2010年中考数学压轴题(八)及解答

第19页共32页2010年中考数学压轴题（八）及解答193、（2010年山西省）25．（本题10分）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论．（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．AABGDE（第25题）FCABGDEFC（图1）（图2）【解答】194、（2010年山西省）26．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3eq\r(5)．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】195、（2010年陕西省）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。【解答】解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，得b+c=0a=9a+3b+c=0解之，得b=c=-1c=-1∴所求抛物线的表达式为y=x²-x-1（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可。又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2.而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，此时P1（4，）P2（-4,7）②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3而且当x=2时y=-1，此时P3（2，-1）综上，满足条件的P为P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1）196、（2010年陕西省）25.问题探究(1)请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。问题解决如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图①（2）如图②连结AC、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。如图③存在直线l过点D的直线只要作DA⊥OB与点A则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分。从而，直线PH平分梯形OBCD的面积即直线PH为所求直线l设直线PH的表达式为y=kx+b且点P(4,2)∴2=4k+b即b=2-4k∴y=kx+2-4k∵直线OD的表达式为y=2xy=kx+2-4k∴解之y=2x∴点H的坐标为（，）∴PH与线段AD的交点F（2,2-2k）∴0＜2-2k＜4∴-1＜k＜1∴S△DHF=∴解之，得。（舍去）∴b=8-图8∴直线l的表达式为y=图8197、（2010年上海市）24．如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3).（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.【解答】（1）解：将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：解之得：b=4，c=0所以抛物线的表达式为：将抛物线的表达式配方得：所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）（2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐标为（4-m,-n），则四边形OAPF可以分为：三角形OFA与三角形OAP，则=+==20所以=5，因为点P为第四象限的点，所以n<0，所以n=-5代入抛物线方程得m=5198、（2010年上海市）25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9图10（备用）图11（备用）【解答】（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°∵AD=AE∴∠AED＝60°=∠CEP∴∠EPC＝30°∴三角形BDP为等腰三角形∵△AEP与△BDP相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°∴AE=EP=1∴在RT△ECP中，EC=EP=（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x∵AE=1,EC=2∴QC=3-a∵∠ACB＝90°∴△ADQ与△ABC相似∴即，∴∵在RT△ADQ中∵∴解之得x=4，即BC=4过点C作CF//DP∴△ADE与△AFC相似，∴，即AF=AC，即DF=EC=2,∴BF=DF=2∵△BFC与△BDP相似，∴，即：BC=CP=4，∴tan∠BPD=(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a∴且，∴∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：即：，解之得∵△ADQ与△ABC相似，∴，∴∴三角形ABC的周长，即：，其中x>0199、（2010年天津市）25.（本小题10分）在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.温馨提示：温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时△的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.第第（25）题yBODCAxEyBODCAx【解答】25.（本小题10分）解：（Ⅰ）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.yBODyBODCAxE可知△的周长最小.∵在矩形中，，，为的中点，∴，，.∵OE∥BC，∴Rt△∽Rt△，有.∴.∴点的坐标为（1，0）.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分yBODCAxEGF（Ⅱ）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.yBODCAxEGF∵GC∥EF，，∴四边形为平行四边形，有.又、的长为定值，∴此时得到的点、使四边形的周长最小.∵OE∥BC，∴Rt△∽Rt△,有.∴.∴.∴点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）.．．．．．．．．．．．．．．．10分200、（2010年天津市）26.（本小题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC，求此时直线的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.【解答】26.（本小题10分）解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.∴抛物线顶点的坐标为（1，4）．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，∴抛物线的解析式为（）．∴此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．∵方程的两个根为，，∴此时，抛物线与轴的交点为，．EyxFBDAOC如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE=SEyxFBDAOC∵S△BCE=S△ABC，∴S△BCF=S△ABC．∴．