公式结论默写-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学选择性必修二公式结论默写数列：项：记法：2．数列的分类：类别含义有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列常数列各项的数列3.数列{an}递增⇔(n∈N*)；数列{an}递减⇔(n∈N*)．4.数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的之间的对应关系可以用来表示，那么这个叫做这个数列的通项公式．5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．6．当数列的递推公式为an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)可以求和)时，使用累加法或迭代法求数列的通项公式．7．当数列的递推公式为an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)可以求积)时，使用累乘法或迭代法求数列的通项公式．8.数列的前n项和把数列{an}从第eq\a\vs4\al(1)项起到第eq\a\vs4\al(n)项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝．9.由Sn求通项公式an的步骤(1)当n＝1时，a1＝；(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝；(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))10.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示．数学语言表达式：(n≥2，d为常数).11.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝．12.等差数列{an}的通项公式an＝=等差数列的前n项和公式Sn＝=13.等差数列及其前n项和的常用性质(1)等差中项的推广：an==(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为数列.14.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最值.15.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递数列；当d＜0时，{an}是递数列；当d＝0时，{an}是数列.16.等差数列的判定与证明的常用方法(1)定义法：⇔{an}为等差数列.(2)等差中项法：⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法：⇔{an}为等差数列.(4)前n项和公式法：⇔{an}为等差数列.17.等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示(显然q≠0).数学语言表达式：(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝.18.等比数列的通项公式及前n项和公式通项公式为an＝＝.前n项和公式：当q＝1时，Sn＝；当q≠1时，Sn＝＝.19.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为(3)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递数列.20.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))是数列.21.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq\f(T2n,Tn)，，…成等比数列.(2)若数列{an}的项数为2n，则eq\f(S偶,S奇)＝；若项数为2n＋1，则eq\f(S奇－a1,S偶)＝，或eq\f(S偶,S奇－an)＝.22.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证.23.三个数成等比数列，通常设为；四个符号相同的数成等比数列，通常设为.24.等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：⇔{an}为等比数列.(2)等差中项法：⇔{an}为等比数列.(3)前n项和公式法：⇔{an}为等比数列.25.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.分组转化法求和的常见类型主要有：分段型(如①an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n，n为奇数，,2n，n为偶数；))②an＝2n＋3n－1)，周期型eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如an＝sin\f(nπ,3))).(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解.(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.26.裂项求和常用的三种变形(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝.27.常见的几种裂项结构：(1)等差型：eq\f(1,anan＋1)＝(an≠0，d≠0).(2)指数型：eq\f(（a－1）an,（an＋b）（an＋1＋b）)＝(3)对数型：logneq\f(an＋1,an)＝(an>0).(4)无理型：eq\f(1,\r(a)＋\r(b))＝(a>0，b>0).28.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当时命题成立；(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”．29.平均速度与瞬时速度（1）．平均速度：若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f(t)，函数f(t)在t0与t0＋Δt之间的平均速度是.（2）．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0与t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．即eq\o(Δt→0,\s\up7(lim))eq\f(Δs,Δt)＝.30.割线斜率与切线斜率的关系割线PPn的斜率是kn＝eq\f(f（xn）－f（x0）,xn－x0)，当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，即k＝．31．函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝．我们把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．32.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f′(x0)．33.导函数的概念f′(x)＝y′＝34.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．求过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程的策略(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)；(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．35.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈R且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)=f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝36.导数的四则运算法则1．条件：f(x)，g(x)是可导的．2．结论：(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)g(x)]′＝；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))eq\s\up12(′)＝．拓展：(1)两个可导函数的和差求导运算可推广到有限个函数的和差的导数运算，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)；(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．同上可推广到有限个函数的函数乘积的导数即：①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)；②[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)；37.复合函数求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．38.数的单调性与其导数正负的关系一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：(1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内；(2)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内；(3)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是．39.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系1．函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象；符号为负，图象．看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负．（原函数图像看升降，导函数图像看正负）2．导数的绝对值的大小，决定了该函数的变化快慢，绝对值越大，函数在该点处变化越快，绝对值越小，函数在该点处变化越慢．40.求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数．41．已知函数的单调性，求参数的取值范围1.y＝f(x)在区间(a，b)内递增（减），则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．42.函数的极值（1）．极小值：函数y＝f(x)在点x＝a处函数值f(a)比它在点x＝a近其他点处的函数值都，f′(a)＝；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．（2）．极大值：函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都，f′(b)＝；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.我们把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．（3）．极值：统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．43.求函数y＝f(x)的极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是．44.y＝f(x)的极值点x0与f′(x0)＝0的关系一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．45.三次函数的极值与零点的关系1．给定三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求导得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.用Δ表示方程f′(x)＝0的根的判别式，有以下结论：(1)当Δ＝4(b2－3ac)＞0时，有两个极值点；当Δ＝4(b2－3ac)≤0时，无极值点．(2)函数f(x)的图象存在水平切线，则f′(x)＝0有实数解，从而Δ＝4(b2－3ac)≥0；(3)函数在R上单调递增，则a＞0且Δ＝4(b2－3ac)≤0.2．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，为了描述方便简洁，这里只给出a＞0的情形．令x1，x2为f(x)的极值点，用Δ表示f′(x)＝3ax2＋2bx＋c对应方程的根的判别式，则结合零点存在定理，有如下结论：(1)y＝f(x)有一个零点⇔Δ≤0或f(x1)·f(x2)＞0；(2)y＝f(x)有两个零点⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,f（x1）·f（x2）＝0；))(3)y＝f(x)有三个零点⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,f（x1）·f（x2）＜0.))3．相应函数图象的情况如下：(1)三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图①所示；(2)三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图②所示；(3)三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图③所示