利用勾股定理解决实际问题压轴题八种模型全攻略（解析版）

专题02利用勾股定理解决实际问题压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一求梯子滑落高度】 1【考点三求大树折断前的高度】 6【考点四解决水杯中筷子问题】 8【考点五解决航海问题】 11【考点六判断汽车是否超速】 13【考点七判断是否受台风影响】 16【考点八求最短路径】 20【过关检测】 23【典型例题】【考点一求梯子滑落高度】例题：（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为．

(1)求此时梯子的顶端距地面的高度．(2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论．【答案】(1)(2)梯子底端外移不是，理由见解析【分析】（1）直接利用勾股定理求出的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案．【详解】（1）解：，，，，此时梯子的顶端距地面的高度为；（2）由图可知梯子的顶端沿墙下滑后，，，，，梯子底端外移不是．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．【变式训练】1.（2023春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，将长为25米长的云梯斜靠在建筑物的侧墙上，长7米．(1)求梯子上端到墙的底端E的距离的长；(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，则梯脚B将外移多少米？【答案】(1)的长米；(2)梯脚B将外移8米．【分析】（1）在中利用勾股定理求出的长即可；（2）首先在中利用勾股定理求出的长，然后再计算出的长即可．【详解】（1）解：由题意得：米，米，由，∴（米）；（2）∵，，∴；∵，∴（米），∴（米）．∴梯脚B将外移8米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握正确运用勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．2.（2023·全国·八年级假期作业）如图梯子斜靠在竖直的墙，长为，为．(1)求梯子的长．(2)梯子的顶端A沿墙下滑到点C，梯子底端B外移到点D，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）由，可得，利用勾股定理求得，再进行计算即可求解．【详解】（1）解：∵，，在中，，答：梯子的长为；（2）解：∵，∴，在中，，∴．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，正确利用勾股定理是解题的关键．【考点二求旗杆高度】例题：（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，某攀岩中心攀岩墙的顶部处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了米，教练把绳子的下端拉开米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度．【答案】攀岩墙的高为米【分析】根据题意设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长即可．【详解】解：设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米，∵在中，米，∴由勾股定理得：，∴，解得，∴攀岩墙的高为米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中找出直角三角形是解答本题的关键．【变式训练】1.（2022春·八年级单元测试）思源中学八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：（1）测得的长度为米；（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；（3）牵线放风筝的小明身高米，求风筝的高度．【答案】风筝的高度为米．【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度．【详解】解：在中，由勾股定理，得(米)．∴(米)．答：风筝的高度为米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．2.（2023春·江西宜春·八年级统考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1)求旗杆的高度OM；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．【答案】(1)米(2)2米【分析】（1）作，，可证，可得，，则，且可求，，即可求的长．（2）根据勾股定理可求，即可求的长．【详解】（1）如图：作，，在和中，，，，即，，则，所以，，所以（2）由勾股定理得，．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．【考点三求大树折断前的高度】例题：（2023春·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面多高？

【答案】尺【分析】设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解．【详解】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：，解得：，答：折断处离地面尺高．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？

【答案】5米【分析】设大树在离地米处折断，则折断处离树尖的距离为米，再根据勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：设大树在离地米处折断，由勾股定理得：，解得．答：大树在离地5米的位置折断．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意并熟知勾股定理是解题的关键．2.（2023春·全国·八年级期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长，（3）先求出D点距地米，米，再根据勾股定理可以求得米．【详解】（1）解：由题意可知：米，∵，∴，又∵米，∴，∴米；（2）解：∵D点距地面米，∴米，∴米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图【考点四解决水杯中筷子问题】例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，此时利用勾股定理在中求出即可．【详解】解：如图，