设对称轴与轴交于点，则．由EF∥CB，得．∴Rt△EDF∽Rt△COB．有．∴．结合题意，解得．∴点，．设直线的解析式为，则解得∴直线的解析式为.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）则抛物线的解析式为，此时，抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，.（）过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE=S△BCF.由S△BCE=2S△AOC，∴S△BCF=2S△AOC.得.设该抛物线的对称轴与轴交于点.则.于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．∴，即．结合题意，解得．①∵点在直线上，有．②∴由①②，结合题意，解得．有，．∴抛物线的解析式为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分201、（2010年云南省红河州）22．（本小题满分11分）二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.（2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？【解答】解：画图如图所示：依题意得：==∴平移后图像的解析式为：（2）当y=0时，=0∴平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x<或x>时，二次函数的函数值大于0.202、（2010年云南省红河州）23.（本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.（1）求∠OAB的度数.（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.【解答】解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=∴∠OAB=30°（2）如图10，连接O‘P，O‘M.当PM与⊙O‘相切时，有∠PMO‘=∠POO‘=90°，△PMO‘≌△POO‘由（1）知∠OBA=60°∵O‘M=O‘B∴△O‘BM是等边三角形∴∠BO‘M=60°可得∠OO‘P=∠MO‘P=60°∴OP=OO‘·tan∠OO‘P=6×tan60°=又∵OP=t，∴t=，t=3，即：t=3时，PM与⊙O‘相切.（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E∵∠BAO=30°，AQ=4t，∴QE=AQ=2t，AE=AQ·cos∠OAB=4t×∴OE=OA-AE=-t，∴Q点的坐标为（-t，2t）S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ===（）当t=3时，S△PQR最小=（4）分三种情况：如图11.eq\o\ac(○,1)当AP=AQ1=4t时，∵OP+AP=∴t+4t=∴t=或化简为t=-18eq\o\ac(○,2)当PQ2=AQ2=4t时过Q2点作Q2D⊥x轴于点D，∴PA=2AD=2AQ2·cosA=t即t+t=，∴t=2eq\o\ac(○,3)当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点HAH=PA·cos30°=（-t）·=18-3tAQ3=2AH=36-6t，得36-6t=4t，∴t=3.6综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.203、（2010年云南省昆明市）24．（9分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.ABCDEPABCDEPO（2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC=2︰3.请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当=1时，是；②当=2时，是；③当=3时，是.并证明=2时的结论.【解答】24．（9分）（1）证明：∵AD∥BC∴∠OBP=∠ODE……………1分在△BOP和△DOE中∠OBP=∠ODE∠BOP=∠DOE…2分∴△BOP∽△DOE(有两个角对应相等的两三角形相似)……………3分（2）①平行四边形…4分②直角梯形…5分③等腰梯形…6分证明：∵k=2时，∴BP=2DE=AD又∵AD︰BC=2︰3BC=ADPC=BC-BP=AD-AD=AD=EDED∥PC,∴四边形PCDE是平行四边形，∵∠DCB=90°∴四边形PCDE是矩形…7分∴∠EPB=90°…8分又∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB与DC不平行∴AE∥BP,AB与EP不平行四边形ABPE是直角梯形…………9分204、（2010年云南省昆明市）25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）【解答】25．(12分)解：（1）设抛物线的解析式为：由题意得：……………1分解得：………………2分∴抛物线的解析式为：………………3分（2）存在………………4分l′抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），l′设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C，连接MC，过C作CD⊥x轴于D∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4,∴B(-2,0)，在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°∴DM=1,CD==∴C(1,)设切线l的解析式为:，点B、C在l上，可得：解得：∴切线BC的解析式为：∵点P为抛物线与切线的交点由解得：∴点P的坐标为：，………………8分∵抛物线的对称轴是直线此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形于是作切线l关于直线的对称直线l′(如图)得到B、C关于直线的对称点B1、C1l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：，即为所求的点.∴这样的点P共有4个：，，，………12分205、（2010年云南省曲靖市）23.（10分）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的.设甬道的宽为米.（1）求梯形的周长；（2）用含的式子表示甬道的总长；（3）求甬道的宽是多少米？【解答】解：（1）在等腰梯形中，，梯形的周长=(米). 2分（2）甬道的总长：米. 4分（3）根据题意，得. 7分整理，得，，解之得.因，不符合题意，舍去.答：甬道的宽为4米. 10分206、（2010年云南省曲靖市）24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.（1）求的值；（2）判断的形状，并说明理由；（3）在线段上是否存在点，使与相似.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解答】解：（1）的顶点坐标为（0，0），的顶点坐标，. 3分（2）由（1）得.当时，... 4分当时，，点坐标为，又顶点坐标， 5分作出抛物线的对称轴交轴于点.作轴于点.在中，；在中，；在中，；，是直角三角形.………7分（3）存在.由（2）知，为等腰直角三角形，，连接，过点作于点，.①若，则，即.，.，.点在第三象限，. 10分②若，则，即.，.点在第三象限，.综上①、②所述，存在点使与相似，且这样的点有两个，其坐标分别为. 12分207、（2010年云南省玉溪市）22.