湘教版七年级数学上册压轴题攻略专题07解题技巧专题：与绝对值化简的有关问题压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)

专题07解题技巧专题：与绝对值化简的有关问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一绝对值非负性的应用】 1【考点二利用数轴化简绝对值】 3【考点三分类讨论化简绝对值】 6【考点三利用几何意义化简绝对值】 10【考点四解含绝对值的方程】 20【典型例题】【考点一绝对值非负性的应用】例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）若，则．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）若，则，．2．（2023秋·七年级课时练习）若（，则的值是．3．（2023·河北秦皇岛·校考一模）已知a，b都是实数．若，则．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）若有理数，满足，则.【考点二利用数轴化简绝对值】例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：．【变式训练】1．（2023·全国·七年级假期作业）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简的结果是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）有理数在数轴上位置如图，则化简的值为（

）A． B． C．0 D．3．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）有理数x在数轴上的位置如图听示，化简：．

4．（2023秋·四川巴中·七年级统考期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为．5．（2023春·黑龙江大庆·六年级校考阶段练习）已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是．6．（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互为相反数，求＝．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【考点三分类讨论化简绝对值】例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为．【变式训练】1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若有理数a，b满足，则的值为．2．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）若，，则n的值为．3．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．(2)已知，，是有理数，，，求的值．(3)已知，，是有理数，当时，求的值．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）【考点四利用几何意义化简绝对值】例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．【变式训练】1．（2022秋·福建泉州·七年级统考期中）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1)数轴上表示8与的两点之间的距离是______；(2)若，则______；若，则______；(3)表示数轴上有理数x所对的点到1和-3所对的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得．(4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由．2．（2022秋·河北保定·七年级校联考期中）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．如：数轴上数2，5对应点之间的距离为；数轴上数2，对应点之间的距离为；又如：已知，求的值．意为：数轴上数与数1对应点之间的距离为2，观察数轴可知的值为或3．请运用上述的几何方法解决下列问题：(1)若，则________；(2)若，则________；(3)表示数轴上数________与________对应点之间的距离；(4)若，则________；(5)若，则满足条件的所有整数为________________；(6)若，则的取值范围为________________________．3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）【问题提出】的最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．【问题解决】(1)的几何意义是，请你结合数轴研究：的最小值是；(2)请你结合图④探究的最小值是，由此可以得出a为；(3)的最小值是；(4)的最小值为；(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是．【考点五解含绝对值的方程】例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：(1)(2)(3)(4)2．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应两点之间的距离：同理也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下面问题：(1)，若，则；(2)请你找出所有符合条件的整数x，使得；(3)求的最小值，并写出此时x的取值情况．3．（2022秋·七年级单元测试）问题背景数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．问题探究(1)若，则．(2)若，则．(3)若，则．问题解决(4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是．

专题07解题技巧专题：与绝对值化简的有关问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一绝对值非负性的应用】 1【考点二利用数轴化简绝对值】 3【考点三分类讨论化简绝对值】 6【考点三利用几何意义化简绝对值】 10【考点四解含绝对值的方程】 20【典型例题】【考点一绝对值非负性的应用】例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）若，则．【答案】3【分析】根据绝对值的非负性得到x与y的值，代入代数式求解即可得到结论．【详解】解∶，当成立时，必须，解得，故答案为∶3【点睛】本题考查代数式求值，掌握绝对值非负性是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）若，则，．【答案】3【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求解即可．【详解】解：∵(a+1)2+|a−b+4|=0，∴a+1=0，a-b+4=0，解得a=-1，b=3，故答案为：-1，3．【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．2．（2023秋·七年级课时练习）若（，则的值是．【答案】【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：由题意得：，，解得：，，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．（2023·河北秦皇岛·校考一模）已知a，b都是实数．若，则．【答案】【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，可得，据此可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．【详解】解：∵∴，解得∴故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）若有理数，满足，则.【答案】【分析】由绝对值的非负性，求出，，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴；故答案为：1．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握绝对值的非负性，正确的求出，．【考点二利用数轴化简绝对值】例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：．【答案】0【分析】由数轴可知，因此，由此可以求出结果．【详解】解：由数轴可知，因此，∴．【点睛】本题考查了数轴和化简绝对值，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·七年级假期作业）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据a，b到原点的距离，判断的符号，再进行化简．【详解】因为所以故选：B【点睛】本题考查绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法．2．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）有理数在数轴上位置如图，则化简的值为（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号并即可得到结果．【详解】解：根据题意得：，，，故选：A．【点睛】此题考查了数轴以及绝对值的性质，解题的关键是根据数轴的表示判断绝对值中各项的符号．3．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）有理数x在数轴上的位置如图听示，化简：．

