinx(e是自然对数的底数)，求f(x)的单调区间．解利用导数研究函数(不含参)单调性的方法方法一：(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集；

(4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调递增(减)区间．若不等式中带有参数，可分类讨论求得单调区间．方法二：当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．解析(－∞，0)(0,1)2．求函数f(x)＝e2x－e(2x＋1)的单调区间．解例2

(1)(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.①讨论f(x)的单调性；②求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．考向二利用导数研究函数(含参)的单调区间解解解所以切线l的方程为y＝(1＋a)x.令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，则x3－x2－x＋1＝0，(x－1)2(x＋1)＝0，解得x＝±1，所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1,1＋a)和(－1，－1－a)．解(2)已知函数g(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x.若a>0，试讨论函数g(x)的单调性．解解解(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．3.(2020·全国Ⅲ卷节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2，讨论f(x)的单调性．解解解∴f(x)在(－∞，1－m)，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m,1)上单调递增．综上，当m＝0时，f(x)在R上单调递减；当m>0时，f(x)在(－∞，1－m)，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m,1)上单调递增．解多角度探究突破

答案考向三利用导数解决函数单调性的应用问题解析(2)(2021·青海西宁大通县一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝20，且f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)>6x2＋2，则不等式f(x)>2x3＋2x的解集为(

)A．{x|x>－2} B．{x|x>2}C．{x|x<2} D．{x|x<－2或x>2}解析令g(x)＝f(x)－2x3－2x，则g′(x)＝f′(x)－6x2－2>0，所以g(x)在R上单调递增．因为g(2)＝f(2)－2×23－2×2＝0，故原不等式等价于g(x)>g(2)，所以x>2，所以不等式的解集为{x|x>2}．故选B.答案解析利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．解析根据题意，当x≥0时，f(x)＝ex－cosx，此时有f′(x)＝ex＋sinx>0，则f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)为R上的奇函数，故f(x)在R上为增函数．f(2x－1)＋f(x－2)>0⇒f(2x－1)>－f(x－2)⇒f(2x－1)>f(2－x)⇒2x－1>2－x，解得x>1，即不等式的解集为(1，＋∞)．答案解析6．已知函数f(x)＝sinx＋cosx－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln2)，则a，b，c的大小关系是(

)A．a>c>b B．a>b>cC．b>a>c D．c>b>a答案解析角度根据函数的单调性求参数例4

(1)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．(－∞，2] D．(－∞，2)解析f′(x)＝6x2－6mx＋6，由已知条件知x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，设g(x)＝6x2－6mx＋6，则g(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．答案解析解析解解解(1)f(x)在区间D上单调递增(减)，只要f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．(2)二次函数在区间D上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论．答案解析答案[0,1)答案解析1．(2021·湖北仙桃模拟)已知实数a，b满足a＝e7－a，

3＋lnb＝e4－lnb，则ab＝(

)A．3 B．4C．e3 D．e4解析∵实数a，b满足a＝e7－a，

3＋lnb＝e4－lnb，∴3＋lnb＝e7－(3＋lnb)，令f(x)＝x－e7－x，则f′(x)＝1＋e7－x>0，则f(x)为定义在R上的单调函数，易知f(x)有唯一零点，设为x0，则a＝3＋lnb＝x0，∴lnb＝a－3，且lna＝7－a，∴ln(ab)＝lna＋lnb＝7－a＋a－3＝4，∴ab＝e4.故选D.答案解析自主培优(七)构造法在导数中的应用2．(2021·益阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，且f(1)＝0，则不等式(x2－2x)f(x)<0的解集为(

)A．(－∞，－1)∪(1,2)B．(－1，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)答案解析3．(2021·洛阳模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x都有f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝4，则不等式f(x)<10ex的解集为(

)A．(－2,3)B．(－3,2)C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)答案解析对点训练1．(2021·襄阳模拟)定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)＋f′(x)<0，则下列各式一定成立的是(

)A．e2f(2021)<f(2019)B．e2f(2021)>f(2019)C．f(2021)<f(2019)D．f(2021)>f(2019)解析根据题意，设g(x)＝exf(x)，其导函数g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，又f(x)＋f′(x)<0，则有g′(x)<0，则函数g(x)在R上为减函数，则有g(2021)<g(2019)，即e2021f(2021)<e2019f(2019)，即e2f(2021)<f(2019).

答案解析2．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)＜0，对任意正数a，b，若a<b，则必有(

)A．af(b)＜bf(a) B．bf(a)＜af(b)C．af(a)＜bf(b) D．bf(b)＜af(a)答案解析3．(2021·新高考八省联考)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(

)A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c答案解析3课时作业PARTTHREE解析易知f′(x)＝x2－3x＋a，由题意知f′(x)≤0的解集为[－1,4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.答案解析2．(2021·四川广安模拟)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(

)A．y＝sinx B．y＝xexC．y＝x3－x D．y＝lnx－x答案解析3．(2021·贵阳市四校第二次联考)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(

)答案解析由题图可知，当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当0<x<b时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>b时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．又f′(b)＝0，所以当x＝b时，f(x)取得极大值．综上，满足题意的f(x)的图象可能是D.解析答案解析5．(2021·辽宁实验中学高三模拟)已知a∈R，则“a≤2”是“f(x)＝lnx＋x2－ax在(0，＋∞)内单调递增”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案解析6．(2021·潍坊三模)某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究，其价格模拟函数为f(t)＝t(t－3)2＋n(0≤t≤5，其中t＝0表示5月1日，t＝1表示6月1日，以此类推)，若f(2)＝6，为保护农户的经济效益，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为(

)A．5月和6月

B．6月和7月C．7月和8月

D．8月和9月答案解析∵f(t)＝t(t－3)2＋n，f(2)＝6，∴f(2)＝2＋n＝6，∴n＝4，∴f(t)＝t(t－3)2＋4，∴f′(t)＝(t－3)2＋2t(t－3)＝3(t－1)(t－3)，令f′(t)<0得，1<t<3，∴f(t)在(1,3)上单调递减，∵t＝1表示6月1日，t＝2表示7月1日，t＝3表示8月1日，∴该农产品价格下跌的月份为6月和7月，故选B.解析7．(2021·青岛二中月考)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f′(x)<2x，f(2)＝3，则不等式f(x)>x2－1的解集是(

)A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)解析令g(x)＝f(x)－x2，则g′(x)＝f′(x)－2x<0，即函数g(x)在R上单调递减．又不等式f(x)>x2－1可化为f(x)－x2>－1，而g(2)＝f(2)－22＝3－4＝－1，所以不等式可化为g(x)>g(2)，故不等式的解集为(－∞，2)．故选D.答案解析答案解析二、多项选择题9．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A．(0,3)为函数y＝f(x)的单调递减区间B．(5，＋∞)为函数y＝f(x)的单调递增区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值答案解析由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(