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B－∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；图a图aO图b（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．图c图c图d【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.延长BP交CD于点E,∵AB∥CD.∴∠B=∠BED.又∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D.…………4分（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.…………7分（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E.又∵∠AGB=∠CGF.∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°.…………11分208、（2010年云南省玉溪市）23．如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；yAyA0B图10（4）在（2）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得:∴B（－2，0）…………3分（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1,），得，∴…………6分CABOyCABOyx的对称轴x=-1交x轴于点E.当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小.∵△BCE∽△BAF,…………9分（4）存在.如图，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则，∴直线AB为，=|OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|=.∵S△AOD=S△AOB-S△BOD=-×2×∣x+∣=-x+.yxAODBP∴yxAODBP∴x1=-,x2=1(舍去).∴p(-,-).又∵S△BOD=x+,∴==.∴x1=-,x2=-2.P(-2,0)，不符合题意.∴存在，点P坐标是（-，-）.…………12分209、（2010年云南省昭通市）22．（11分）在如图8所示的方格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，且每个小正方形的边长均为1个长度单位，以格点为顶点的图形叫做“格点图形”，根据图形解决下列问题：图中格点是由格点通过怎样变换得到的？如果建立直角坐标系后，点的坐标为（，），点的坐标为，请求出过点的正比例函数的解析式，并写出图中格点各顶点的坐标．【解答】22．解：（1）格点是由格点先绕点逆时针旋转，然后向右平移个长度单位（或格）得到的． 4分（注：先平移后旋转也行）（2）设过点的正比例函数解析式为，将代入上式得，，．过点的正比例函数的解析式为． 8分各顶点的坐标为：． 11分210、（2010年云南省昭通市）23．（14分）如图9，已知直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于、两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒，运动过程中始终保持，直线与轴，轴分别相交于、两点，线段的中点为，以为圆心，以为直径在上方作半圆，半圆面积为，当直线与直线重合时，运动结束．求、两点的坐标；求与的函数关系式及自变量的取值范围；直线在运动过程中，当为何值时，半圆与直线相切？是否存在这样的值，使得半圆面积？若存在，求出值，若不存在，说明理由．图9（1）图9（1）图9（2）备用图【解答】23．解：（1），令，得，，．令，得，． 2分（2），是等腰直角三角形．，，为等腰直角三角形，．．，，． 8分（3）分别过、作于、于F．，在中，，，．当时，半圆与相切．即，．当时，半圆与直线相切． 11分存在．．．若，则，，，．存在，使得． 14分211、（2010年重庆市）25．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：周数x1234价格y（元/千克）22.22.42.6进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y＝－EQ\F(1,20)x2＋bx＋c.（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝EQ\F(1,4)x＋1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝x＋2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a（参考数据：372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681）【解答】212、（2010年重庆市）26．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．【解答】213、（2010年重庆市潼南县）26.（12分）如图,已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.【解答】26.解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)∴解得：b=－c=－12分∴二次函数的解析式为3分（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）∴OD=m∴AD=2-m由△ADE∽△AOC得，4分∴∴DE=5分∴△CDE的面积=××m==当m=1时，△CDE的面积最大∴点D的坐标为（1，0）8分（3）存在由(1)知：二次函数的解析式为设y=0则解得：x1=2x2=－1∴点B的坐标为（－1，0）C（0，－1）设直线BC的解析式为：y=kx＋b∴解得：k=-1b=-1∴直线BC的解析式为:y=－x－1在Rt△AOC中，∠AOC=900OA=2OC=1由勾股定理得：AC=∵点B(－1,0)点C（0，－1）∴OB=OC∠BCO=450①当以点C为顶点且PC=AC=时，设P(k,－k－1)过点P作PH⊥y轴于H∴∠HCP=∠BCO=450CH=PH=∣k∣在Rt△PCH中k2+k2=解得k1=，k2=－∴P1（，－）P2（－，）10分②以A为顶点，即AC=AP=设P(k,－k－1)过点P作PG⊥x轴于GAG=∣2－k∣GP=∣－k－1∣在Rt△APG中AG2＋PG2=AP2（2－k)2+(－k－1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)∴P3(1,－2)11分③以P为顶点，PC=AP设P(k,－k－1)过点P作PQ⊥y轴于点QPL⊥x轴于点L∴L(k,0)∴△QPC为等腰直角三角形PQ=CQ=k，由勾股定理知，CP=PA=k ，∴AL=∣k-2∣,PL=｜－k－1｜在Rt△PLA中，(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2解得：k=∴P4(,－)12分综上所述：存在四个点：P1（，－）P2（-，）P3(1,－2)P4(,－)214、（2010年重庆市綦江县）26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．(1)求该抛物线的解析式．ABCOPQDyx(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CDABCOPQDyx(3)在(2)的结论下，直