【答案】/【分析】由数轴上表示x的点的位置，得到，利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数，去括号合并即可得到结果．【详解】解：根据题意得，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：绝对值的代数意义，数轴，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．4．（2023秋·四川巴中·七年级统考期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为．【答案】1【分析】根据图形可判断，，，，再根据绝对值的应用把绝对值符号去掉，最后合并同类项即可求解．【详解】解：由图像可知：，，，则，故答案为：1【点睛】此题考查了数轴、绝对值和整式的加减，解题关键是根据图形判断绝对值里面的符号．5．（2023春·黑龙江大庆·六年级校考阶段练习）已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是．【答案】【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，再利用绝对值的代数意义化简、去括号、合并同类项即可解答．【详解】解：由数轴上点的位置得：，且，，，，则原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、去括号、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．6．（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互为相反数，求＝．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解；（2）根据相反数的定义即可求解；（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．【详解】解：由数轴可知，，，则（1），，．故答案为：，，；（2）、互为相反数，．故答案为：；（3）．【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系．【考点三分类讨论化简绝对值】例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为．【答案】3，-3，1，−1．【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；(2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3；(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1；同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．(4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1；同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．故答案为：3，-3，1，−1．【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．【变式训练】1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若有理数a，b满足，则的值为．【答案】0或2或【分析】分情况讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【详解】解：设，当时，；当时，；当时，；当时，，则的值为0或2或-2．故答案为∶0或2或．【点睛】此题考查了有理数的除法，乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）若，，则n的值为．【答案】或/3或-1【分析】根据可得中有两个负数或没有负数，然后分情况讨论即可．【详解】解：∵，∴中有两个负数或没有负数，当中有两个负数时：；当中没有负数时，；∴n的值为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了有理数乘除法以及绝对值的意义，读懂题意，运用分类讨论的思想解题是关键．3．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．(2)已知，，是有理数，，，求的值．(3)已知，，是有理数，当时，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解．（2）由可得，由根据进而可求解．（3）分四种情况讨论：①当都是正数，即时；②当有一个为正数，另两个为负数时，设；③当有两个为正数，一个为负数时；④当三个数都为负数时，分别去绝对值即可求解．【详解】（1）解：当时，则，当，则，故答案为：，．（2）已知是有理数，，所以，且中两正一负，所以．（3）由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．①当都是正数，即时，则：，②当有一个为正数，另两个为负数时，设，则：，③当有两个为正数，一个为负数时，设，则：，④当三个数都为负数时，则：，综上所述：的值为或或或【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数是解题的关键．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．【详解】（1）解：，，，故答案为：，1，．（2），，，，，的正负性可能为：①当为正数，，为负数时：原式；②当为正数，，为负数时，原式；③当为正数，，为负数时，原式，原式或3．（3）∵有个正数，负数的个数为，．故答案为：．【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．【考点四利用几何意义化简绝对值】例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．【答案】(1)；(2)或(3)；(4)(5)，【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解；（5）分类讨论，即可解答．【详解】（1）解：由数轴得数轴上表示和的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：；故答案：；．（2）解：由得，，所以表示与距离为，因为与距离为的是或，所以或．故答案：或．（3）解：由，得，，，所以表示与的距离为，与的距离为，，所以或，或，当，时，则A、B两点间的最大距离是，当，时，则A、B两点间的最小距离是，故答案：，．（4）解：所以表示与的距离加上与的距离的和，因为表示数a的点位于与之间，所以，故答案：．（5）解：，所以表示与、、的距离之和，①如图，当表示的点在的右侧时，即，