当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分最短，此时吸管的的长度就是圆柱形的高，即，，当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长，吸管长度，此时，所以．故选：．【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．【变式训练】1.（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【答案】B【分析】设水深为h尺，则芦苇高为尺，根据勾股定理列方程，求出h即可．【详解】解:设水深为h尺，则芦苇高为尺，由题意知芦苇距离水池一边的距离为尺，根据勾股定理得：，解得，即水深为12尺，故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．2.（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是，则h的取值范围是________．【答案】【分析】根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围．【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，由勾股定理得，杯子的斜边长度，即，h的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．【考点五解决航海问题】例题：（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到处测得小岛位于北偏东方向上，继续向东航行海里到达点处，测得小岛在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为____海里．【答案】【分析】过点作于点，根据题意，得，，根据小岛在轮船的北偏东方向上，则，，根据等角对等边，勾股定理，即可得答案．【详解】过点作于点，∴，，∵（海里），∴（海里），∵小岛在轮船的北偏东方向上，∴，∴，∴（海里），∴（海里），故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握解方位角问题，勾股定理的运用．【变式训练】1.（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？

【答案】两船相距100海里．【分析】先证明，求解，，再利用勾股定理作答即可．【详解】解：∵甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，∴，，，，∴，∴，∴此时两船相距100海里．【点睛】本题考查的是方位角的含义，勾股定理的应用，证明，熟记勾股定理的含义是解本题的关键．2.（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口．(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）(2)C港口在A港口的什么方向．【答案】(1)(2)C港口在A港口的北偏东的方向上【分析】（1）由题意得，由勾股定理，从而得出的长；（2）由（1）可得，求出即可．【详解】（1）∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．根据勾股定理，知．答：A、C两港之间的距离是；（2）由（1）知，是等腰直角三角形，且，∴∴,∴C港口在A港口的北偏东的方向上【点睛】本题考查了勾股定理的应用和方向角，解决本题的关键是根据题意得到．【考点六判断汽车是否超速】例题：（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．

