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文档简介

2025届福建省闽侯二中五校教学联合体高三第二次调研数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设非零向量,,,满足,,且与的夹角为,则“”是“”的().A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.设复数z=,则|z|=()A. B. C. D.3.若2m>2n>1,则()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.4.若实数满足不等式组则的最小值等于()A. B. C. D.5.已知半径为2的球内有一个内接圆柱,若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为()A. B. C. D.6.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.7.执行如图所示的程序框图,则输出的()A.2 B.3 C. D.8.为得到函数的图像,只需将函数的图像()A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位9.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于的概率为()A. B. C. D.10.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙11.已知全集,则集合的子集个数为()A. B. C. D.12.已知平行于轴的直线分别交曲线于两点,则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的定义域为______.14.在的二项展开式中,所有项的系数的和为________15.已知函数,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围是________.16.的展开式中,常数项为______;系数最大的项是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表:患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计已知在全部人中随机抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关?请说明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害,现从不患心肺疾病的位男性中,选出人进行问卷调查,求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考:(参考公式,其中)18.(12分)如图,在直三棱柱中,分别是中点,且,.求证:平面;求点到平面的距离.19.(12分)已知圆的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是是参数),若直线与圆相切,求实数的值.20.(12分)在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面积.21.(12分)已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)已知在处的切线与轴垂直,若方程有三个实数解、、(),求证:.22.(10分)已知抛物线的焦点为,点,点为抛物线上的动点.(1)若的最小值为,求实数的值;(2)设线段的中点为,其中为坐标原点,若,求的面积.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用数量积的定义可得,即可判断出结论.【详解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用,考查推理能力与计算能力,属于基础题.2、D【解析】

先用复数的除法运算将复数化简,然后用模长公式求模长.【详解】解:z====﹣﹣,则|z|====.故选:D.【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.3、B【解析】

根据指数函数的单调性,结合特殊值进行辨析.【详解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正确;而当m,n时,检验可得,A、C、D都不正确,故选:B.【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小,根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系,需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质,结合特值法得出选项.4、A【解析】

首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求的最小值.【详解】解:作出实数,满足不等式组表示的平面区域(如图示:阴影部分)由得,由得,平移,易知过点时直线在上截距最小,所以.故选:A.【点睛】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,属于中档题.5、D【解析】

分别求出球和圆柱的体积,然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为,则,所以圆柱的体积.又球的体积,所以球的体积与圆柱的体积的比,故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解,侧重考查数学运算的核心素养.6、A【解析】

利用双曲线:的焦点到渐近线的距离为,求出,的关系式,然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线:的焦点到渐近线的距离为,可得:,可得,,则的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,构建出的关系是解题的关键,考查计算能力,属于中档题.7、B【解析】

运行程序,依次进行循环,结合判断框,可得输出值.【详解】起始阶段有,,第一次循环后,,第二次循环后,,第三次循环后,,第四次循环后,,所有后面的循环具有周期性,周期为3,当时,再次循环输出的,,此时,循环结束,输出,故选:B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识,经过几次循环找出规律是关键,属于基础题型.8、D【解析】,所以要的函数的图象,只需将函数的图象向左平移个长度单位得到,故选D9、C【解析】

由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为,结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率,考查学生基本的计算能力,是一道容易题.10、A【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.11、C【解析】

先求B.再求,求得则子集个数可求【详解】由题=,则集合,故其子集个数为故选C【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数,熟练掌握各自的定义是解本题的关键,是基础题12、A【解析】

设直线为,用表示出,,求出,令,利用导数求出单调区间和极小值、最小值,即可求出的最小值.【详解】解:设直线为,则,,而满足,那么设,则,函数在上单调递减,在上单调递增,所以故选:.【点睛】本题考查导数知识的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导确定函数的最小值是关键,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

对数函数的定义域需满足真数大于0,再由指数型不等式求解出解集即可.【详解】对函数有意义,即.故答案为:【点睛】本题考查求对数函数的定义域,还考查了指数型不等式求解,属于基础题.14、1【解析】

