解题技巧：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中点四边形问题压轴题四种模型全攻略（原卷版）

专题08解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中点四边形问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一矩形、菱形、正方形中求定值问题】 1【考点二矩形、菱形、正方形中求最小值问题】 9【考点三矩形、菱形、正方形中求最大值问题】 21【考点四矩形、菱形、正方形中点四边形问题】 28【典型例题】【考点一矩形、菱形、正方形中求定值问题】例题：（2023上·江西吉安·九年级统考期末）如图，矩形中，，，P是上不与A和D重合的一动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F；的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是定值请求出这个定值．

【变式训练】1．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，边长为定值的正方形的中心与正方形的顶点重合，且与边、相交于、，图中阴影部分的面积记为，两条线段、的长度之和记为，将正方形绕点逆时针旋转适当角度，则有（

）A．变化，不变 B．不变，变化 C．变化，变化 D．与均不变2．（2022上·广东梅州·九年级统考期中）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值3．（2022下·江西赣州·八年级统考期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，满足∠EAF=60°，连接EF，且E，F不与B，C，D重合．(1)求证：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE=CF；(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．4．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，已知正方形的边长为，点为对角线上一动点，连接、过点作，交点，以、为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)直接写出当点满足什么条件时，的最小值，最小值是多少？【考点二矩形、菱形、正方形中求最小值问题】例题：（2023上·山西晋中·九年级统考期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【变式训练】1．（2023上·宁夏银川·九年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为．2．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点E在对角线上，于点F，于点G，连接，若，则的最小值为．3．（2024上·广东河源·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，E，F分别是过，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为．4．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．

(1)求证：四边形为矩形．(2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明．(3)在矩形中内部有一动点P，满足，求的最小值．5．（2023下·浙江丽水·八年级期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：（1）周长的最小值是．（2）四边形周长的最小值是．6．（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．

(1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值；(2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出的最小值；(3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值．【考点三矩形、菱形、正方形中求最大值问题】例题：（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为．【变式训练】1．（2023·安徽宣城·安徽省宣城市第三中学校考模拟预测）在矩形中，，，动点P点A的距离，连接，M为的中点，连接，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．2．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E为边的中点，P为边上的一动点（含端点），F为的中点，则长度的最大值为．3．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期中）矩形中，，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接．则线段的长度最大值是．4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为．

5．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点，分别在菱形的边，上滑动，且，不与，，重合．当点在，上滑动时，求面积的最大值．

【考点四矩形、菱形、正方形中点四边形问题】例题：（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．

(1)请判断四边形的形状，并说明理由．(2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由．(3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．【变式训练】1．（2022下·湖北武汉·八年级期中）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（

）．A．四边形一定是平行四边形B．当时，四边形为矩形C．当时，四边形为菱形D．当时，四边形为矩形．2．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（

）

A．若，则四边形为矩形B．若，则四边形为菱形C．若是平行四边形，则与互相平分D．若是正方形，则与互相垂直且相等3．（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足时，四边形是菱形．4．（2023下·山东德州·八年级统考期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，下列说法；①若，则四边形为矩形：②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数有个

5．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．(1)猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由；(2)点在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由．6．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【性质探究】：（2）如图