(1)求的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【答案】(1)(2)没有超速．【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长；（2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【详解】（1）解：在中，，；据勾股定理可得：=（2）解：小汽车的速度为；∵；∴这辆小汽车行驶没有超速．答：这辆小汽车没有超速．【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．【变式训练】1.（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方处的C点，过了后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为．(1)求B，C间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【答案】(1)(2)小汽车没超速，理由见解析【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；（2）先计算，段的速度，再与比较即可．【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边，根据勾股定理可得．即B，C间的距离为．（2）这辆小汽车没有超速．理由：∵，而，而，所以这辆小汽车没有超速．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，利用直角三角形的性质求解是解本题的关键．2.（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？【答案】(1)120米(2)72千米小时，小汽车超速了【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；（2）利用速度路程时间，即可判断．【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：由题意可得：米，米，在中，（米，答：小汽车6秒走的路程为120米；（2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），，小汽车超速了．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．【考点七判断是否受台风影响】例题：（2023·全国·八年级假期作业）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)海港C受台风影响，见解析(2)8小时【分析】（1）过C作交于点D，根据勾股定理计算出，即可得到答案；（2）根据勾股定理求出斜边为的直角边即可得到答案；【详解】（1）解：过C作交于点D，设，则，∵，，∴，解得，∵，距离台风中心及以内的地区会受到影响，∴海港C受台风影响；（2）解：以C为圆心为半径画圆交于点E、F如图所示，可得台风在范围内有影响，根据勾股定理可得，，∴，∵台风的速度为千米/小时，∴（小时），∴台风影响该海港持续的时间为8小时．【点睛】本题考查勾股定理实际生活的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．【变式训练】1.（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么：(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？(2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？【答案】(1)6小时(2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向．【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案；（2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案．【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得，（小时）；答：台风中心经过6小时从B点移到D点；（2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）．又台风到点D的时间是6小时．即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．2.（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？【答案】(1)学校会受噪声影响，理由见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，即可得出结论；（2）利用勾股定理得出以及的长，即可解决问题．【详解】（1）解：学校会受噪声影响，理由如下：如图，过点作于，，，，．是直角三角形，．，，即，，环卫车周围以内为受噪声影响区域，学校会受噪声影响．（2）解：如图，当，时，正好影响学校，，，环卫车噪声影响该学校持续的时间有，环卫车的行驶速度为：，答：环卫车的行驶速度为．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【考点八求最短路径】例题：（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）有一圆柱形油罐，如图，要从点A环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方点B，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高是5米）【答案】梯子最短要13米【分析】要求梯子的最短长度，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果．【详解】解：如图，将圆柱体展开，连接，如图所示：根据两点之间线段最短，梯子最短是：（米），答：梯子最短是13米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．【变式训练】1.（2023春·八年级单元测试）如图，在长方体中，点E是棱的中点，已知cm，cm，cm．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离．【答案】【分析】将面沿展开，将面沿展开，将面沿展开，分别计算出后比较大小即可．【详解】解：将面沿展开，如图所示：∴将面沿展开，如图所示：∴将面沿展开，如图所示：∴∵∴小虫爬行的最短距离为．【点睛】本题主要考查了根据两点间线段最短的理解和掌握，解题关键是分情况讨论，综合运用勾股定理进行计算．2.（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．【答案】(1)见解析；(2)两点之间线段最短；(3)120cm，50cm；(4)130cm【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；（2）根据题（1）即可求解；（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽；（4）根据勾股定理计算的长即可求解．【详解】（1）如图所示即为所求：（2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）根据题意可得：展开图中的cm，cm．故答案为：120cm，50cm；（4）由题（1）可得：在Rt中，由勾股定理可得：cm，故答案为：130cm．【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．【过关检测】一、单选题1．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，一棵高为的树被台风刮断．若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地面上，则折断后树顶端离树底部（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】略2．（2023上·陕西渭南·八年级校联考阶段练习）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是勾股定理，设，求出的长度，根据勾股定理列出方程是解决本题的关键．【详解】设，则，又∵，∴在中，，得：解得：故选B．3．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，正方体的棱长为2，E是的中点．已知一只蚂蚁沿正方体的表面从点A出发，到达点E，则它运动的最短路程为（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】略二、填空题4．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，要从电线杆离地面的C处向地面A处拉一条长的电缆，测得，则电线杆的高度是．【答案】【分析】本题考查含度角的直角三角形的性质和勾股定理．掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．【详解】解：由题可知为直角三角形，，∵，∴，∴，∴，故答案为：．5．（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是【答案】5【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，构造出直角三角形即可求解．【详解】解：筷子露在杯子外面的最短长度即筷子在杯子里面的长度最长，即筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形．如下：∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线断的长度，即，∴筷子露在杯子外面的最短长度是．故答案为:5.6．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为s．【答案】16【解析】略三、解答题7．（2023上·河北邯郸·八年级统考期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水深厘米，则，，，利用勾股定理计算即可．【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h厘米，由题意得：中，，，，由勾股定理得：，即，解得．答：水深是8．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？【答案】折断处离地面尺【分析】本题考查勾股定理的实际应用．由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的方程，此题得解．【详解】解：如图：∵一根竹子原来高9尺，设折断处离地面的高度为x尺，∴竹梢到折断处的长度为尺依题意得：解得，∴折断处离地面尺．9．（2022上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？（盒子底面蚂蚁无法到达）【答案】它需要爬行的最短路程是【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可．利用展开图的两种情况分析求解是解题关键．【详解】解：当展开图如图1所示时，，，，，，.当展开图如图2所示时，，，，，，.，所以它需要爬行的最短路程是.10．（2023上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）西安辅轮中学于11月13日对全校师生组织了一场应急疏散演练主题教育，本次活动中同学们加强了消防安全意识、提升了火灾预防和应急处置能力同学们通过消防员们的介绍了解到消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险，如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高（即），救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题．【详解】解：由题意可知，，点、、三点共线，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为．11．（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且．(1)若点A、B到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度；(2)在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，设，则，根据题意得，，结合勾股定理，即可求得；由题意得和，可证，则有，即可求得，进一步求得点C距离地面的高．【详解】（1）解：设，则，∵点A、B到地面的距离是分别是、，∴，则，∵，，∴，∴，解得．答：秋千的长度为．（2）∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，则，那么C距离地面的高．答：爸爸在距离地面高的地方接住小丽的．12．（2022上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）大明宫国家遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，其地处长安城（今西安）北部的龙首原上，公园里视野开阔，障碍物极少，成为不少市民放风筝的绝佳场所．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得的长度为24米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米；③牵线放风筝的小明身高为1.6米（）．已知，，，请你帮他们求出风筝的垂直高度．【答案】风筝的垂直高度为19.6米【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题