江苏省宿迁市如东实验崇文洋河等校2024-2025学年八年级上学期期中联考数学试题

2024~2025学年度第一学期期中质量检测数学试卷（本卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（▲）A．﹣2 B．2 C．± D．±22．已知⊙O的半径为5，OA＝6，则点A在（▲）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定3．已知一组数据4，6，8，7，5，则这组数据的中位数是（▲）．A．6 B．6.5 C．7 D．54．已知，与面积之比为．若，则的长是▲A． B．2 C．4 D．165．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC＝20°，则∠ABC的度数是（▲）A．20° B．50° C．70° D．80°（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（▲）A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）7．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB、GHMN都是正方形的花圃．则自由飞翔的小鸟，随机落在花圃上的概率为（▲）A． B． C． D．8．如图，过内任一点，作，，，则的值为（▲）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．若，则的值为▲．10．已知点是线段的黄金分割点，若，则的长约为▲．11．若关于x的方程mx2﹣4x+3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是▲．12．已知圆锥的底面半径是4cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积是▲cm2．13．小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是70分、90分、80分．若将三项得分依次按2：4：4的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为▲分14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高为▲．（第14题图）（第15题图）（第17题图）（第18题图）15．如图，是正十边形两条对角线的夹角，则的度数是▲．16．已知，是的两个根，则▲．17．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作弧BC，弧AC，弧AB．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为，那么这个曲边三角形的面积是▲．18．如图，矩形中，为上一动点（与A、B不重合），将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，连接交于，若EQ＝8，QF＝5，BC＝30，则折痕的长为▲．三、解答题(本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．（本题满分8分）解方程：（1）；（2）．20．（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D是AB的中点．（1）请用无刻度直尺和圆规在AC边上作出点E，使△ADE∽△ACB；（2）求AE的长．21．（本题满分8分）我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分如图所示：根据图示信息，整理分析数据如表：平均数（分中位数（分众数（分初中部85高中部85100（1）求出表格中▲；▲；▲．（2）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是160，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．22．（本题满分8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，AE交BD于点F．（1）求证：；（2）若，，，求对角线BD的长．23．（本题满分10分）已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；（2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值．24．(本题满分10分)人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为▲；（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．25．（本题共10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径．26．(本题满分10分)2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．（1）据统计某款莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是2.5万件，8月份的销售量是3.6万件，求月平均增长率；（2）某实体店该款莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了尽快减少库存，商家决定降价促销，若想要销售该款莲莲玩偶每天获利1050元，则售价应降低多少元？27．(本题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点C出发，沿CB向点B匀速运动，速度为每秒1个单位，过点P作PM⊥BC，交对角线BD于点M．点Q从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为每秒1个单位．P、Q两点同时出发，设它们的运动时间为t秒（0＜t＜8）．

（1）当PQ⊥BD时，t的值为▲；

（2）连接AM，当PQ∥AM时，求出t的值；

（3）直接写出当t为何值时，△PQM是等腰三角形．

28．（本题满分12分）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形ABCD中，有，当A、B、C、D四点共圆时，有．【尝试证明】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：．证明：在AC上取点E，连接DE，使∠CDE＝∠BDA，∵∠DCA＝∠DBA，∴▲,∴∴①，∵∠CDE＝∠BDA，∴∠CDE+∠BDE＝∠BDA+∠BDE，即∠ADE=∠BDC又∵∠DAE=∠DBC，∴△ADE∽△DBC，∴∴▲②，①+②得 即▲.【直接应用】如图2，AB为⊙O的直径，AB＝5，AD＝4，BF＝1，求DF的长．【拓展