三垂线定理及其逆定理 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册_第1页
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3.4.2课时2三垂线定理及其逆定理一条直线在平面外,那么这条直线是平面的一条斜线吗?不一定，也可能平行于平面.1.理解并掌握三垂线定理及其逆定理.2.会用空间向量解决立体几何问题，掌握其一般步骤.例1

已知：如图，AB⊥α，垂足为点B，

求证：l⊥AC.证明：设向量l是直线l的方向向量.由l⊥BC可知，本例所证明的结论，通常称为三垂线定理.这里，直线BC实际上是斜线AC在平面α内的投影.归纳总结三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直.类似地可以得到：三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.例2

如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D为AB的中点，求证:AB⊥PC.证明:∵PD⊥平面ABC，∴DC为PC在平面ABC内的投影，而在△ABC中，AC=BC，D为AB的中点，∴AB⊥CD.∴由三垂线定理得AB⊥PC.归纳总结用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出或作出平面的垂线，至于投影则是由垂足和斜足来确定的.证明a⊥b(线线垂直)的一个程序:一垂、二投、三证.即第一，找或作平面垂线.第二，找投影，这时a，b变成平面内的一条直线与平面的一条斜线.第三，证明直线a与投影垂直，从而得出a与b垂直.例3

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.

例3

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.

例4

在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.

例4

在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.

归纳总结利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．1.若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则l1与l2的位置关系是(

)A.l1⊥l2

B.l1∥l2C.l1、l2相交不垂直

D.不能确定2.已知A，B，C三点的坐标分别为(1，2，3)，(2，-1，1)，(3，λ，λ).若AB⊥AC，则实数λ等于

.

A

3.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(

)A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC，MN都不垂直AC根据今天所学，回

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