数学探究活动(一)：正方体截面探究 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册_第1页
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3.5数学探究活动(一)：正方体截面探究1.通过探究，了解正方体截面的形状.2.了解凸多面体中顶点数、棱数和面数之间的关系.问题：用一个平面去截正方体，能否截出直角三角形呢？不能.用一个平面去截正方体，如果三角形截面的三边在正方体共顶点的三个面上，那么三个顶点在正方体的三条棱上，如图中的△ABC.∵△ABD是直角三角形，由勾股定理有BD2+AD2=AB2，问题：用一个平面去截正方体，能否截出直角三角形呢？又BC>BD，AC>AD，∴BC2+AC2>AB2，即△ABC不是直角三角形.∵上述△ABC是任意截得的三角形截面，∴用一个平面去截正方体，不能截出直角三角形.探究：用一个平面去截正方体，并在正方体中面出所有可能的截面示意图.（1）如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形（分别按边、角分类）？为什么？（2）指出最大面积的三角形截面，并说明理由.（3）你认为可以截出几类不同的四边形？为什么？（4）能否截出正五边形？为什么？（5）是否存在正六边形的截面？为什么？（6）边数最多的截面是几边形？为什么？探究建议：（1）成立探究小组，一起讨论研究，集思广益.（2）可以利用计算机作图软件协助，也可以直接做模型，甚至切萝卜块来探究.（3）大胆猜想，小心求证.（4）梳理探究的结果，撰写一个报告.归纳总结通过探究正方体的截面图得到如下可能出现的结论:锐角三角形、等边、等腰三角形、正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形.不可能出现:钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形.例1:已知凸多面体的各面都是四边形，求证:该凸多面体的顶点数V、面数F有关系式F=V-2.

归纳总结1.五种正多面体的顶点数、面数及棱数:正多面体顶点数V面数F棱数E正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030归纳总结2.欧拉公式:简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E有关系式V+F-E=2.计算棱数E的常见方法:(1)E=V+F-2；(2)E=各面多边形边数和的一半；(3)E=顶点数与共顶点棱数积的一半.1.如图，M，N为正方体中所在棱的中点，过两点M，N作正方体的截面，则截面的形状可能为（

）A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形BD2.瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足有趣的关系式V+F-E=2，这个关系式被称为欧拉公式.比如：正二十面体，是由20个等边三角形组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点有

个；如果一个简单多面体的每个面都是

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