全国统考版2025届高考数学二轮复习专题八排列组合二项式定理梳理纠错预测学案理含解析

③字母a按降幂排列，从第一项起先，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．（2）二项式系数与项的系数的区分二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a+bx)n的二项绽开式中，第精题集训精题集训（70分钟）经典训练题经典训练题一、选择题．1．在的绽开式中，x3的系数为（）A．-15 B．15 C．-20 D．20【答案】C【解析】由二项式定理得的绽开式的通项，令12-3r=3，得r=3，所以T4=C63x3(-1【点评】二项式定理类问题的处理思路：利用二项绽开式的通项进行分析．2．在的绽开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（）A．63 B． C． D．【答案】B【解析】常数项是，令x=1求各项系数和，1+2-16则除常数项外，其余各项系数的和为64-581=-517，故选B．【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项公式的应用．3．为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少支配一名干部，则安排方案的种数有（）A．540 B．240 C．150 D．120【答案】C【解析】依据题意分派到3个贫困村得人数为3，1，当分派到3个贫困村得人数为3，1，当分派到3个贫困村得人数为2，2，所以共有60+90=150种，故选C．【点评】本题考查了两个计数原理和简洁的排列组合问题，属于基础题．4．高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】B【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法有C21×【点评】本题主要考查了分布分类计数原理，属于基础题．5．甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数（）A．18 B．24 C．30 D．36【答案】C【解析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有C42A33种，再解除所以不同的支配方法种数是C42A3【点评】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的实力，属于中档题．6．2024年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年．某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚状况，现派出甲、乙、丙3个调研组到A、B、C、D、E等5个村去，每个村一个调研组，每个调研组至多去两个村，则甲调研组到A村去的派法有（）A．48种 B．42种 C．36种 D．30种【答案】D【解析】甲只去1村，则方法为C42C22∴总方法数为C42C22C【点评】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事务的过程方法，依据完成事务的方法选择分类计数原理和分步计数原理．7．如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．56 B．72 C．64 D．84【答案】D【解析】分两种状况：（1）A、C不同色（留意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中随意取一色）：有种；（2）A、C同色（留意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中随意取一色）：有种，共有84种，故答案为D．【点评】（1）本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力．（2）排列组合常用方法有一般问题干脆法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特别对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、困难问题分类法、小数问题列举法．8．2024年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆．将2，0，1，9，10这5个数字依据随意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．72 B．84 C．96 D．120【答案】B【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有C4其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有种排法，其中一半是重复的，故此时有12种重复．故共有96-12=84种，故选B．【点评】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算实力和应用实力．9．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务，基本领件总数n=C大夫、不更恰好在同一组包含的基本领件个数m=C所以大夫、不更恰好在同一组的概率为，故选B．【点评】本题考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．10．（多选）已知的绽开式中第3项的二项式系数为45，且绽开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（）A． B．绽开式中偶数项的二项式系数和为512C．绽开式中第6项的系数最大 D．绽开式中的常数项为45【答案】BCD【解析】由题意，，所以n=10（负值舍去），又绽开式中各项系数之和为1024，所以1-a10=1024，所以a=-1，故偶数项的二项式系数和为，故B正确；绽开式的二项式系数与对应项的系数相同，所以绽开式中第6项的系数最大，故C正确；的绽开式的通项，令，解得r=2，所以常数项为，故D正确，故选BCD．【点评】本题主要考查了二项式基本定理及其通项，属于基础题．二、填空题．11．记为1，2，3，4，5【答案】432【解析】依据题意，a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的随意一个排列，则共有A6若为偶数的对立事务为“为奇数”，(a+b)、、全部为奇数，有，故为偶数的排列的个数共有，故答案为432．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的实力，属于中档题．12．现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最终一个次品恰好在第五次测试时被发觉，则该状况出现的概率是_______．