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文档简介
3.5数学探究活动(一):正方体截面探究1.通过探究,了解正方体截面的形状.2.了解凸多面体中顶点数、棱数和面数之间的关系.问题:用一个平面去截正方体,能否截出直角三角形呢?不能.用一个平面去截正方体,如果三角形截面的三边在正方体共顶点的三个面上,那么三个顶点在正方体的三条棱上,如图中的△ABC.∵△ABD是直角三角形,由勾股定理有BD2+AD2=AB2,问题:用一个平面去截正方体,能否截出直角三角形呢?又BC>BD,AC>AD,∴BC2+AC2>AB2,即△ABC不是直角三角形.∵上述△ABC是任意截得的三角形截面,∴用一个平面去截正方体,不能截出直角三角形.探究:用一个平面去截正方体,并在正方体中面出所有可能的截面示意图.(1)如果截面是三角形,你认为可以截出几类不同的三角形(分别按边、角分类)?为什么?(2)指出最大面积的三角形截面,并说明理由.(3)你认为可以截出几类不同的四边形?为什么?(4)能否截出正五边形?为什么?(5)是否存在正六边形的截面?为什么?(6)边数最多的截面是几边形?为什么?探究建议:(1)成立探究小组,一起讨论研究,集思广益.(2)可以利用计算机作图软件协助,也可以直接做模型,甚至切萝卜块来探究.(3)大胆猜想,小心求证.(4)梳理探究的结果,撰写一个报告.归纳总结通过探究正方体的截面图得到如下可能出现的结论:锐角三角形、等边、等腰三角形、正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形.不可能出现:钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形.例1:已知凸多面体的各面都是四边形,求证:该凸多面体的顶点数V、面数F有关系式F=V-2.
归纳总结1.五种正多面体的顶点数、面数及棱数:正多面体顶点数V面数F棱数E正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030归纳总结2.欧拉公式:简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E有关系式V+F-E=2.计算棱数E的常见方法:(1)E=V+F-2;(2)E=各面多边形边数和的一半;(3)E=顶点数与共顶点棱数积的一半.1.如图,M,N为正方体中所在棱的中点,过两点M,N作正方体的截面,则截面的形状可能为(
)A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形BD2.瑞士著名数学家欧拉发现:简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足有趣的关系式V+F-E=2,这个关系式被称为欧拉公式.比如:正二十面体,是由20个等边三角形组成的正多面体,已知每个顶点处有5条棱,则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点有
个;如果一个简单多面体的每个面都是
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