设,令,的值即为所有项的系数之和。【详解】设,令,所有项的系数的和为。【点睛】本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法─赋值法。一般地,对于,展开式各项系数之和为,注意与“二项式系数之和”区分。15、【解析】

函数恰有4个零点,等价于函数与函数的图象有四个不同的交点,画出函数图象,利用数形结合思想进行求解即可.【详解】函数恰有4个零点,等价于函数与函数的图象有四个不同的交点,画出函数图象如下图所示:由图象可知:实数的取值范围是.故答案为:【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题,考查了数形结合思想和转化思想.16、【解析】

求出二项展开式的通项,令指数为零,求出参数的值,代入可得出展开式中的常数项;求出项的系数,利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为,令,得,所以,展开式中的常数项为;令,令,即,解得,,,因此,展开式中系数最大的项为.故答案为:;.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解,同时也考查了系数最大项的求解,涉及展开式通项的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)列联表见解析,有的把握认为患心肺疾病与性别有关,理由见解析;(2).【解析】

(1)结合题意完善列联表,计算出的观测值,对照临界值表可得出结论;(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、,其余三人分别为、、,利用列举法列举出所有的基本事件,并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【详解】(1)由于在全部人中随机抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率为,所以人中患心肺疾病的人数为人,故可将列联表补充如下:患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计.故有的把握认为患心肺疾病与性别有关;(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、,其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形:、、、、、、、、、.其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形,分别为:、、、、、、、、,所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题,同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题,考查计算能力,属于中等题.18、(1)详见解析;(2).【解析】

(1)利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明;(2)取中点为,则,证得平面,利用等体积法求解即可.【详解】(1)因为,,,是的中点,,为直三棱柱,所以平面,因为为中点,所以平面,,又,平面(2),又分别是中点,.由(1)知,,又平面,取中点为,连接如图,则,平面,设点到平面的距离为,由,得,即,解得,点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离;考查逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键;属于中档题.19、【解析】

将圆的极坐标方程化为直角坐标方程,直线的参数方程化为普通方程,再根据直线与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求实数的值.【详解】由,得,,即圆的方程为,又由消,得,直线与圆相切,,.【点睛】本题重点考查方程的互化,考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.20、(1);(2).【解析】

(1)整理得:,再由余弦定理可得,问题得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【详解】(1)由题意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式,考查了转化思想及化简能力,属于基础题.21、(1)①当时,在单调递增,②当时,单调递增区间为,,单调递减区间为(2)证明见解析【解析】

(1)先求解导函数,然后对参数分类讨论,分析出每种情况下函数的单调性即可;(2)根据条件先求解出的值,然后构造函数分析出之间的关系,再构造函数分析出之间的关系,由此证明出.【详解】(1),①当时,恒成立,则在单调递增②当时,令得,解得,又,∴∴当时,,单调递增;当时,,单调递减;当时,,单调递增.(2)依题意得,,则由(1)得,在单调递增,在上单调递减,在上单调递增∴若方程有三个实数解,则法一:双偏移法设,则∴在上单调递增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上单调递减,∴,即设,∴在上单调递增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上单调递增,∴,即∴.法二:直接证明法∵,,在上单调递增,∴要证,即证设,则∴在上单调递减,在上单调递增∴,∴,即(注意:若没有证明,扣3分)关于的证明:(1)且时,(需要证明),其中∴∴∴(2)∵,∴∴,即∵,,∴,则∴【点睛】本题考查函数与倒导数的综合应用,难度较难.(1)对于含参函数单调性的分析,可通过分析参数的临界值,由此分类讨论函数单调性;(2)利用导数证明不等式常用方法:构造函数,利用新函数的单调性确定函数的最值,从而达到证明不等式的目的.22、(1)的值为或.(2)【解析】

(1)分类讨论,

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