【答案】【解析】现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，最终一个次品恰好在第五次测试时被发觉，基本领件总数，最终一个次品恰好在第五次测试时被发觉包含的基本领件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有种，4只次品必有一只排在第五次测试，有种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有种．于是依据分步计数原理有种．∴最终一个次品恰好在第五次测试时被发觉的概率p，故答案为．【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础学问，考查推理论证实力、运算求解实力，是中档题．13．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种．（结果用数字表示）【答案】336【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有A44种排法，再支配空盒，有C再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有A33A22因此所求放法种数为．【点评】本题考查排列组合应用，考查综合分析与求解实力，属中档题．14．在二项式的绽开式中，含的项的系数为______；各项系数的最小值为______．（结果均用数值表示）【答案】15，-20【解析】因为二项式，所以，当r=2时，则T3=153x，含当r=3时，则，此时系数最小，最小值为-20，故答案为15，-20．【点评】本题考查二项式定理绽开式的系数问题，是基础题．高频易错题高频易错题一、填空题．1．12本相同的资料书安排给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的安排方法共有_____种．【答案】25【解析】先分组，再排序，12本书分三个班级，且每班至少一本且至多六本，可能有1、5、6；2、4、6；2、5、5；3、3、6；3、4、5；4、4、4共6中状况，当一个班分1本，一个班分5本，一个班分6本，不同的方法有种；当一个班分2本，一个班分4本，一个班分6本，不同的方法有种；当一个班分2本，一个班分5本，一个班分5本，不同的方法有种；当一个班分3本，一个班分3本，一个班分6本，不同的方法有种；当一个班分3本，一个班分4本，一个班分5本，不同的方法有种；当一个班分4本，一个班分4本，一个班分4本，不同的方法有种；所以一共有6+6+3+3+6+1=25，故答案为25．【点评】本题考查了排列组合，此种状况解题的关键是先分组，再排序，属于中档题．精准精准预料题一、选择题．1．绽开式中x-2y3项的系数为160，则A．2 B．4 C． D．-22【答案】C【解析】二项式1+ay6绽开式的通项为T令r=3可得二项式1+ay6绽开式中的系数为C6∴绽开式中x-2y3的系数为可得a3=-8，解得a=-2，故选【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项，属于基础题．2．已知随机变量X听从二项分布，其期望EX=2，当时，目标函数z=x-y的最小值为b，则a+bx5的绽开A．1 B．25 C．35 D【答案】B【解析】依据二项分布期望的定义，可知，得a=4，画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，其中A2，2，B平移直线z=x-y，当直线经过点C1，3时，z于是a+bx5令x=1，可得绽开式的各项系数之和为25，故选B【点评】本题把二项式定理与线性划结合以及二项分布考查，属于中档题．3．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可得基本领件总数n=C第1次、第2次两次均未命中包含的基本领件个数m=C所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是，故选D．【点评】本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本领件个数．4．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）A．96种 B．84种 C．78种 D．16种【答案】B【解析】先确定选的两门，再确定学生选42-2=14所以不同的选课方案有6×14=84，故选B【点评】本题主要考了分步分类计数原理，属于基础题．5．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A．90 B．120 C．210 D．216【答案】C【解析】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：C6其次类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：C3所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是120+90=210，故选C．【点评】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的实力，属于中档题．6．2024年5月22日，国务院总理李克强在发布的2024年国务院政府工作报告中提出，2024年要优先稳就业保民生，坚决打赢脱贫攻坚战，努力实现全面建成小康社会目标任务．为响应党中心号召，某单位确定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的A，B，C，D四个村小组帮助指导贫困户脱贫，每个村小组至少派一人，为工作便利，甲不去A小组，乙去B小组，则不同的支配方法有（）A．24 B．42 C．120 D．240【答案】B【解析】当甲、乙在同一小组时，即都在B小组时，则不同的支配方法有：；当甲、乙不在同一小组时，依据题意可以分成C52-1=9组，乙所在的小组去B小组，甲有2因此有不同的支配方法有：，因此符合题意的不同的支配方法有6+36=42种方法，故选B．【点评】本题考查了排列组合的应用，考查了数学分析问题实力，属于中档题．二、填空题．7．的绽开式中常数项为________．【答案】-3【解析】，绽开式中常数项为，故答案为-3．【点评】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步依据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要留意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；其次步是依据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理探讨求解．8．数列an中，a1=1，an+1=2a【答案】454【解析】因为an+1所以an+1以2为首项，所以an+1=2×2则C，又C=2×CC5所以原式=486-32=454，故答案为454．【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，削减计算量．9．某地为提高社区居民身体素养和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人一般医务工作者2人