由数轴得：，所以，所以；②如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：因为，所以，所以；③如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：因为，所以，所以；④当表示的点在或或的点上时，即或或，如图，当时，

；如图，当时，

；如图，当时，

；因为，所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为；综上所述：当，的最小值为．故答案：，．【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·福建泉州·七年级统考期中）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1)数轴上表示8与的两点之间的距离是______；(2)若，则______；若，则______；(3)表示数轴上有理数x所对的点到1和-3所对的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得．(4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由．【答案】(1)(2)或；(3)(4)有，代数式的最小值为【分析】（1）根据题目所给两点距离公式代入数值计算即可；（2）根据绝对值的意义即可求解；（3）由绝对值的定义求解即可；（3）根据题意，表示到这三点的距离和最小值，则当时，取得最小值，即可求解．【详解】（1）∵，∴数轴上表示8与的两点之间的距离是，故答案为：；（2）∵，∴或，∴或；∵，则表示到和的距离相等，∴故答案为：或；（3）解：如图，∵∴的整数符合题意，∴使得成立的所有符合条件的整数x为：；（4）如图∵表示数的点到表示，和的点的距离之和，当时，代数式的最小值为：．【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．2．（2022秋·河北保定·七年级校联考期中）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．如：数轴上数2，5对应点之间的距离为；数轴上数2，对应点之间的距离为；又如：已知，求的值．意为：数轴上数与数1对应点之间的距离为2，观察数轴可知的值为或3．请运用上述的几何方法解决下列问题：(1)若，则________；(2)若，则________；(3)表示数轴上数________与________对应点之间的距离；(4)若，则________；(5)若，则满足条件的所有整数为________________；(6)若，则的取值范围为________________________．【答案】(1)3或−3(2)5或1(3)4，(4)2或(5)，，，0，1，2(6)或【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；（2）根据绝对值的定义可得或，分别求解即可；（3）根据绝对值的几何意义直接写出即可；（4）根据绝对值的定义可得或，分别求解即可；（5）根据绝对值的几何意义可得，求出此范围内的整数即可；（6）表示数x的点有两种位置，x在表示1的点的左侧时，，x在表示4的点的右侧时，．【详解】（1）解：∵，∴或，故答案为：3或−3；（2）解：∵，∴或，解得或，故答案为：5或1；（3）解：表示数轴上数4与对应点之间的距离，故答案为：4，；（4）解：∵，∴或，解得或，故答案为：2或；（5）解：∵，∴，∵x是整数，∴x的值为−3，，0，1，2，故答案为：−3，，0，1，2；（6）解：当，∴x在表示1的点的左侧时，，x在表示4的点的右侧时，，故答案为：或．【点睛】本题考查用数轴表示距离，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键．3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）【问题提出】的最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．【问题解决】(1)的几何意义是，请你结合数轴研究：的最小值是；(2)请你结合图④探究的最小值是，由此可以得出a为；(3)的最小值是；(4)的最小值为；(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是．【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3(2)2；2(3)6(4)1021110(5)【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果；（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；（4）由题意可得出，取中间值a＝1011时，求得最小值；（5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围．【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3（2）当a取中间数2时，绝对值最小的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2（3）当a取最中间数时，绝对值最小的最小值是；（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，的最小值为：故答案为：1021110（5）a使它到－1，2的距离之和小于4①当时，则有解得：；②当时，则有③当时，则有解得：综上，a的取值范围为：故答案为：【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．【考点五解含绝对值的方程】例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【答案】(1)x=2或x=(2)x=-2或x=0【分析】先去绝对值转化成一元一次方程求解．【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：3x-2=4或3x-2=-4．解得：x=2或x=；（2）由绝对值的意义得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．解得：x=-2或x=0．【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（4）首先对方程进行整理，得出，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解．【详解】（1）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或；（2）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或；（3）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或；（4）解：，整理，可得：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：或．【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值